книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений
.pdfобщих решений, образуют систему неравенств первой степени с одним неизвестным.
Общий прием решения системы двух неравенств за ключается в следующем: находим решения каждого не равенства в отдельности и из сопоставления их устанав ливаем, какие решения являются общими для обоих неравенств; если общих решений нет, то система несо вместна, или противоречива. Выбор общих решений облегчается, если решения каждого неравенства изобра жать на числовой оси.
Пр и м е р 1. |
Решить систему |
неравенств |
|
|
[ 2х—3 > |
О, |
|
|
\ 5х + |
4 > |
0. |
1) 2х— 3 > 0 , |
х > у ; 2) |
5х+ 4 > 0, х > —у . |
Для первого неравенства число у является нижней
границей значений неизвестного. Строим эту точку и по крываем штриховкой сверху часть числовой оси, которая располо жена правее точки, соответствующей числу
Рис. 6.
-к (рис. 6). Аналогично
4
штрихуем снизу числовую ось, начиная от точки —у
вправо, так как число —у4 является нижнеи границей
значений неизвестного для второго неравенства. Там, где ось окажется заштрихованной как сверху, так и
снизу, |
находятся |
общие |
решения. В |
данном зслучае |
|
общими |
решениями будут любые |
числа, |
большие у : |
||
П р и м е р 2. |
Решить |
систему |
неравенств |
||
|
7 — х -3 < 3+ 4* |
■4, |
|
у х + 5(4—X ) > 2 (4-х).
Приведем каждое неравенство к простейшему виду, для
чего освободимся от дробей, раскроем скобки, перенесем все члены в левую часть и приведем подобные члены; получим:
|
|
— 13х + 3 9 < 0 , |
|
( |
— х + 3 < О, |
|
|||||
|
|
|
—4х + 3 6 > 0 |
ИЛИ |
\ |
— x-f 9 > 0. |
|
||||
Решая первое из них, находим |
х > 3; из |
второго нахо |
|||||||||
дим, |
что X < 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Оба неравенства удовлетворяются одновременно зна |
|||||||||||
чениями X, |
взятыми |
из |
|
|
|
|
|
||||
промежутка |
|
3 < |
х < |
9 |
|
|
|
|
|
||
П р и м е р |
3. |
Решить |
0 |
3 |
О |
Æ |
|||||
|
|
|
X |
I 2 |
2. |
|
|
|
Рис. |
7. |
|
неравенство ——> |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
о * ~ ' X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
I ■2 |
|
|
приводим к общему знаменателю: |
|||||
Имеем --- ---- 2 > 0, |
|||||||||||
|
|
О“ X |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
* + 2 —2 (3— х) |
^ п |
Зх—4 ^ Л |
|
|
|||
|
|
|
|
|
3— X |
|
^ U’ 3 - х ^ и - |
|
|
||
Дробь |
положительна, если |
знаки |
у числителя и знаме |
||||||||
нателя |
одинаковы, |
поэтому |
либо |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
( |
Зх —4 > |
0, |
|
|
( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
3 — X > |
0, |
|
|
||
либо |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Зх—4 < 0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2) |
|||
|
|
|
|
|
|
3 —X < 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решая систему (1), находим, что первому неравен |
|||||||||||
ству удовлетворяют значения х > |
4/3, второму —значения |
||||||||||
X < |
3. |
Оба |
неравенства удовлетворяются |
одновременно, |
|||||||
если |
4/3 < X < 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Система (2) несовместна, т. е. решений не имеет, так |
|||||||||||
как |
из первого неравенства этой |
системы следует, |
что |
||||||||
X < |
V«, а из второго X > |
3. Всякое число, которое больше |
|||||||||
3, не может |
в то же время оказаться меньше 4/э. |
|
§ 25. Неравенства, содержащие неизвестное под зна ком модуля. Абсолютную величину действительного числа X , т. е. |х |, можно геометрически истолковать как расстояние от точки, изображающей число х, до начала 0 числовой оси. Например, если |х | — 3, то на числовой оси имеются только две точки: Xj — —3 и x2= -f3 ,
которые |
удалены |
от начала 0 на расстояние, равное |
|||||||
трем единицам масштаба. |
|
означает, что ищутся |
|||||||
Простейшее неравенство | х | < 3 |
|||||||||
такие |
значения |
неизвестного |
|
х, |
которым |
соответ |
|||
|
|
у |
ствуют точки, отстоящие от |
на- |
|||||
у |
'и |
чала |
0 |
меньше |
чем |
на |
три |
||
- З ' 1 ' |
' 'j |
1 % единицы |
длины |
(по |
выбран |
||||
|
|
|
ному |
масштабу). |
Ясно, |
что |
|||
|
Рис. |
8. |
все такие точки |
принадлежат |
|||||
|
|
|
промежутку |
(—3, |
3) |
(рис. |
8). |
Любое число из этого промежутка есть решение не
равенства |
I л: I < 3. |
Все |
решения записываются в |
виде |
||||
двойного |
неравенства |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
—3 < X < 3. |
|
|
|
Неравенство |
| х | ^ 3 |
отличается |
от предыдущего не |
|||||
равенства |
|х | < 3 |
|
только тем, что добавляется два новых |
|||||
решения х = ± 3; |
|
все реше |
|
|
||||
ния |
образуют |
|
отрезок |
|
|
|||
[—3,3] или |
—З ^ х ^ З . |
|
|
|||||
П р и м е р |
1. |
Решить |
не |
|
|
|||
равенство |
|
|
|
1. |
|
Рис. 9. |
|
|
|
|х —3| < |
|
|
|
|
|||
Г е о м е т р и ч е с к и й |
способ решения. От точки х = 3 |
|||||||
отложим |
единицу |
масштаба влево, |
потом вправо; |
полу |
||||
чим две точки: 2 и 4. Любая промежуточная между |
ними |
|||||||
точка |
удовлетворяет данному неравенству (рис. 9), |
т. е. |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
< х < 4. |
|
|
А л г е б р а и ч е с к и й способ решения. Опускаем знак абсолютной величины и пишем двойное неравенство
— 1 < х — 3 < 1;
прибавляем ко всем трем частям неравенства число 3:
—1 |
+ 3 < х — |
3 + 3 |
< 1+3, |
или |
2 < X < 4. |
|
П р и м |
е р 2. |2х + 3 |
| < 5 . Данное |
неравенство |
рав |
||
носильно |
двойному |
неравенству |
—5 < 2 х + 3 < 5 . |
При |
бавим ко всем частям неравенства число —3, получим —8 < 2х < 2, разделим все части на 2: —4 < х < 1.
Решим этот пример иначе. Имеем:
X -j- • < 5 ;
делим обе части на 2:
или
3 |
„ |
5 |
от точки х==— g |
числовой оси откладываем у единицы |
масштаба влево и вправо; получим точки —4 и 1. Теперь ясно, что —4 < х < 1.
|
П р и м е р 3. \2 х—3 1> 7. |
|
|
|
||
|
При отыскании решения данного неравенства надо |
|||||
рассмотреть два |
случая: |
\2х—3| = 2х—3, |
2х—3 > 7, |
|||
X > |
а) 2х —3 > 0, |
тогда |
||||
5; |
|
\2 х—3| |
|
|
|
|
ная |
б) 2х—3 < 0, |
тогда |
(2х—3) |
(абсолют- |
||
величина отрицательного числа |
равна |
этому |
чис- |
|||
лу с противоположным |
|
|
|
|
||
знаком); решаем |
нера |
|
|
|
|
|
венство |
|
-2 О |
|
5 |
X |
|
|
— (2х —3) > |
7; |
|
|||
|
|
|
|
|
2х— 3 < —7, |
Рис. 10. |
|
X < — 2. |
||
|
Таким образом, любое число, которое больше 5, а также всякое число, меньшее числа —2, являются решениями неравенства J 2х —3 ) > 7 (рис. 10).
Решим этот пример иначе. Представим его левую часть в форме
2 X 32 > 7, или |
7_ |
> 2 • |
От точки числовой оси, соответствующей числу 3/2, от ложим влево и вправо ?/2 единиц, получим точки —2 и 5. Этим Построением выделяется отрезок [—2; 5]; все числа, не принадлежащие этому отрезку, являются решениями данного неравенства; это будут числа, меньшие —2 и большие 5: х < —2 или х > 5.
§ 26. Понятие о доказательстве неравенств. Неравен ство, справедливое при всех значениях букв, входящих в него (быть может, с некоторыми ограничениями), на
зывается тождественным неравенством. |
Относительно |
такого неравенства ставится вопрос не о |
решении его, |
а о доказательстве. |
|
В чем заключается доказательство и как оно прово
дится, поясним на примерах. |
среднее |
арифметическое |
||
П р и м е р |
1. Доказать, |
что |
||
двух положительных чисел |
не |
меньше |
их среднего гео |
|
метрического, |
т. е. что |
|
|
|
ab.
Предположим, что данное неравенство справедливо; тогда после возведения обеих частей в квадрат получим нера венство того же смысла (большему положительному числу соответствует больший квадрат)
^ ab, или аг -f 2ab Ьг ^ 4ab; a2 — 2ab + b * ^ 0 , (a —b)2> 0 .
Очевидно, что последнее неравенство является тожде ственным, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (^ 0 ) . Но это пока были поиски доказа тельства, а не само доказательство, так как когда мы данное неравенство начинали преобразовывать—возво дить в квадрат обе части, прибавлять к обеим частям по одному и тому же члену и т. д., ставя между частями неравенства все время знак ^ (читается «не меньше»),— то мы, в сущности говоря, уже признали, что левая часть неравенства не меньше правой, а тогда и доказывать нечего.
Если мы докажем, что произведенные операции обра
тимы, то этим будет доказано, |
что |
^ \ |
ab. |
|
Имеем: |
|
аг -\-Ьг ^-2аЬ. |
|
|
(а —£>)2^ 0 , |
или |
|
||
Прибавим к обеим частям по 2ab: |
|
|
||
{а + b)2 ^ |
lab-, ^( |
L ^ a b . |
|
|
Извлекаем из обеих частей квадратный |
корень и берем |
|||
только арифметические значения корней, когда |
||||
ab. Очевидно, знак равенства будет иметь место |
||||
только при а = Ь. |
|
|
|
0, с > 0, то |
П р и м е р 2. Доказать, что если а > 0, b > |
a2 + ft2 -f c2^a b ~ y ас -f be.
Д о к а з а т е л ь с т в о , |
Будем |
исходить |
из очевидных |
|||||||||
неравенств: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(а— Ь )*^ 0, |
|
а2 + Ь2> |
2аЬ, |
) |
|
|||||
|
|
(а—с)2 ^ |
0, |
|
или |
а2 + с2^ 2 а с , |
> |
(1) |
||||
|
|
(Ь— с)2> 0 |
|
|
b2 + c2^2 b c . |
J |
|
|||||
Складывая неравенства |
(1), |
получим: |
|
|
||||||||
|
|
|
2 (а2 -f b2 -}-с2) ^ |
2 ( a b а с Ь с ); |
|
|||||||
после |
деления на |
2 имеем: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
а2 + |
£>2 + с2 > |
ab |
ас |
Ьс. |
|
|
|||
П р и м е р |
3. |
Доказать, |
что |
если x~\-y-\-z = 1, |
где |
|||||||
* > О, |
у > |
0, |
г > |
0, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( \ — x ) ( \ — y)(\ — z )^ 8 x y z . |
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
За |
основу |
берем |
известные |
не |
|||||||
равенства |
(пример 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Щ ^ > Ѵ Т у , ï ± i > | Æ , |
t ± ï > r ï z , |
|
|||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х + у ^ 2 ] / ху, |
x + z ^ 2 ] / x z , |
y + z ^ 2 V y z . |
|
|||||||||
Так как |
из |
условия |
следует, что х-\-у = 1—z, x-\-z — |
|||||||||
= 1—у, г/+ г = 1—X, |
то выписанные неравенства при |
|||||||||||
нимают вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
— 2 ^ |
2 J /XI/, |
1—y ^ 2 V x z , |
1—х ^ 2 V yz. |
|
После почленного перемножения этих трех неравенств получим: (1—х)(1—у)( 1—z )^ 8 x y z .
§ 27. Графическое решение неравенств.
П р и м е р |
1. Решить графически неравенство |
|
|
2х — 5 > |
0. |
Левая часть |
неравенства, т. |
е. 2х —5, есть линейная |
функция аргумента х; обозначим ее через у:
у= 2х— 5,
ипостроим ее график (рис. Н). Неравенство 2х—5 > 0 означает, что ищутся такие значения аргумента х, при
которых линейная функция положительна, т. е. орди наты прямой положительны, или точки графика лежат выше оси абсцисс. Этому требованию удовлетворяют
все точки, абсциссы которых больше ; другими сло
вами, эти точки лежат правее точки пересечения гра фика с осью Ох.
П р и м е р 2. Решить графически систему неравенств
( ~п х + 3 > О,
iz
{2х— 1 < 0.
Построим графики двух линейных функций (рис. 12):
(I) |
У = Т Х+ з |
и |
У — 2х— 1. |
(II) |
Теперь нам надо указать все такие значения аргумента X, при которых одновременно ординаты первой прямой положительны, а второй прямой —отрицательны. Этому требованию удовлетворяют значения х, заключенные
с 1 между —о и Y :
—6 < X < j .
Уп р а ж н е н и я
I.Решить неравенства:
1 ) 2* + 1 |
|
2 —х > |
|
|
|
3) |
Зх—1 |
хН-1 |
X |
|||||
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
2 |
т : |
||
2) |
5х— 1 |
|
За:— 13 |
> |
5 х + 1 |
4) т (х— 1) > х + 2 ; |
|
|||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|||||||
5) |
|
|
-Зх |
х-]-2 |
|
|
|
|
|
7) |
I Зх—5 I < 3; |
|||
|
|
|
|
< - г г - (к < 0); |
|
|
|
8) |
I 4—Зх 1< 0,1; |
|||||
|
тх |
|
|
|
\k |
|
|
|
|
|
||||
6) |
|
X — 1 , 2x + 3 |
(т ф 2); |
|
|
9) 13 —2х I > 5 ; |
||||||||
т —2 |
|
3 |
|
4 |
|
10) |
I 5х + 3 I > 8 . |
|||||||
|
2. Решить неравенства и системы неравенств: |
|
||||||||||||
|
1) |
Г |
2х—3 > 0, |
|
|
|
3) |
|
7 |
2 |
||||
|
|
\ |
Зх |
2 > 0; |
|
|
|
|
0 ,4 х + т < - | х - 1,2, |
|||||
|
|
|
|
|
|
I |
5х-|- 17 > |
9х—63; |
||||||
|
2) |
10- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
4) 2х+1 |
> 1. |
|
|||
|
|
X—6 ^ *’ |
|
|
|
|
|
3 — X |
|
|
||||
|
3. |
При |
каких |
значениях а имеют место неравенства |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 < ^ ± Н < 2 ? |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а-\-7 |
|
|
|
||
|
4. |
При |
каких |
значениях |
т система уравнений |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 х + |
|
7 і/ = т , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
З х + 5у=13 |
|
|
|
||
имеет положительные решения? |
|
а система уравнений |
||||||||||||
|
5. |
При |
каких |
значениях |
числа |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
Зх—6 р = 1, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
5х—ау = 2 |
|
|
|
имеет отрицательные решения?
6. Определить число т таким образом, чтобы корень уравнения
|
2от |
был |
больше 1. |
|
|
||||
X |
х-\-т |
|
п решение системы |
||||||
|
7. |
При |
каких |
целых значениях |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
пх — |
у = 5, |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
2х + Зш/ = 7 |
|
удовлетворяет условию х > 0 и у < 0. |
|||||||||
|
8. |
Доказать |
неравенство |
ÿ ab ^ |
^ ■при а > 0, b > 0. |
||||
|
9. |
Доказать, |
|
что |
|
|
Ü—ри |
||
|
|
при любом действительном значении х имеет |
|||||||
место |
неравенство |
| |
X2 |
! |
|
||||
| хі < -у • |
|
||||||||
|
10. |
Доказать, что сумма двух положительных чисел не меньше 2, |
|||||||
если их |
произведение |
равно |
1. |
|
Г Л А В А IV
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 28. Вводное замечание. В тексте этой главы часто упоминается слово «множество». Поясним смысл этого понятия на конкретных примерах.
1)Все учащиеся города Москвы образуют множество учащихся Москвы. Это множество состоит из конечного числа элементов; элементом множества является каждый отдельный учащийся города Москвы; всякий учащийся другого города или области не принадлежит этому мно жеству.
2)Все прямоугольники с площадью, равной одному квадратному метру, образуют множество прямоугольни ков данной площади I м2; это множество бесконечно.
Элементами множества являются отдельные прямоуголь-
о 1 ники, например прямоугольник со сторонами 2 м и -j м.
3) Все целые положительные числа образуют множе ство натуральных чисел; 1, 2, 3, 4, . . . Это множество бесконечно.
В дальнейшем речь будет идти только о числовых множествах.
§ 29. Рациональные числа. Целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные, и число 0 об разуют множество рациональных чисел. Всякое рацио нальное число можно рассматривать как отношение двух
целых чисел: г — ~ (п Ф 0).
П р и м е р .
Отметим, что рациональные числа можно представить в виде бесконечных периодических десятичных дробей:
у = 0,333 ...
= 0,4000 . . . -0,3999 ...
О
— 1у = — 1,(285714).
Обратно: всякая бесконечная периодическая дробь есть рациональное число, так как ее можно обратить в обык новенную дробь, например:
0,3666 |
36 —3 |
зз |
п |
|
90 ~ |
90 ~ |
30 |
||
|
(подробнее в гл. XVI, § 243).
Выполняя четыре арифметических действия над ра циональными числами (кроме деления на 0), в резуль тате получим также рациональные числа, т. е. эти дей ствия не выводят нас из множества рациональных чисел и не требуют введения новых чисел.
Точно так же можно решать уравнения первой сте пени с одним неизвестным и системы уравнения первой степени с несколькими неизвестными; значения неизвест ных всегда будут рациональными числами, если коэф фициенты при неизвестных и свободные члены рацио нальны. Однако уже при решении простейших квадрат ных уравнений мы сталкиваемся с необходимостью рас ширения понятия числа. Например, уравнение х2 —3 —0, или х2 = 3, не имеет целого корня, так как нет такого целого числа, квадрат которого равен 3. Докажем, что корень этого уравнения не может быть и дробным числом.
_ |
т |
т |
Допустим |
противное: х = — , |
где —— несократимая |
дробь. Тогда |
—3, что невозможно, так как квад |
рат несократимой дроби есть также несократимая дробь, и она не может равняться целому числу (3). Следова тельно, корень уравнения не является рациональным числом.
Чтобы можно было говорить о корнях подобных урав нений, необходимо ввести новые числа, так называемые и р р а ц и о н а л ь н ы е числа.