Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

2 л радиусов, следовательно,

	360° —2я	(рад),
	180°== л	(рад),
отсюда на 1 радиан приходится:
180°	:180°	57°17'44,8".
я “	3,14159...	57°17'44,8".
я “	3,14159...

Менее точно будет принять радиан равным 57°18'. Пусть а —градусная мера некоторого угла, а — радиан-

ная мера того же угла; тогда справедлива следующая

пропорция:
а: 180 = а:я,
откуда
а — І80:ли '	( 1)

Составим с помощью формулы (1) таблицу радианной и градусной мер некоторых углов.

а°	30°	45°	60°	90°	120°		135°
					«
а	Я	Я	Я	Я	2	я	3
а	6	4	3	2	3	я	-г я
	6	4	3	2	3		4

о	180°	270°	360°
СП о
5	Я	3	2я
-гг Я		— я
6		2

В этой таблице приведены радианные меры наиболее часто встречающихся углов, причем эта мера выражена с помощью числа л, приближенное значение которого можно взять с желаемой точностью. Например, 30° =

(рад), откуда

30° æ ^ (рад) « 0,52 (рад),

30° « -,1g --6- (рад) » 0,5236 (рад) и т. д.

Из формулы (1) можно найти угол в а°; получим:

Формула (2) дает градусную меру угла по радианной.

П р и м е р , а = 0,3; найти	а0:
о _ 180°-0,3	54°

я' ^ 3,14

Для быстрого перевода любых углов из градусной меры в радианную и наоборот во всех справочниках имеются соответствующие таблицы.

Решим два примера, пользуясь четырехзначными таб

лицами В. М.	Брадиса.
П р и м е р	1. Перевести в радианную меру угол 64°38'.
По таблицам Брадиса (см. стр. 47) находим:
	64°36' =	1,1275
	2 '=	0,0006
	64°38'= 1,1281 (рад)
П р и м е р	2. Выразить	в градусах и минутах	угол
2,154 рад.
Так как в таблицах Брадиса такого угла нет, то его
градусную меру будем находить в два этапа:
	1,1537 рад = 66с6'
	1,0003 рад = 57° 19'
	2,154 рад= 123°25'
§ 97. Длина дуги окружности. Из формулы а = l/г (см.
§ 77) следует,	что 1 = га\	иными словами, длина	дуги

окружности равна радиусу, умноженному на радианную меру центрального угла, соответствующего этой дуге.

Пр и ме	р .	Вычислить длину дуги окружности ради
уса г —20	см,	если дуга содержит 34°18' (дуговых).

Центральный угол, соответствующий этой дуге, также

содержит	34П8' (угловых), но
	34°18' = 0,5986 (рад),
а потому
	/=20-0,5986= 11,972 (см).
§ 98.	Определение тригонометрических функций любого
угла. В школьном курсе геометрии для VIII класса да

ются определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла а как отношения сторон прямоугольного

треугольника (рис.	68):
sina =	а	противолежащий	катет
	с	гипотенуза		’
	ь __ прилежащий катет
	С	гипотенуза	’
tg a =	а	противолежащий	катет
tg a =	Т	прилежащий катет		’
ctg ос =	Ь_	прилежащий катет
	а	противолежащий катет
Так как эти определения относятся			только к острому
углу а (0 < а < 90°), то		нельзя говорить		о синусе, коси

нусе, тангенсе и котангенсе таких углов, как, например,

углыО0, 90°, 120°, посколь		г/ 1
ку ОСТрЫЙ УГОЛ	ПрЯМОу-	г/ 1
гольного треугольника не
может принимать	таких
значений.

Однако можно по-новому определить эти величины так, чтобы они относились к любому углу а.

Проведем две взаимно перпендикулярные оси Ох и

Оу.	Из точки О их пересечения произвольным					радиусом
г	опишем	окружность,		которая пересечет		ось Ох
в точке А (рис. 69).
	Пусть М —произвольная точка на окружности, ей со
ответствует		радиус-вектор		ОМ = г — {х,	у}. Начальной
стороной угла АО М —а всегда будем считать						сторону
ОА, лежащую на оси Ох,				конечной стороной —ОМ.
	Подчеркнем еще		раз, что а —угол, образованный век
тором г с положительным направлением оси Ох.
	О п р е д е л е н и е		1. Синусом угла а		называется отно
шение ординаты вектора г				к модулю самого вектора:
			sina = y .			(1)


О п р е д е л е н и е			2.	Косинусом угла		а называется	от
ношение	абсциссы	вектора г			к модулю самого вектора:
				cosa = —.			(2)
О п р е д е л е н и е			3.	Тангенсом угла		а называется	от
ношение	ординаты	вектора г			к его абсциссе:
				t g « = f .			(3)
О п р е д е л е н и е			4.	Котангенсом угла а называется
отношение абсциссы вектора г					к его ординате:
				ctg <х = ~ .			(4)
Ясно,	что синус,		косинус,		тангенс	и котангенс—от
влеченные числа.		С	изменением угла а			координаты х и
у вектора изменяются, модуль вектора						остается без	из
менения,	а потому sin а, cos а, tg a и ctg а будут перемен

ными величинами, зависящими от угла а; поэтому их называют тригонометрическими функциями угла а.

П р и м е ч а н и е			1. Кроме упомянутых				выше четырех
тригонометрических			функций, иногда рассматриваются
еще две функции.			5. Секансом угла а называется
О п р е д е л е н и е
величина, обратная			косинусу:
			seca:		1			(5)
					cos a

О п р е д е л е н и е			6.	Косекансом угла			a	называется
величина, обратная			синусу:
			cosec a = -Д—.					(6)
					sm a			4 '
П р и м е ч а н и е			2. Если угол a острый,					то новые
определения	тригонометрических					функций		совпадают
с прежними,	так	как обе координаты, х и					у, положитель
ны и являются		катетами			прямоугольного		треугольника
с острым углом а.			3. На основании доказанной теоре
П р и м е ч а н и е
мы о том, что отношение проекции						вектора на ось к мо

дулю вектора не зависит от модуля вектора (см. теорему 2 из § 89), можно дать более простые определения синуса

и косинуса	угла	а. Взяв в качестве г единичный вектор,
т. е. г = \| г	( = 1 ,	получим

sina = -~ = г/; cosa = y = x.

Синусом угла а называется число, выражающее ор динату у единичного радиуса-вектора, а косинусом угла а называется число, выражающее абсциссу х единичного радиуса-вектора.

Такое истолкование синуса и косинуса удобно для изучения их изменений при вращении единичного радиу

са-вектора г —ОМ в направлении		против	движения	ча
совой стрелки.	формул (1)	и (2)	вытекает,	что
С л е д с т в и е . Из
х = г cosa, у = г sin a,	где a —произвольный угол. Этими

равенствами будем пользоваться в дальнейшем.

§ 99. Знаки тригонометрических функций. Оси коор динат Ох и Оу делят окружность единичного радиуса на четыре части, каждая из которых называется четвертью или квадрантом. Нумерация четвертей показана на рис. 70.

Пусть переменный вектор г =

—ОМ. от первоначального поло жения, совпадающего с вектором


О		направлении						А, вра
ном					и совершает
один		оборот.		Следовательно,
угол		а при атом изменяется						от
0° до 360° (в радианной							мере
от	0 до		2л). Проследим за тем,
как меняются в процессе вра
щения вектора ОМ					знаки			его
координат х и				у,	так	как		от
знаков координат зависят	знаки		самих	тригонометри
ческих функций.	положительной				до	тех	пор,
а) Ордината у. остается

пока конец вектора ОМ, т. е. точка М, остается на верх ней половине окружности. Когда конец вектора описывает нижнюю половину окружности, ордината у отрицательна. Следовательно, синус положителен для углов, оканчива ющихся в I и во II четвертях, и отрицателен для углов, оканчивающихся в III и в IV четвертях.

б) Координата х вектора ОМ положительна, если ко

нец вектора ОМ находится на правой половине окруж ности, что - соответствует углам, оканчивающимся в I и в IV четвертях. Если же конец вращающегося вектора

ОМ описывает левую половину окружности, что соответ

ствует	углам,	оканчивающимся во II и в III четвертях,
то координата		х отрицательна. Таким образом, косинусы
углов,	оканчивающихся в I и в IV четвертях, положи
тельны, а во II и в III четвертях—отрицательны.
в)	Зная знаки координат х и у вектора г, легко уста

новить знаки тангенса и котангенса в каждой четверти,

так		как	по определению tga — -—.
в		Отсюда следует, что тангенс и котангенс положительны
	тех четвертях, где обе координаты				вектора одинаковы
по знаку,				что имеет место для углов, оканчивающихся
в	I	и в	III	четвертях. Во II и в IV	четвертях тангенс и

котангенс отрицательны, поскольку х и у противоположны по знаку.

Результат исследования знака тригонометрических функций дается следующей таблицей:

П р и м е ч а н и е .	Знак секанса совпадает со	знаком
косинуса, а знак косеканса—со знаком синуса,		что сле
дует из определений	5 и 6 § 98.

§ 100. Изменение тригонометрических функций при изменении угла ос в пределах первой окружности. Просле дим за изменением каждой из четырех тригонометриче ских функций в отдельности при изменении угла от 0° до 360° (от 0 до 2л). Для этого проще всего исходить из единичной окружности, для которой (см. § 98)

sin а = у, cosa = x.

1.		И з м е н е н и е		с и н у с а .		Если	угол а	возрастает
от 0° до		90°,	то sin а возрастает		от	0 до 1	(рис. 71). При
дальнейшем			возрастании	угла от	90° до 180° синус убы
вает	от	1 до 0. В III четверти			с	изменением		угла от
180°	до	270° синус продолжает			убывать		от 0	до —1.

В IV четверти при изменении угла от 270° до 360° синус возрастает от — 1 до 0.


2. И з м е н е н и е	к о с и н у с а .				На рис. 72 изображено
изменение косинуса: в		I четверти при возрастании угла а
от 0° до 90° косинус		убывает		от	1 до 0; во II четверти
с возрастанием угла	а	от 90°		до	180° cos а	продолжает
убывать от 0 до —1;		при	изменении угла а			от 180° до
270° cos а возрастает	от —1		до 0;		наконец, в IV четверти

с изменением угла а от 270° до 360° косинус возрастает от 0 до 1.

3. И з м е н е н и е т а н г е н с а . По определению tg a =

= —. Чтобы наглядно представить себе изменение тан

генса, постараемся для каждого угла а подобрать на не которой оси отрезок, алгебраическая величина которого

равна -J , т. е. равна tga.

Построим окружность единичного радиуса. В конце радиуса ОА, лежащего на оси Ох, проведем касательную АТ, на которой точку А примем за начало отсчета от резков. За положительное направление оси АТ примем направление от точки А вверх (рис. 73).

Пусть вектор ОМ образует угол a с осью Ох. Про

должим прямую, на которой расположен вектор ОМ, до пересечения с осью АТ в точке N, получим отрезок AN

на	оси АТ. Докажем, что его алгебраическая величина AN
равна tga.
	Если угол а оканчивается в I четверти, то отрезок ON
положителен. Из подобия треугольников ОМгМ и OAN
следует пропорция			=	или -£-= AN,T.e. t g a = AN.
	Если угол a	оканчивается		во II четверти (рис. 74),
то	отрезок AN	отрицателен.		Координаты вектора ОМ

в этом случае имеют разные знаки, а потому их отно шение есть число отрицательное. Следовательно, числа

у и AN имеют одинаковые знаки, остается убедиться

только в совпадении их абсолютных величин. Из подо бия прямоугольных треугольников ОММг и OAN (оба имеют по равному острому углу) имеем'

\ МХМ\	\ AN\	или OMx = \AN\
І OAK I —	1	или OMx = \AN\

(отношение абсолютных величин двух чисел равно абсо лютной величине их отношения). Опуская знак абсолютной


величины,	получим		-^- — AN,		т. е. tg a —AN.
В случаях,		когда	угол	a	оканчивается в III и в IV
четвертях, предлагаем читателю самостоятельно проверить
справедливость		равенства		tg a = AN		(см. рис. 73 и 74).
Теперь легко установить следующее.
1)	Если	угол a возрастает от 0° до 90°, Totga = HV,
оставаясь	положительным,			возрастает		неограниченно по
мере того,	как	угол а все		ближе подходит к углу в 90°,

и перестает существовать при а —90°, так как вектор ОМ

становится параллельным оси АТ. Условно пишут, что t g a —>■-j- оо при а —>90°.


2)	При	возрастании			угла	ос от	90° до 180° тангенс по
знаку	делается отрицательным, а его абсолютная величина
убывает до 0 (рис. 74).									то при
3)	Так	как (см.		рис. 73) tg a = tg(180° + a),
изменении угла ос			от	180° до 270° тангенс меняется так же,
как в	I четверти.		изменение			fga	в IV	четверти	такое
4)	Аналогично
же, как во II, что видно из						рис.	74.	По аналогии с пре
4.	И з м е н е н и е				к о т а н г е н с а .

дыдущим пунктом, в качестве оси выбираем касательнуюBL, проведенную к единичной окружности в конце радиуса OB, лежащего на оси Оу. Точка В —начало отсчета отрезков, за положительное направление принято направление от

точки В вправо (рис.			75). Тогда BP = ctga, где Р —точка
пересечения прямой,			на которой расположен вектор ОМ,
с осью BL. Доказательство этого факта проведем в пред
положении, что угол			а оканчивается в I	четверти; рас
смотрение	же	оставшихся трех случаев		предоставляем
читателю	(см.	рис. 75	и 76).

Рис. 76.

В самом деле, из подобия прямоугольных треуголь ников OMMt и ОВР следует пропорция

O M j	~	B P или X		_ В Р
м гм		O B	У	~ 1

Итак, Y = BP, т. е. ctg а = ВР.

Теперь легко проследить за изменением котангенса при изменении угла.

1) При а = 0 отрезок ВР параллелен оси Ох, следо вательно, контангенс угла в 0° не существует.

Пусть а изменяется от 0° до 90°, тогда отрезок ВР, оставаясь положительным, уменьшается от неограничен но больших значений до 0 (см. рис. 75).

2) При изменении угла от 90° до 180° отрезок ВР по абсолютной величине неограниченно возрастает, оставаясь по знаку отрицательным (рис. 76). Следовательно, котан

генс продолжает

убывать,

переставая

существовать при

«=-180°, что

условно

запишем

так:

ctg а — —со

при

а —►180°.

угол

изменяется

от

180° до

270°,

то

ctg а

3) Если

изменяется

так

же,

как

и при

изменении

угла

от 0°

до 90°, т. е. убывает от оо до 0. Это вытекает из

того,

что ctg а = ctg (180° + а),

в чем легко убедиться геометри

чески (см. рис. 75).

угла

от

270°

до

360°

4) Аналогично при изменении

котангенс изменяется так же, как и при изменении

угла

от 90° до

180°

(см.

рис.

76).

§ 101. Построение угла по заданному значению триго нометрической функции. Построение угла а рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. sin а = 2/3,

Радиус окружности OB = 1 делим на три равные части (рис. 77). На расстоянии 2/3 от точки О проводим пер пендикуляр к OB до пересечения с окружностью в точ ках М и Мх. Получаем два искомых угла: /_АОМ —а, и /_А О М х~ аг.

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ