книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

Вычитаем почленно из равенства (2) равенство (1). При X, ФО получим у1—b = kxv откуда

Равенство (5) означает, что у двух прямоугольных треугольников М ^ Л Д и М0С2М2 отношения сходственных катетов равны (рис. 2 2 ), а поэтому треугольники подоб­ ны. Из подобия следует, что

одну, или, другими словами, все три точки М0, ЛД и Мг лежат на одной прямой.

Теперь остается доказать, что любая точка М3, коор­ динаты которой не удовлетворяют уравнению y = kx-j-b,

не лежит на прямой М0М 2. Последнее предлагается до­ казать читателю.

Отметим, что постоянная k называется угловым ко­ эффициентом прямой и характеризует скорость того равномерного процесса, который изображен линейной функцией; величина Ь, получаемая как значение функции при х = 0 , означает отрезок, отсекаемый на оси ординат.

Согласно сказанному в § 50, при k > 0 линейная функция монотонно возрастает, при & < 0 —монотонно убывает. Для построения графика достаточно вычислить координаты двух точек. По рис. 23 определите, как влияет величина углового коэффициента k на положение прямой относительно оси абсцисс.

§ 52. Квадратный трехчлен. Вводные замечания« В различных областях науки и техники приходится иметь дело с переменными величинами, связанными между собой функциональной зависимостью вида г/=

— ах2 + Ьх + с.

П р и м е р ы 1. Путь, пройденный телом при равно­ мерно ускоренном или равномерно замедленном прямо­ линейном движении, выражается формулой

‘^ ==_2"+ уо^ +^о>

где t —время, S —пройденный путь, S0 —начальный путь, о0—начальная скорость, а —ускорение.

2.Зависимость между диаметром круга d и его пло­ щадью F выражается формулой3

3.Сопротивление, оказываемое средой, например воз­ духом, движению тела, пропорционально квадрату ско­ рости: f —kvа. Такое соотношение имеет место, напри­ мер, при движении самолета в воздухе.

Впримерах 2) и 3) мы имеем частный случай функ­

циональной зависимости у = ах2-j- bx -f с, когда Ь = с = 0 . О п р е д е л е н и е . Функция вида у — ах2+ bx- f с на­ зывается функцией второй степени или квадратным трех­

членом.

Приведенные выше три примера функциональных за­ висимостей были примерами функций второй степени.

Изучение свойств квадратного трехчлена начнем с рассмотрения частных случаев -и построения соответст­ вующих графиков.

§ 53. График функции у — ах'2. По уравнению легко обнаружить следующие свойства:

1)Функция определена при любом действительном х.

2)Функция ах1—■четная, так как у ( —х) = а (— х)2 = =ах2. Следовательно, график симметричен относительно оси ординат.

3)Функция обращается в нуль, если х = 0, т. е. гра­ фик проходит через начало координат.

4)При а > 0 на положительной полуоси функция возрастает, на отрицательной —убывает.

«Z7

чисел. На отрицательной полуоси большему отрицательно­

Выясним, какую роль играет числовая величина ко­ эффициента а при х2. С этой целью сравним ординаты

симметрично относительно оси Ох, так как при одних и тех же значениях х ординаты уг = ах2 и уг = — ах2 отли­

Отложим по оси Оу вверх от начала координат отре­ зок OB, равный 10 единицам масштаба, и через точку В проведем прямую, параллельную оси Ох. Пусть М —точка пересечения этой прямой с параболой, лежащая в первой четверти. Абсцисса этой точки и дает приближенное зна­

такого переноса все ординаты увеличились на одну и ту же величину, а абсциссы остались прежними. При « < 0 параллельный перенос надо произвести в отрицательном

юз

направлении оси Оу, другими словами, кривую надо опустить вниз на — п единиц.

На рис. 26 показаны соответствующие преобразования при п = 3 и п ——2 .

§ 55. График функции у = (х — т ) 2. Произведем сдвиг параболы у = х2 вдоль оси Ох в положительном направ­ лении на величину, равную двум единицам масштаба

другой точкой графика. При этом преобразовании абс­ циссы точек M t и Nj_ увеличатся на две единицы по сравнению с абсциссами точек М и N, а ординаты оста­ нутся без изменения.

Отсюда следует, что уравнение параболы в новом положении относительно координатной системы должно быть у — {х—2)3. Подобным образом при сдвиге пара­

дой точки уменьшилась на три единицы, а ординаты остались без изменения.

Ясно, что имеет место следующее общее положение. График функции у = (х—т)% может быть получен сдви­

жет быть получен аналогичным образом из графика функции у —ах2.

ось симметрии которой (называемая также осью параболы) параллельна оси ординат, а вершина находится в точке

С (т; п).

динаты точки В, можно с их помощью определить ко­ эффициент а: действительно, из 0 = а*20а + 5 получаем

а = — . Следовательно, уравнение параболы AB при­

нимает вид

^ = — Ж А;2 + 5-

Длина стойки ух равна величине ординаты параболы

у = |/”х2+ л: + 1.

Квадратный трехчлен, стоящий под знаком радикала,

Наименьшему значению подкоренного выражения соот­ ветствует наименьшее значение арифметического корня.

іЛз“ Следовательно, г/наим = ~^2— ^0,866 .

§ 60. График функции _у = — . Построение графиков

X

более сложных функций. Построим график функции

Ï/ = -J , часто встречающейся на практике.

Установим сначала некоторые свойства этой функции.

нуль нельзя!). Таким образом, область определения состоит из двух промежутков: (— оо, 0 ) и (0 , + о о ) .

2)Функция нечетна, так как / ( — х) —— f{x). Следо­ вательно, график ее симметричен относительно начала координат. Поэтому достаточно рассмотреть эту функцию только для X > 0.

3)При х > 0 функция убывает с ростом х. Действи­

вая называется равнобочной гиперболой. Она состоит из

Рис. 32.

двух ветвей, расположенных в первой и третьей чет­ вертях.

Такой же вид имеет и график функции У - ~ - ПРИ

а > 0 ; если же а < 0 , то мы получаем гиперболу, ветви которой расположены во второй и четвертой четвертях.