книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений
.pdfпроекции векторов взяты по абсолютной величине, потому что в геометрии стороны треугольников всегда выража ются положительными числами. Но проекции АВГ и АСХ обе одинаковы по знаку (на рис. 57 обе отрицательны), а потому знаки абсолютной величины в равенстве (4) можно опустить, и мы получим:
|
А В г |
А С г |
|
А В ~ |
А С ’ |
что и требовалось |
доказать. |
|
П р и м е ч а н и е . |
Если ЛБ = а, АС = Ь; |
|
пр,а = а„ |
прг b = bt, |
|
то утверждение теоремы зипишется так:
Оі^Ьі
ab
§90. Координаты вектора. Пусть в прямоугольной
—>
системе координат хОу дан вектор ОМ (рис. 58).
О п р е д е л е н и е . Вектор, направленный из начала координат в произвольную точку М плоскости хОу, назы вается радиусом-векто ром точки М и обозна
чается через г:
ОМ = г.
Спроектируем вектор г как на ось Ох, так и на ось Оу, получим:
прх г = ОМг = гх, пруГ = ОМ2 = гу.
Легко показать, что если вектор г перестанет быть радиу сом-вектором и переместится параллельно самому себе
в новое положение AB, то его проекции на координат ные оси останутся без изменения. Это следует из равен ства прямоугольных треугольников ДОЛ^М и ДЛЛУѴ:
IгI = IA B I, і о д ч н л а і .
но так как направление отрезков ОМг и Л ^ одно и
то же, то можно опустить знак абсолютной величины:
(Ж , = А1В1= прх г.
Таким образом, каждый заданный в координатной плоскости хОу вектор имеет вполне определенные проект ции на координатные оси; справедливо и обратное: две заданные проекции на координатные оси вполне опреде ляют вектор.
О п р е д е л е н и е . Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.
Принято координаты вектора записывать следующим образом:
а = {х, у},
где х = прх а, у — иру а. Первая координата х может быть названа абсциссой вектора а, вторая координата у —орди
натой вектора а. Координаты радиуса-вектора г —бМ являются одновременно координатами точки М, т. е. конца радиуса-вектора.
Если начало вектора не совпадает с началом коорди нат, то координаты вектора и координаты конца вектора не одно и то же, но тогда справедливо соотношение
АВ = {х, у} = {хв — хА, ув — уА},
так как я = прх АВ — хв —хА, у —пру А В = у в —уА, что
наглядно пояснено на рис. 58. |
двух |
векторов равны |
|
Те о р е ма . Координаты суммы |
|||
сумме соответствующих |
координат |
слагаемых векторов. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть а = {х'1, |
г/J; b = {x2, у2}; |
|
требуется доказать, что с = |
{х1-\-х2, ух+ у2), |
где с = а + Ь. |
По теореме о проекции |
суммы векторов |
на ось имеем: |
прЛс = пр* (а + Ь ) = прх а + пр* b = хг + х„ npj, С= пру (а + Ь) = пру а + пру Ь = у1 + у»-
Следовательно, с = {лу+ х2, ух+ у2].
§ 91. Разложение вектора по координатным осям. Произ
вольный вектор AB координатной плоскости хОу можно рассматривать как сумму двух векторов, направленных по осям координат. Для этого достаточно спроектировать
вектор AB на координатные оси (рис. 59). Тогда полу-
6 Р, А. Калнин |
161 |
чим две вектор-проекции вектора AB на |
ось Ох и ось |
|
Оу, а именно: вектор А1ВІ и вектор А2В2, |
сумма |
кото |
рых равна вектору |
AB: |
|
А1В1+ А2В2— AB. |
||
Это следует |
из равенства |
|
AN + NB = AB, |
так |
|
как AN — A2B2,NB = |
|
|
О п р е д е л е н и е . |
Век |
|
торы A^Bf и А2В2 назы |
||
ваются составляющими или компонентами |
вектора AB |
|
по осям координат.
Выберем на каждой из координатных осей по еди ничному вектору, имеющему направление соответствую щей оси:
і — единичный вектор оси Ох, j —единичный вектор оси Оу. Пусть
АВ = {х, у).
Тогда по правилу умножения вектора на скаляр имеем:
А1В1— хі, A2B2 = yj,
AB = A & + A2B2 —xi + yj,
AB = xt + yj.
Мы получили одну из основных формул векторной ал гебры:
Всякий вектор координатной плоскости хОу равен сумме произведений его координат на соответствующие единичные векторы осей.
§ 92. Скалярное произведение двух векторов.
З а д а ч а 1. Под действием силы F тело совершает по ступательное движение так, что его центр тяжести О пе ремещается в точку М, причем ОМ образует угол в 60° с направлением действия силы (рис. 60). Вычислить произ веденную силой работу, если \ F \ - F ~ 120 Н, а ОЛ4 = 5м,
Если направление силы совпадает с направлением пе ремещения, то работа А равна произведению модуля силы на пройденный путь. В данном случае это правило неприменимо, поскольку сила действует под углом.
Разложим силу F на две составляющие: F l t направ ленную по прямой ОМ, и F 2, перпендикулярную к F t . Работу производит только горизонтальная составляющая Fx, ее модуль (см. прямоу
гольный треугольник на рис.
60) Ft = F cos 60° = |
120 • -4-= |
|
— 60(H), |
а потому |
произве |
денная |
работа А — 60-5 = |
|
=300(Н-м) = 300 (Дж).
Вэтой задаче мы имели
два вектора: вектор-силу F
и вектор-перемещение ОМ.
Требовалось поставить им в соответствие некоторую скалярную величину, в данном случае работу.
О п р е д е л е н и е . Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на ко синус угла между ними:
ab — ab cos ф,
где ф—угол, образованный векторами а и Ь.
Таким образом, работа есть скалярное произведение вектора-силы на вектор-перемещение:
A = F • ОМ = 120 ■5 cos 60°= 120 • 5 . -Е= 300 (Н • м) = ЗОО(Дж),
§93. Различные задачи на векторы.
За д а ч а 1. На сторонах прямоугольника ABCD по
строены |
вектор |
АВ = а и вектор ВС—Ь. Выразить через |
|||
эти два |
вектора |
вектор |
МВ, если |
точка М —середина |
|
стороны AD (рис. 61). |
|
|
|
||
Имеем: |
+ |
|
но МА = — ~ b ; AB = а, по |
||
этому |
|
МВ = — \ ь +а. |
|
||
|
|
|
|||
З а д а ч а 2. |
Построить |
вектор с, |
равный 2а —Ь. |
||
Строим вектор, равный |
удвоенному вектору а (начало |
||||
вектора—произвольная |
точка А). |
Складываем его G |
|||
вектором, противоположным вектору Ь, т. е. с вектором
(—Ь)~ВС . Тогда вектор АС равен сумме 2а + (—Ô) = = 2а — b (рис. 62),
С
З а д а ч а |
3. Дан |
вектор ЛВ = а, |
причем Л (—2; 3), |
|
В (2; |
6). Найти: проекции вектора |
на координатные |
||
оси; |
модуль |
вектора |
а; единичный вектор а° вектора а |
|
(рис. |
63). |
|
|
|
Проекция вектора ЛВ на ось Ох равна алгебраиче ской величине отрезка AtBlt лежащего на оси Ох. Отре зок А1В1— положительный и по длине равен 2— (—2) = 4 единицам. Проекция вектора на ось ординат равна 6—3 == 3.
Модуль (длина вектора) равен
|a | = a = |/ra | + a^ = VA42-|-32 = 5.
Единичный вектор а0 данного вектора а находим из равенства а =
~а°-а, откуда |
|
|
З а д а ч а 4. |
Показать, |
что если |
« = {— 1, |
2}, 6 = {3, |
3}, |
то с = а + Ь = {2, 5} (рис. 64).
По теореме о проекции суммы векторов имеем:
npx (a + b) = npxa + npxb = — l + 3 = 2.
Берем проекции на ось Оу:
пру (а + Ь) = пр^а + пруЬ = 2 -f 3 = 5,
Итак, с = а + Ь = {2, 5}.
З а д а ч а |
5. |
Найти разложение AB |
по |
единичным |
|
векторам і |
и j |
координатных |
осей, |
если |
А (—2; 3), |
В (4; 5) (рис. 65). |
|
|
|
||
Находим |
координаты вектора |
AB: |
|
|
|
|
щ хАВ = хв— ха = 4— (—2) = 6, |
|
|||
иру А В = у в— г/л = 5 —3 = 2, |
AB = 6i + 2j. |
||||
Уп р а ж н е н и я
1.Изобразите три произвольных вектора и постройте их сумму.
2.Постройте два произвольных вектора а и b и постройте век
тор, равный разности а —Ь.
3. На сторонах треугольника АВС построены векторы АВ = а,
ВС = Ь, |
С А = с . Чему равна сумма а + 6 + с? |
|
|
||||||
4. Дайте истолкование следующих векторных равенств: (а + Ь)= |
|||||||||
= (й + а) |
(переместительное |
свойство), |
a-|-fc-fc = a-(-(&4'c)=' |
||||||
= (а4-Ь)+с (сочетательное свойство), |
(a + |
&)m=am+&/n (распре |
|||||||
делительное свойство). |
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Изобразите произвольный вектор а |
и рядом с ним постройте |
||||||||
|
3 |
( |
2\ |
|
|
|
|
|
|
векторы: а - ^ \ |
а ( — -g-j ; —2a. |
|
|
|
|
||||
6. Найти проекцию вектора а на ось, |
образующую |
с вектором |
|||||||
угол 120°, если |
| а | = |
8. |
|
|
|
|
AB и AD отложены |
||
7. В прямоугольнике ABCD на сторонах |
|||||||||
(от точки |
А) единичные |
векторы і и / |
Выразить через i n j векторы: |
||||||
~АВ, ВС, |
CD, |
DA, ЛС, |
ВА, |
если длины |
сторон прямоугольника |
||||
АВ = 4, AD = 6. |
|
|
|
|
|
ВС прямоугольника |
|||
8. Точки М и N —середины сторон CD и |
|||||||||
ABCD (см. предыдущую задачу). Определить |
векторы: |
AM, AN и |
|||||||
MN, выражая |
их через единичные векторы і и j. |
|
|||||||
9.В начале координат приложены три силы: ОА, OB и ОС, причем А (0; —2), В (4; 2), С (4; - 2 ) .
Построить равнодействующую этих трех сил, найти ее коорди наты и вычислить величину равнодействующей.
10.Показать, что точки Л (3; —1), 0(1; 2), С (—1; 1), D (l; —2) являются вершинами параллелограмма.
У к а з а н и е . |
У параллельных |
векторов сходственные |
коорди |
|||
наты пропорциональны. |
|
параллелограмма: |
||||
11. |
Даны |
три последовательные вершины |
||||
Л (1; 1), |
5(4; |
5), |
С (—2; 2). Найти |
координаты |
четвертой |
вершины |
Дпротиволежащей вершине В, используя векторный метод.
12.Даны векторы a = 2Z-|-3/, b = 2i—3/. Найти скалярное про изведение а-Ь.
13.Пользуясь скалярным произведением, найти угол между векторами a = 4i-\-j и Ь = 2 і —3/.
14. |
Даны векторы a = 3i-\-5j, |
b == 81—3 / Найти прьа |
и пра&. |
15. |
На двух векторах а = {2, |
1} и 6 = {—1, 5} построен |
парал |
лелограмм. Найти угол между его диагоналями. |
|
||
16. |
Дано, что а \ Ь , причем а = {3, 4}; b — {8, г/}. Найти число у. |
||
17.Проверьте векторным методом, что диагонали ромба делятся
вточке пересечения пополам.
18. |
Даны три |
вектора: |
а = {хъ |
рх}, |
Ь = {хі , у г), с = \х3, у 3\. |
||
Показать, что (а-\-Ь) с — а |
с^-Ь |
с. |
|
|
|||
19. |
Вычислить |
2 (/ 4-2/) I |
t если I |
и j —два взаимно перпен- |
|||
------_— і- |
|
||||||
дикулярных единичных вектора. |
|
|
|
|
|||
20. |
Вычислить |
а- а |
^ |
если |
а |
■2 и угол между |
|
векторами а я b равен 60.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА
§ 94. Обобщение понятия угла. В геометрии угол оп ределяется как фигура, образованная двумя лучами, ис ходящими из общей точки; при этом не делается различия
между сторонами угла: угол |
АОВ или угол ВОА счита |
|
ются одинаковыми. |
Кроме |
того, нигде в геометрии не |
встречаются отрицательные |
углы. |
|
Установим более |
общий |
взгляд |
на угол как на алгебраическую величину, которая может принимать любые значения: положительные, от
рицательные |
или |
нуль. |
|
|
Проведем ось ОР из начала О и |
||||
произвольным радиусом |
г опишем |
|||
окружность. |
Пусть |
эта окружность |
||
пересекает |
ось |
ОР |
в |
точке А |
(рис. 66). |
Если |
М —произволь |
||
ная точка на окружности, то ей соответствует вектор ОМ, который в дальнейшем будем называть радиусом-вектором точки М. Тогда угол АОМ = а будем считать образован
ным вращением вектора ОМ в направлении против дви жения часовой стрелки от первоначального положения ОА до положения ОМ:
ОА —начальная |
сторона угла (неподвижная сторона), |
|
ОМ —конечная сторона |
угла. |
|
О п р е д е л е н и е . |
Угол |
а считается положительным, |
если он образован вращением вектора ОМ против дви жения часовой стрелки, и отрицательным, если вектор"
ОМ вращается по часовой стрелке. Однако данному
положению ОМ конечной стороны угла соответствует не
единственный угол а: вектор ОМ, повернувшись сначала в положительном направлении на угол а, может после этого совершить любое целое число оборотов в положи тельном или в отрицательном направлении, после чего конец его неизменно окажется в той же фиксированной точке М. Следовательно, данному положению конечной стороны угла соответствует бесчисленное множество углов как положительных, так и отрицательных. Все эти углы получаются по формуле
ß = а + 360° k,
где k —любое целое число, в том числе и 0:
&— 0, rh 11 ± 2, +3, .. .
Пр и ме р . Если радиус-вектор |
ОМ повернут в поло |
жительном направлении на угол |
120° относительно на |
чальной стороны ОА, то такому положению вектора ОМ соответствуют: а) положительные углы 120°, 480°, 840°, 1200°, б) отрицательные углы (—240°), (—600°), (—960°), . . . Все названные углы содержатся в формуле
|
ß.= 120о + 36(Г/г |
|
|
при k = 0, 1, |
2, 3 для положительных углов а) |
и при |
|
k = —1, —2, |
—3 для отрицательных |
углов б). |
|
§ 95. Радианная мера углов. При |
измерении |
углов в |
|
градусах за единицу угла принимается угол, равный 1/90 прямого угла и называемый угловым градусом (1°).
В математике, а также в других науках (физика, ме ханика, астрономия и др.) широко применяется другая мера углов, так называемая радианная.
Пусть а —центральный |
угол, |
которому соответствуют |
||
две |
дуги AN В |
и A1N1Bl |
(рис. |
67) радиусов ОА —г и |
ОЛх |
= /-J. Если |
длину дуги AN В обозначим через /, длину |
||
дуги |
Л1/Ѵ15 і;—через llt то |
легко |
показать, что |
|
J _ _ k
г~ г г ’
т.е. для данного центрального угла а отношение длины дуги, на которую он опирается, к длине радиуса есть величина постоянная, не зависящая от размера радиуса.
Действительно, длина дуги, соответствующая цент
ральному |
углу в а |
|
градусов, |
будет: |
||
|
, _ 2пга _ |
яга |
|
|||
|
~ ш ~ т ’ |
|
||||
, |
_2пгіа |
|
n rxa |
|
||
Ll~ |
360 |
“ |
Ш Т ’ |
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
I _ла |
|
li __ na |
|
|||
Т |
~ Ш |
’ |
7 1 ~ |
ШГ |
|
|
Из равенства правых частей следует равенство левых |
||||||
частей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L - L |
|
|
|
|
|
|
г |
Гі ’ |
что и требовалось доказать. Обозначим - у ~ а- |
||||||
О п р е д е л е н и е |
1. Число а, равное отношению |
|||||
длины дуги /, соответствующей некоторому центральному углу, к длине радиуса г, называется радианной мерой этого угла.
За единицу в радианной системе измерения углов
принимается угол, для |
которого I —г, тогда a — l. Такой |
угол называют радианом. |
|
О п р е д е л е н и е 2. |
Радианом называется такой цент |
ральный угол, длина дуги которого равна длине радиуса.
Таким образом, 1) если длина дуги |
равна двум |
ра |
диусам, то угол равен 2 радианам, 2) |
если 1 = ~ г , |
то |
угол равен трети радиана. |
|
|
П р и м е ч а н и е . В математической литературе часто название «радиан» не пишется, а только подразумевается; например, пишут ^/Л О £ = 1,5 вместо полной записи
^_АОВ= 1,5 радиана.
§96. Зависимость между радианной и градусной мерами углов. Всякий угол, заданный в градусной мере, можно перевести в радианную и, наоборот, угол, задан ный в радианной мере, можно перевести в градусную
меру.
Найдем прежде всего, сколько градусов содержит 1 радиан. Известно, что длина окружности содержит