Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 455 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Далее,

или

x = 3z, y = z,

где z может принимать любое значение. Например, при г = 2 имеем решение

х — 6; у = г= 2.

Таким образом, данная линейная система имеет бес численное множество решений, получаемых из равенств

х = 3z, у = г ,

если неизвестному z приписать любое значение. В част ном случае при z = 0 имеем нулевое решение.

П р и м е р 5.

I X — у - { - 3 z — О,

\ 2х —2у —5z=0.

При отыскании решений, отличных от нулевого, здесь нельзя предположить, что z Ф 0, так как после деления на г и введения вспомогательных неизвестных получим систему

іи — t = —3,

\2и — 21— 5,

которая	противоречива и решений не имеет. В таком
случае будем делить на		х (или на у),	считая х Ф 0, что
в новых	( — — и, —= t)	неизвестных	дает систему

( — и -{-3t — —1,

\ —2и —Ы = —2.

Решая ее, находим:


	и — 1,	t = 0 или	—=1 ,	— = 0.
По	предположению, х Ф 0, а		потому	z = 0 и у ~ х .
	Данная однородная система имеет бесчисленное мно
жество решений,		отличных от нулевого.			Каждое реше
ние	есть тройка	чисел, в которой первые			два числа оди-

каковы, а третье число есть 0; например, (3; 3; 0) или

(—5; —5; 0)	и т. д.
П р и м е р	6,
	( х-\-2у — 2 = 0,
	\ 2х + 4у —2г = 0.

Сразу видно, что второе уравнение есть следствие первого, так как после деления на 2 всех членов второго уравнения получится система из двух одинако вых уравнений

лг + 2у —г= 0 , или х = г —2у.

(1)

Два неизвестных у и г могут принимать какие угодно значения; значения х определяются по данным значе ниям у и 2 из формулы (1).

§ 18. Примеры решения систем уравнений с буквен ными коэффициентами.

Пр и м е р 1. Решить систему

х+ у . а х—у b—с

			х-\-с а-\-Ь
			у+ь		а + с
Из первого уравнения по свойству производных про
порций *)	^если	т		р	то	т + п	р+д	находим
порций *)	^если	п		q '	то	т—п	р—д	находим
2х a-j-b—с		п		q '		т—п	р—д
2х a-j-b—с	, откуда
2у а+ с—b	, откуда			а-\-Ь—с
				а-\-Ь—с				( 1)
			X	а-\-с—bУ-				( 1)
			X

Подстановка значения х во второе уравнение системы

дает:
(а+Ь—с) у	_а-\-Ь
а+ с—b	_а-\-Ь
У + b	а - \- с

, „		а	с
*) Если имеет	место пропорция -г-— d
а , , с . ,	1 = - d ’	а~г-	b
_ - И = ¥ + 1и	1 = - d ’	b

Поделив почленно два последних равенства,

а-\-Ь_c-\-d а—b с—d'

c-\-d	и	а—b	с—d
d	и	b	~d~'

получим:

откуда
<а + b) (у + b) =					+ с(e + с),
(а + Ь) У -	(- ^	cl {“^ -	c^	- ^ c ( a + c ) - b { a + b),
у <°+ № ± £ ^ & + £ )				д с (а + С) - ь (а + Ь),
(о. -{-b) (ü -fс)—b (ß -4“6) —(Û -fc) (ß -fb) -f- c (ß -fc)
У	ß + c —&				— c(a + c) — b{a + b).
					— c(a + c) — b{a + b).
Сокращая обе части уравнения на						c(a-fc) —b(a-\-b),
получим:
—i—— 7= 1,			у —а ф с —b.
a + c — b			v		1
Подстановка	найденного			значения		у в равенство (1)
дает х = аф Ь —с.
П р и м е р 2.	Решить систему
	(	х-\-	уф		г = О,
	-I	ахф	Ьуф		сг = 0,	(2)
	(	Ьсх + асу -J- abz = 1,

Из первого уравнения имеем:

г = — {х + у);

подставляем это значение z во второе и третье уравнения системы (2), что приводит к системе уравнений

\	а х -J- by— с{хф у) — 0,
\	Ьсх + асу—аЬ{хфу) — 1.	'
Из первого уравнения системы (3) следует:
	(а—с)х = (с —Ь) у,
при а — с Ф 0 имеем:
	с— b	(4)
	Û— с У.	(4)
	X

После подстановки найденного выражения х во второе уравнение системы (3) получим уравнение с одним не известным:

(Ьс—ab) (с— Ь) у ф {ас— ab) у = 1,

а — с

или

—b (с—b)y-\-a{c—b) у — 1,

{С- Ь ) ( а - Ь ) у = и у = — }1с_ ь..

Из равенства (4) находим:

затем

				У п р а ж н е н и я
1.	Решить уравнения:
,)	_J_______			х
;	2х—3	х(2х—3)		х
	X — 1 , X — 6 X —5 , X
	Z- О " Г	~ 7	V	С
	X — 2 X — 7 X — 6 X — 3
3)	2х + я I	X—ô Зах4-(я —b)a
	b	а	с— Ь	ab
		_	с— Ь	1________ 1
		Х	а —с (a— b) (с— Ь) (а — Ь) (а— с) ’

2 = — (х 4- у) = (а_ с) (6_ CJ .

2.	Решить системы уравнений:
	I 7х—Ъу— 8 = 0,
'	\	4х + 9у + 24 = 0.
2){		2х +	5г/ = 0,
2){		Зх— у = 0-
„	/		х:у = 3:4,
}	\	(х - 1 ):(у + 2 )= 1 :2 .
	Г 4 х + — = 21,
4)	1		1/
4)	Г
	I — = 1 7 —Зх.
	^ У
		У к а з а н и е .		-= г .
		5х ,	0,3
			6 ,
5)		27£ + !У= з і .
		27£ + !У= з і .		=5,
		2 х - \ - у ' 2 х — Ъу		=5,
		—5--- J-----1
		15	2	=5.
		2х+г/ ' 2х—Зг/		=5.

тх—2у = 3,

Зх + т у = 4.

4 х + ту — 9 = 0,

2тх-\- 1&/+ 27 = о.

(	—	,	У	2а,
(	—	,	а —&
9) I	а+ 6		а —&
V	X — у — АаЬ.
' (	X		у
10)	-а		у — b

^ax-\-by = ïab.

		_£і _У_	1= 0,
И)		а 'Ь
И)		- £ - 1 = 0 .
		- £ - 1 = 0 .
		а
12)	f	(а + 6)х —(а—b)y = 4ab,
12)	{		У
	Vа+ ô		a— 6 = 2.
	J	(а2 + 63) х + ( а 2 —ô2)(/ = fl3,
'	I	(а -j-b) х -р (а—Ь)у = а.

У к а з а н и е . 2х + (/' =г, 2х— 3у

14) -J			m	n	p
	V A x - \ - B y - \ - C z - \ - D = 0 .
	У к а з а н и е . — — t \ x — m t ,						u — n t \ z = p t .
				m
	( X— a y — b			z — c
15) -j		m	n	p	’
	V A x + B y + C z + D = 0.
	У к а з а н и е .			Ввести		вспомогательное неизвестное			і, пола-
		т
	/ЛН-М + І0 -] 1= 5,
	>\ \| д с + 1 \| - 4 у			=	—4.
3. При каких значениях параметра k линейная система уравне
ний				(	Зх4-£(/ = 5-{-й,
				(	Зх4-£(/ = 5-{-й,
				\ 2лг+5(/=8
имеет	единственное решение?						система
4. При		каком	значении		параметра k		система
				( ( \ + 2 k ) x + 5y = 7,
				\ (2 +		k)x + 4y = 8
не имеет решения?			значении		параметра k			система
5.	При	каком	значении		параметра k			система
				I (2k— \)x-\-ky = 6,
				(	7,5*-(- 4у = 3
имеет	бесконечное		множество			решений?		Найти хотя бы	одно из
этих решений.

Г Л А В А III

НЕРАВЕНСТВА

§ 19. Основные понятия и определения.

О п р е д е л е н и е 1. Два числа или два алгебраиче ских выражения, соединенные между собой знаком <

(«меньше»),

или знаком

(«больше»),

или

знаком

(не равно),

образуют

неравенство.

Пр и м е р ы . 1) 3 > —5; 2) а < 1-]- й2; 3) З ф 2 .

О п р е д е л е н и е

Два

неравенства

вида

й <

с < d

или а >

Ь, с > d называются неравенствами одина

кового смысла;

например,

3 > 2

и 7 > —20.

Два неравенства вида

а >

и с < d

называются не

равенствами противоположного

смысла;

например,

4 <

< 5 и

0 > —3.

Иногда к знакам

или

присоеди

няется и знак равенства, например,

а ^ О

(читается:

«число а

неотрицательно») или

b ^

0 («число

b неполо

жительно»),

Такие

неравенства

называются нестрогими,

в отличие

от строгих

неравенств a y b

или

c < d .

§ 20. Свойства

неравенств.

Если

а у

Ь,

то

b <

а.

с.

Если

а у

b и by- с,

то а у

Ь < с

или

Два

неравенства вида:

(1)

а <

(2) а у b

b y

с могут

быть

объединены в двойное не

равенство:

(1 ) а <

b <

с и (2)

а у

b y

с.

П р и м е р .

Если

а — приближенное

значение

вели

чины X, Ай—граница абсолютной

погрешности

прибли

женного

числа

й,

то

истинное

значение

величины

X < û-f Ай, но х >

й— Ай, и можно написать двойное не

равенство: а — Ай < X < a -j- Ай,

4) Если а > b и т — любое число, то

а+ т > Ь + т.

Кобеим частям неравенства можно прибавить (или от обеих частей отнять) одно и то же число, в результате

получается неравенство того же смысла.							частям		по 4, по
П р и м е р .			5 > 3 ;	прибавим к обеим
лучим	9 >	7.						то
5) Если		а^>Ь и т — положительное число,
					am > bm.
Обе	части		неравенства можно умножить					на одно и
то же	положительное			число, от чего смысл				неравенства
не изменится.
При умножении обеих частей неравенства на отри
цательное		число т (т < 0) смысл неравенства							меняется
на противоположный,				т. е. если а > Ь		и т <		0,	то
					am < bm.
П р и м е р .			3 > — 1		умножаем	на	—4;		получим
— 12 < 4 . То же самое можно сказать						и о делении обеих
частей	неравенства на				число т(т-фО),		поскольку деле-
ние сводится					1
			к умножению на —,
			J		т

§21. Действия над неравенствами.

1.С л о ж е н и е . Два или несколько неравенств одина кового смысла можно почленно складывать; в результате получается неравенство того же смысла:

а > Ь,

с> d,

т> п,

а + с + т > b -f d + п.

2. В ы ч и т а н и е . Неравенства противоположного смы-- ела можно почленно вычитать; в результате получаем неравенство того же смысла, что и неравенство-умень шаемое.

Если а > b и c < d и из первого неравенства вычи таем второе, то

а— с > b— d.

П р и м е р .

—3 > —7 4 < 5

—3 —4 > —7—5,

или —7 > — 12.

3. У м н о ж е н и е . Два или несколько неравенств одина кового смысла можно почленно перемножить между■со бой, если все их части положительны; в результате по лучим неравенство того же смысла.

Если

а<Ь

с< d (а > 0, с > О), то ас < bd.

Пр и м е р .

3< 5

4< 6

12 < 30 .

4. Д е л е н и е . Два неравенства противоположного смысла можно почленно делить одно на другое, если все части неравенства— положительные числа; в результате получим неравенство того же смысла, что и неравенство делимое, т. е. то неравенство, которое делим на другое:

а> b

с< d (b > 0, с > 0)

Пр и м е р .

4 > 3

1<2

4 ^ 3

§ 22. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным.

О п р е д е л е н и е 1. Неравенство вида

ах -f b > apc -f b1 или ax -f b < aLx + bt

. называется неравенством первой степени с одним, неиз вестным. Таковыми будут, например, неравенства

l ) f - 5 > f + 2, 2) 4 - 5 * < х + 22.


Решением	неравенства			называется		всякое значение
X, которое удовлетворяет данному					неравенству.
Например,	число	2	является		решением		неравенства
4 —5* < * + 22, так-как				4 —5-2 < 2 + 22,			—6 < 24.
О п р е д е л е н и е		2.	Решить неравенство—это зна
чит найти все значения			неизвестного,			удовлетворяющие

данному неравенству. Отыскание решения всякого нера


венства		первой		степени с одним		неизвестным	приводит
к простейшим неравенствам вида
1)	* > а,		2)	л: <	Ь.
В	первом		случае		говорят, что число а есть нижняя
граница		значений неизвестного.				Это значит,	что любое

число, большее числа а, является решением данного нера венства. Если на числовой оси построим точку, соответст

вующую	числу а, то значения		неизвестного *, удовлетво
ряющие	неравенству * > а,		изображаются точками, ле
жащими	правее	точки х —а	(на рис. 4 заштриховано).
В простейшем		неравенстве * < b число b называется

верхней границей неизвестного, что означает: любое число, меньшее числа Ь, является решением этого нера венства. Графически неравенство * < b иллюстрируется следующим образом: на числовой оси отмечается точка, соответствующая числу Ь\ тогда любая точка, располо женная левее точки Ь, изображает число, удовлетворяю щее данному неравенству (рис. 5).

Неравенства первой степени с одним неизвестным ре шаются по той же схеме, как и уравнения первой сте пени. Поясним на примерах.

П р и м е р .

Умножаем обе части неравенства на 3 > 0, чтобы освободиться от дробей:

2х—5 —3 > 9 —3*.

Перенесем член с неизвестным из правой части в ле

вую, а свободный член	из левой		в правую, изменяя
у переносимых членов знаки на противоположные:
2л:+ 3* >	9 + 8;	5л; >	17.
Разделив обе части на	5 > 0,	получим л- > 3,4. Число
3,4—нижняя граница значений неизвестного х.
§ 23. Отрезок. Промежуток. Пусть а и b—два числа,
причем а < Ь. К числам	а и b приобщим все промежу

точные числа, заключенные между ними. Тогда обра зуется замкнутое множество чисел х: а ^ х ^ Ь . Замкну

тость состоит в том, что		в этом множестве есть наимень
шее число а и наибольшее число Ь.			удовле
О п р е д е л е н и е 1. Множество всех чисел х,
творяющих неравенствам		а ^ х ^ . Ь , называется	отрез
ком (или сегментом).
Принято отрезок обозначать [а, Ь]\ например, пишут
[О, 2]	вместо 0+Txîg7 2.	Само название —отрезок —ука
зывает	на то, что этому	числовому множеству	соответ

ствует множество точек числовой оси, сплошь заполняю

щих

отрезок

с концами

в точках х — а и х — Ь.

Удалим крайние (концевые) точки отрезка [а, Ь\,

тогда

получим

открытое

множество чисел х: а < х < Ь\

в этом

множестве

нет

наименьшего

числа

и нет

наибольшего

числа,

силу

чего оно

называется

открытым.

2. Множество всех чисел х,

удовле

О п р е д е л е н и е

творяющих двойному

неравенству а < х < Ь,

называется

промежутком (или интервалом).

(а,

Ь);

напри

Обозначается

промежуток

символом

мер,

(1,

означает

1 <

х < 5.

то говорят,

что х при

Если

имеет место

as^x<f >,

надлежит

полуинтервалу

[а,

Ь);

если

же

имеет место

а < х ^ Ь ,

то говорят,

что х

принадлежит

полуинтер

валу

(a,

b].

§ 24. Решение систем неравенств первой степени.

О п р е д е л е н и е .

Два

неравенства вида

ах + b >

[ ах + b >

О,

йхх + &! <

нли

\п хх + Ьх >

О,

относительно которых ставится вопрос об отыскании их

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 455 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ