книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

Рассмотрим решение простейших систем. П р и м е р 1. Решить систему

( х2+ г/2+ 2г/— 9 = 0,

\3х — у — 1 = 0.

Из второго уравнения выражаем у через х; у = Зх— 1. Подставляем это значение у в первое уравнение; получим:

хг+ (Зх— I)2 -у 2 (Зх— 1)—9 = 0.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов имеем:

х2— 1=0;

=1 » Х2= 1,

У і~ 4, Уі~ 2. П р и мер 2. Решить систему

( х2 + 3ху — 18;

\ Зу2+ ху = 6.

Разложим левые части данных уравнений на множители

( X (х-\-Зу) = 18;

\ у (Зу + х) = 6.

После деления первого уравнения на второе получим:

3, или х = 3у.

у

Тогда второе уравнение дает:

§ 84. Искусственные приемы решения систем уравне­ ний. В некоторых случаях системы уравнений решаются более изящно, чем способом подстановки, если прибегнуть к особым приемам.

Пр и м е р 1. Решить систему

f х Т- У — 5»

\ху = 6 .

Неизвестные х и у можно принять за корни вспомога­ тельного квадратного уравнения г2—52 + 6 = 0, откуда 2 Х= 2; г2 = 3; так как безразлично, какое неизвестное принято за 2 j, какое за z2, то всего имеем два решения:

+ = 2, + = 3; У і = 3, Уі ~ 2.

П р и м е р 2. Решить систему

( X —г/= 7;

I Xу = 10.

Представим данную систему следующим образом:

( х + ( */) = 7,

\х( —у) = 10.

Как и в предыдущем примере, неизвестные х и —і/ суть корни уравнения г2 —7г + 10 = 0, т. е. гх = 2, z2 = 5, от­ куда получаем два решения:

П р и м е р 3. Решить систему

I иф Ü = 20;

\«а = 64.

Решая эту систему по образцу примера 1, находим:

ковы, то всего получаем четыре решения. П р и м е р 4. Решить систему

I2х2ф 5ху— 18г/2 = 0;

\ху + у2 — 12 = 0.

Первое уравнение системы—однородное уравнение второй степени, так как левая часть уравнения есть одно­

одночлена называется сумма показателей при неизвестных; напри­ мер каждый из одночленов 5л:2; Зху, —0,5у2—второй степени, по­

приводится к неверному равенству —12 = 0. Следова­ тельно, обе части первого уравнения можно разделить на у2:

2/2 + 5^— 18 = 0,

корни его

Таким образом, данная система равносильна совокуп­ ности двух систем:

Первая из них действительных решений не имеет, вторая имеет два решения:

Iх2— ху + у2 = 3;

\2х2—ху —у2— 5.

Левая часть каждого уравнения данной системы представляет однородный многочлен второй степени относительно неизвестных х и у (все члены второго изме­ рения), поэтому удобно ввести вспомогательное неиз­ вестное t, полагая у = іх\ тогда каждое из уравнений данной системы после подстановки примет вид

х2(1— t + t2) = 3; x2(2 — t — i2) = 5.

Так как хф О , то разделим первое уравнение на второе; получим:

5—5/ + 5/2 = 6 —3^—3t2,

или

8/2 —2/ — 1 = 0;

это—квадратное уравнение относительно вспомогатель­ ного неизвестного і\ решая его, находим;

Построим для каждого уравнения данной системы соответствующий график, т. е. кривую. Если кривые пере­ секаются в точке М1(лу; уг), то координаты точки пере­ сечения являются решением системы. Действительно, так как точка пересечения принадлежит обеим кривым, то, следовательно, ее координаты удовлетворяют как пер­ вому уравнению системы, так и второму, а такая пара чисел и есть решение системы.

П р и м е р і .

Iх* + у* = 13,

\ху = 6.

Первому уравнению системы соответствует окруж­

ность радиуса г = У 13 с центром в начале координат (рис. 44), второму уравнению соответствует равнобочная гипербола, ее ветви расположены в первой и третьей четвертях. Кривые пересекаются в четырех точках: М1(3; 2), МД2; 3), М Д—3; —2), МД—2; —3). Таким образом, система имеет четыре решения.

Графический способ решения имеет то преимущество, что сразу видно, сколько действительных решений имеет данная система.

Однако графический способ дает лишь приближенные значения этих решений, обычно с точностью до 0,1.

Чтобы получить большую

времени. В этом— главный

( ху = 2,

{ У = х*+ J X - T .

2 На рис. 45 изображена равнобочная гипербола У = ~

и параоола у = х2-\--^х— - , которые пересекаются в трех

Следовательно, данная система имеет три решения:

Решение данной системы способом подстановки привело

собы решения таких уравнений в элементарном курсе алгебры не рассматриваются. Надо догадаться, что левая часть уравнения разложи­ ма на множители:

2х3 + 7х2—5х—4 = = (*— 1) (2х2 + 9х + 4) = 0.

Приравнивая нулю каж­ дый множитель, найдем

2. На плоскости дано несколько точек, расположенных так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Определить число точек, если через них можно провести всего 28 различных прямых,

3.Решить в общем виде предыдущую задачу, если всего можно провести т различных прямых.

4.Участок земли площадью 375 м2 имеет форму прямоуголь­ ника, одна из сторон которого составляет 60% другой. Найти эти стороны.

6.Возможен ли такой выпуклый многоугольник, в котором число всех диагоналей было бы равно 12?

7.В каком многоугольнике число сторон равно числу всех диа­ гоналей?

8.Возможен ли такой прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются тремя последовательными целыми числами? Тремя последовательными четными или нечетными числами?

9.Два туриста отправляются одновременно в город, находя­ щийся от них на расстоянии 30 км. Первый из них проходит в час на 1 км больше, вследствие чего приходит в город на один час раньше. Сколько километров в час проходит каждый путешест­ венник?

10. Бассейн наполняется посредством двух труб в 1-g- часа;

О

первая труба в отдельности может наполнить бассейн двумя часами

14.Если артель продаст товар за 2688 руб., то получит столько процентов прибыли, сколько сотен рублей содержится в половине себестоимости товара. Какова себестоимость товара?

15.Два туриста А и В выехали одновременно из разных мест

17. Агроном установил, что наличным семенным фондом в 22,5 тонны можно засадить весь намеченный под картофель участок. При посадке выяснилось, что семена отборные и потому можно уменьшить предполагавшуюся норму посадки на один гектар примерно на 200 кг.

20.Не решая следующих уравнений, указать, какие имеют дей­

21. При каких значениях коэффициента т каждое из следующих уравнений имеет два равных корня:

3)X2 —2 (1 + 3 т )х + 7(3 + 2т) = 0?

22. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты а, b и с, чтобы уравнение ах2-ф èx + с = 0 имело

1)действительные положительные корни;

2)действительные отрицательные корни;

3)один действительный корень положительный, другой отрица­

тельный?

23. Какое значение имеет т, если уравнение