книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

растает от

— 1

до

+

1 .

равное

1,

cosx

достигает

5) Наибольшее

значение,

при

х = 0,

2я,

4я,

. . . , 2я/г; наименьшее

значение, рав­

ное

— 1,

функция

принимает в точках

я, Зя, 5я, ...

. . . ,

{2k -j- 1 ) я,

k — 0 ,

Ч; 1 ,

і

2 , ...

если аргумент х =

6 ) Функция

обращается

в нуль,

= f

(2k + 1 ), k = 0,

±

1 , ±

2 , . . .

у — tgx и

y = ctg х. На

2 .

Г р а ф и к и

ф у н к ц и й

рис. 91 изображен

график

функции

у —tgx,

построен­

Рис. 91.

Рис. 92.

чине значения.

нечетная,

ибо

-tg (—л:) == — tgx;

симмет­

4)

Функция

рия относительно

начала

координат

отражена

на

гра­

фике.

5)

tgx

возрастает в промежутках

nk ——■< х < у

+

nk.

тангенс

не

6 ) Наибольшего и наименьшего значений

имеет.

Функция

обращается

в

нуль

при

x —nk

(k =

7)

= 0; dz 1 ;

dz 2;

. . . ).

график

функции у — Сtgx,

ко­

На

рис.

92 изображен

торый

может быть

построен

сдвигом

графика

функции

ÿ = t g x влево вдоль оси Ох на

у

с последующим отра­

стрелки часов, когда они показывают 2 ч.,

6 ч., 8 ч.

2.

Найти

радианную меру углов:

7) 320°.

1) 2°;

2)

5°; 3) 7°,5; 4) 12°,5; 5) 22°,5; 6) 200°;

3.

Найти

радианную

меру углов:

1) 2700°;

2)

7200°;

3)

10 000°.

4.

Выразить в градусах и минутах величины дуг, радианная

мера которых

выражается числами:

л

л

,,

2л:

Зл

_ч Зл

л

^ "З ’

Т ’

3)

у > 4) Зя> 5) ~8

; 6) Ts ; 7) Jo •

5.

Два.угла

треугольника содержат

59°

и 69°. Вычислитьв

дианах величину третьего угла треугольника.

с

тт

угла

треугольника

содержат

Зл

рад и

2л

6. Два

у^рад. Вычис­

7. Дуги

составляют следующие части окружности: 4 - ;

J-.

JL

11

5

12 ’

6

; 1;

1,75; 0,03; 0,005; 0,375.

5 ’ 15

8.

Дуга

окружности

радиуса

R — 6 см

имеет

длину,

равную

4,5 см. Какова

радианная

мера этой дуги?

9. Пользуясь таблицей, перевести в радианную меру углы:

7)

і)

126°;

2)

279°;

3)

118°40';

4)

250°20';

5)

352°10';

6)

168°15';

56°18';

8)

472°50'.

10. Пользуясь таблицей, перевести в градусную меру углы:

7)

1)

0,4800;

2)

0,6510;

3)

1,2700;

4)

0,6270;

5)

1,3983;

6)

0,0099;

0,5000;

8)

2,6400.

ее радиус равен 22,5 см

11.

Найти длину дуги окружности, если

и ее центральный угол равен 40°30'.

12.

Дуга окружности содержит 200°. Определить радиус окруж­

ности,

если длина дуги равна

50 см.

радиус

которого

13.

Найти периметр и площадь сектора круга,

равен 15 см,

если дуга

содержит

54°.

сегмента,

ограниченного ду­

гой

14.

Вычислить площадь

кругового

в 45°44', зная, что радиус круга

равен

47,34 м.

в радианах

угол

15.

Зубчатое

колесо

имеет

90

зубцов.

Выразить

поворота

колеса,

когда

оно

повернется

на:

1)

30 зубцов;

2) 25 зубцов; 3) 40 зубцов; 4) 200 зубцов.

диск

при

300

оборотах

16.

Какую

угловую

скорость

имеет

круге (/? =

1) найти

следующие величины:

1) sin

120°; 2)

ctg 60°; 3) cos 75°; 4) tg 250°; 5) sin 225°;

21. Доказать неравенство s in x + c o s x

>

1; 0 < х <

90°.

22. Определить знаки следующих выражений:

1) sin 285°; 2) ctg252°30'; 3) cos 135°;

4)

tg327°20'.

по заданному

23. Построить наименьший положительный угол

значению тригонометрической функции

и

выразить угол в радиан-

ной мере:

9

cos х = — 0,6; 3)

tg лг= 1,2; 4)

sin д:==— 0,7;

1) s in x = — ; 2)

5) tg x = — 0,6.

24. В каких границах может изменяться

аргумент х, чтобы были

справедливы следующие неравенства (

0

2я):

1) sin я — у ^ г О ;

2)

У - -[-sin х < 0 ;

3)

cosx —-^ -< 0 ;

4) tg x — І ^ З ^ О ;

5)

Ѵ з tg x~r 1 < 0; 6) ctg x + 1 ^ 0 .

1) sin а = — 0,6 ( я < а < Зл

2) cos а =

2

У

— л < а < 2я

53

3) t g а = у ; 4) ctg а==— 2(90° <

а < 180°).

12)

2 (sin0 Л-)-cos0 Л)—3 (sin4 Л-)-соз4)+ 1 = 0 ;

13)

(sin у -)-cosec y)a-)-(cos y + sec y)i —(tg2 ÿ + ctg2 y ) ~7 ;

14)

sin9 Л + cos° Л + 3 sin2 Л cos2 Л = 1.

1) sin X > 0;

2) cos х <

0;

3) sin 2х <

0;

4)

cos Зх > 0;

5)

t g x > У 3;

6)

sin X^

у

;

7) cos 2х <

-

; 8)

0 < sin х <

;

9)

< cos X <

1;

10) 0 <

t g x < - ^ p ;

11)

0 <

sin

< y î

12)

1sin X I < ÿ ;

13) Y

<

cos ^x —

<

1;

14) ] cos 2x| <

.

— sin30°-sin 45°

Y з

Y 2

1

Y 2

Y 6 — Y 2 _

2

'

2

2 '

2

: 4

~

« 0,2588. .

Найдем формулу для синуса суммы двух углов:

I

s in (a +

ß) =

4 — -!= Уі+Уг,

(5)

sin (а -ß ß)

1 ÖAlj j sin а 4 - 1 МХМ | cos а.

(6 )

Заменяя в равенстве (6 ) | 0М Х| на cos ß и j МХМ |

на

sin ß, окончательно

имеем:

нуса первого угла на синус

второго.

Пр и м е р .

Дано:

3

1

где а — угол

sincx = -^-,

cosß = y ,

во второй

четверти,

ß —острый

угол. Найти

sin(a-ßß).

Находим:

,/Д

9~

Y 7

■ О

,

1

Г

cosa = — | /

1

- jg = —

; s i nß=

у

— 9- = - L3— >

Поэтому

sin (a 4 - ß) = sin a cos ß -ß cos a sin ß =

3

1

Y 7

Y ' 8

3— 2 >^І4

~ 4

' 3

4

"

3

~

!2

cos 15°

Y 2 Y 3

Y 2 I _ _ Y b + V 2

0,966.

2

2

1

2

2

4

Y 3 Y 2

Y 2 i

Y 6— Y 2

0,2588.

2 * 2

2 ‘ 2 —

4 ■

угол

<pj, вектор OB —г 2 = {х2,

у2\ образует

с осью

Ох

угол

ср2 (рис. 94). Тогда угол <р

между векторами равен

разности ф= ф2 —ф1.

произведения

имеем:

По определению скалярного

Гі ■Г2= ГК г cos Ф = ГК 2COS (ф2 — ф1) .

( 1 )

Равенство (1) перепишем в виде

Г, • Г 2 = rxr2(cos фх COS ф2 + sin ф! sin ф2) =

= гг COS Ф1 • г2COS ф2 + rx sin Ф1 • r2sin ф2.

(2)

/^coscp^x^

r2 cos фа = х2;

гj sin

= yt]

r2sin cp2 = y2,

от­

ÿ

куда

r 1-r2= x1-x2 + y1-y2.

Скалярное

произведение двух

векторов равно сумме произведе­

ний

их одноименных координат.

П р и м е р

1 .

Вычислить

скалярное

произведение

век­

тора

AB

на

вектор

CD,

если

ß

А (2; 5),

В (4; 3),

С (—5;

—1) и

D (—1; 2). Находим координаты

каждого

вектора:

АВ = {хв — хА, yR~ y A}\

~АВ = {2,

—2};

с Ь = {4,

3};

ÄB ■CD = 2• 4 + (—2) -3 = 2.

П р и м е р

2.

Определить

координату

у вектора

а = {3, у] таким образом,

чтобы векторы fl и ô = {4, —2}

были

перпендикулярны.

Так

как

а 1

Ь ,

то

<р = -^-; cos-^- = 0,

а потому ска­

лярное произведение

обратится

в нуль,

а • ô = 3 • 4 +

г/ (—2) = 0.

Следовательно, у = 6 .

примере

использовалось

П р и м е ч а н и е .

В этом

следующее

важное

свойство

скалярного

произведения:

из

перпендикулярности

векторов

а

и

Ь

следует,

что

а-Ь = 0.

Верно

и обратное:

из

обращения скалярного

произведения

в нуль следует, что a _Lb, если ни один из

векторов

а

или b не является

нуль-вектором.

синуса

этого угла

на

его косинус:I

I

й\

sin(a +

ß)

sin а - cos ß-f- cos a - sin ß

°

'

' '

cos (a -f- ß)

cos а • cos ß — sin а • sin ß

sin а - cos ß ,

cos а - sin ß

_

cos а -cos ß '" cos а -cos ß

tg a - j- tg ß

cosa-cosß

s i na - si nß

1 — t g a - t g ß ’

cos а • cos ß

cosa-cosß