Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ли оно иметь действительные корни, и если да, то поло жительны они или отрицательны?

Ответы на поставленные вопросы и составляют то, что принято называть и с с л е д о в а н и е м корней квад ратного уравнения.

В этом исследовании важную роль играет выражение

D If —4ас, называемое дискриминантом квадратного уравнения.

Возможны следующие три случая. С л у ч а й 1. а > О, D > 0.

Если дискриминант — положительное число, то квад ратное уравнение имеет два действительных и различных

корня, так как выражение ± У Ьг—4ас представляет со бой два противоположных числа, причем ни одно из них не равно нулю; следовательно, дроби

—ь— V o		—ь-f Ѵ р
2а	И	2а

имеют разные числители при одинаковых знаменателях. Относительно знаков у коэффициентов b и с можно

сделать следующие четыре предположения:

1 )	Ь < 0 , с > 0 .

Если свободный член положителен, то оба корня

одинаковы по знаку, так как ххх2 = -^- > 0. Сумма кор-

ней х1у х 2 = — ~ > 0 и потому оба корня положительны.

2 )	b y 0, с > 0 .

Оба корня одинаковы по знаку и оба отрицательны, так как знак суммы корней противоположен знаку коэф

фициентов “ 0 .

3)	Ь < 0 , с < 0 .

Корни противоположны по знаку, так как их произ-

ведение отрицательно: ххх2 = — < 0. Больший по абсо

лютной величине корень положителен, ибо

*і+*.= -“ > о.

4)	b > 0, с < 0,

Корни противоположны по знаку. Больший по абсо

лютной величине корень отрицателен.
С л у ч а й 2. а > О, D = 0.				и	одинаковы:	х1 —хг =
Оба	корня	действительны
= — ^	, как	это следует	из формулы корней			квадрат
ного уравнения. При 6 >			0 оба корня отрицательны, при
b < 0 оба корня положительны.
С л у ч а й 3. а > О, D < 0 .
Квадратное уравнение действительных корней не имеет,
так как квадратный корень из отрицательного числа Ÿ D
есть мнимое число. Такие случаи					нами пока рассматри
ваться не будут (см. гл. XV).				то, помножив обе части
П р и м е ч а н и е . Если			а < 0,

уравнения на —1 , получим уравнение с положительным коэффициентом при х2.

Результаты исследования истолкованы геометрически на графике квадратного трехчлена (рис. 38): в случае 1 парабола пересекает ось абсцисс в двух точках хг и хг

Рис. 38.

(хх и хг—корни трехчлена и в то же время корни квад ратного уравнения); в случае 2 парабола касается оси абсцисс (два корня сливаются в один) и в случае 3 па рабола не пересекает ось Ох (корни мнимые).

§ 70. Решение задач, основанных на свойствах корней

квадратного уравнения.	ах2 + Ъх-\-
З а д а ч а 1. Дано квадратное уравнение
-f-c = 0. Составить новое квадратное уравнение,		корни
которого обратны корням данного уравнения.		тогда
Обозначим корни нового уравнения через а и р ,
а —— , ß = — , где хх и х3— корни данного	уравнения

Х\

Найдем сумму и произведение новых корней:

			а ■ß	1
	*і	Х\Хч	а ■ß	ХіХъ
	*і	Х\Хч		ХіХъ
Но так	как х1-\-х2 = —		хг-х9 = — , то
	а -j- ß		а - ß = — = — ,
			1 с	с
Зная сумму и произведение			корней,	составляем само
уравнение	х2+ -j х 4- ^ — 0 ,	или сх2-f Ьх-\-а = 0 .

Таким образом, если поменять местами крайние ко эффициенты квадратного уравнения, то корни нового уравнения будут обратны корням первоначального.

З а д а ч а 2.	Дано уравнение 2x2 -j-mx-f 30 = 0. При
каком значении	X	3
	т отношение корней — = —?
		О
По свойству корней квадратного уравнения и по
условию задачи	имеем:

,т

	■И+ Х2			2~ ’
{	х1-хі = 15,
I	Хі	_	3
I	х2	~	5	'

Исключив из этой системы неизвестные хг и х.г, най

дем т. Именно, найдя из третьего уравнения х1 = - ^ х 2

и подставив в первые два, получим:

5 * 2

Т ’

Vй

15,

откуда

х2 —+

-|-(± 5 ) = —

т = ± 16.

З а д а ч а

Найти

сумму

квадратов и сумму

кубов

корней

квадратного уравнения

ах2-ф bx-f с = 0 ,

не

на

ходя самих корней хг и х2.

xf + х\ = {хг+ х2)2—2 x^ 2

1) Сумма

квадратов

b \ 2

0 с _ b2

2с _Ô3 —2ас

— ^ . ——

...)

2 )	Сумму		кубов	корней	можно представить следую
щим образом:
	х\ + х3 = (х1+ х2)3				З х ^ 2(Xj+x,),
* ï+ * I=			АѴ	3 - -	_ У \	__ 3Ьс	пз
					а ]	а'2
			- Vа )	а
§ 71. Задачи на квадратные уравнения.							равномерно
З а д а ч а		1.	По сторонам прямого			угла
движутся	два	тела А		и В по направлению			к вершине

прямого угла.

Скорость тела А в два раза больше скорости тела В. Через 10 с расстояние между А и В равно 130 м. Найти скорость каждого тела, если в момент начала движения

тело А находилось		на расстоянии 270 м. от вершины
прямого	угла, тело	В —на расстоянии 125 м (рис. 39).
Пусть	скорость	тела
А равна	2х м/с, скорость

тела В равна х м/с. Тогда по истечении 1 0 с рассто яние тела А от вершины равно (270—20х) м, а рас стояние тела В от вершины равно (125— 10х)м.

По условию задачи должно быть

(270—20х)2 + (125—1 Ох)2= = 1302.

Раскрывая скобки, перенося все члены в левую часть, получим квадратное уравнение

20х2 —532х + 2865 = 0.

Его корни х1 — 7,5; ха=19,1.

Таким образом, скорость тела В равна или 7,5 м/с, или 19,1 м/с, скорость тела А равна соответственно или

15 м/с, или 38,2 м/с.		вершины:
В первом	случае оба тела не дошли до
А находится	'на расстоянии 270— 150= 120 м, В нахо
дится на расстоянии 125—75 = 50 м.		ответ удо
Так как	1202+ 502 = 1302, то полученный
влетворяет условиям задачи.

Второй ответ не удовлетворяет условиям задачи в строгом смысле слова, так как через 1 0 с пройденный каждым телом путь будет уже больше расстояния до вершины и тела будут находиться не на сторонах пря мого угла, а на их продолжениях за вершину. Для при нятия второго ответа надо изменить условия задачи: вместо фразы «по сторонам прямого угла движутся два тела» следует сказать «по взаимно перпендикулярным прямым движутся два тела», и тогда оба ответа будут удовлетворять условиям задачи.

З а д а ч а 2		(историческая,		принадлежит	Эйлеру).
Две	крестьянки	принесли	на рынок вместе 100 яиц; из
них	одна имела	больше	яиц,	чем другая, но	обе выру

чили от продажи одинаковые суммы денег. Одна из них сказала другой: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь у меня твои

яйца, я выручила бы за них б-2j крейцера». Сколько яиц

было у каждой крестьянки?

Предположим, что у первой крестьянки было л; яиц, тогда у второй было 100—х. Если бы первая имела столько яиц, сколько вторая, т. е. 1 0 0 —х, то она выру чила бы 15 крейцеров; следовательно, первая продавала

каждое яйцо по		15 -	крейцера,	вторая крестьянка
продавала	каждое	яйцо	по цене	Таким обра-
зом, первая	крестьянка за свои х			15
зом, первая	крестьянка за свои х			яиц выручила * 100_ "

вторая выручила ( 1 0 0 —х ) ^ .

По условию задачи выручки одинаковы. Отсюда имеем


уравнение	15*	20(100— *)			п
	\| ÖÖ— ~ —ПД— '■				После сокращения и осво
бождения от дробных членов получим:
_ з * _ = 4 (іоо-*).		9х2 ==4(100^				ху.	З х = ± 2 ( \0 0 - х ) ;
	хх = 40;		х2 =	— 2 0 0		(не	годен).
Итак, первая крестьянка				имела		40,	вторая 60	яиц.
З а д а ч а	3. Двое рабочих А и В взялись							выполнить
некоторую	работу	за	16	дней.		После четырехдневиой

совместной	работы А перешел			на другую	работу,	вслед
ствие чего	В один		окончил	оставшуюся	часть	работы
в срок, на	12 дней		больший того, в течение которого А
один может выполнить всю работу.
За сколько дней			каждый рабочий в отдельности мо
жет выполнить всю работу?
Предположим,		что А может выполнить всю				работу
за X дней,	тогда	за	один рабочий день он должен вы
полнить — часть		всей работы.

При совместной работе А и В в день они выполняют

Yg часть всей работы; следовательно, на долю В прихо


дится в	день (-щ—	часть всей работы.	С другой сто-
роны, В		3	12) = —^		3
роны, В	должен выполнить в день — :(л: +		12) = —^
		4 4	'	4(х+ 12)

часть всей работы, так как за 4 дня их совместной ра

боты была выполнена -і- всей работы; следовательно,

осталось на долю В выполнить -^- всей работы за (x-j- 12)

дней.
Отсюда имеем уравнение ~ — ~ 4 (7^ І2 ) '				Левая	и
правая	части уравнения	выражают одну и ту же вели
чину—дневную норму рабочего В.			(второй корень
Решая это уравнение,		находим х = 24	(второй корень
х —— 8	не удовлетворяет условию задачи).
Рабочий В выполняет в день ——й = 4І				часть всей
работы;	следовательно,	всю работу он	выполняет		за
48 дней.
§ 72.	Биквадратное уравнение.

О п р е д е л е н и е . Уравнение четвертой степени, содер

жащее только четные	степени	неизвестного, называется
биквадратным. Общий	вид такого уравнения
ах* + Ьхг+ с —0		(а Ф 0 ).

Решение такого уравнения сводится к решению двух Квадратных уравнений, о чем говорит само название (биквадратное означает «двойное квадратное»).

Отметим, что если биквадратное уравнение имеет ко

рень хп, то оно имеет также и корень —х3,		т. е. корни
биквадратного уравнения попарно противоположны.
В самом	деле, если х0 есть корень, то	подстановка
в уравнение	на место х числа х0 дает справедливое ра
венство	ах% + Ьх%+ с = 0 ,	(1 )

но тогда справедливо и другое равенство:
	а ( - х 0)* + Ь ( - х оу + с = 0 ,	(2 )

так как левые части у равенств (1 ) и (2 ) одинаковы. Чтобы решить биквадратное уравнение, введем вспо

могательное неизвестное г, полагая г —х2, z2 = x4. Тогда уравнение примет вид

az2-\-bz + c = 0.

Это —квадратное уравнение относительно вспомогатель ного неизвестного г, и его корни

	—b— У b'1—4ас		—b-f- У b2—4ас
2 і ~	Та	’ Z* ~		Ti	*
Но zx	откуда
X1 , 2 ±	-b— У b2 —4ас		±	/	—Ь + У fr2 — 4ас
	Та	’		/	2а
	Та	’			2а

Таким образом, биквадратное уравнение имеет четыре корня, причем корни х1 и х2, х3 и хі попарно противопо ложны, т. е. сумма каждой пары корней равна нулю, а потому и сумма всех четырех корней равна нулю.

Эти формулы можно объединить в одну:

X-1* 2 , з » 4	-Ь± У Ь2—4ас		'
	•	Та	'
	•
П р и м е р . 2х4— 19ха + 9 = 0;		z = x2,
2z2— 19z + 9 = 0,	Z! = j , z2 = 9; xu 2 =		±	,
	xa, 4 == ±	3.

§ 73. Исследование корней биквадратного уравнения«

Характер корней биквадратного уравнения

ax4+ fac2-)-c= 0

(1 )

зависит от того, каковы корни вспомогательного квадратного урав нения

агъ -\-Ъг~\-с = 0.

(2)

1. Предположим, что а > 0 и дискриминант уравнения (2) по ложителен: D = b2—4ас > 0. Тогда при с > 0 и Ь < 0 оба корня положительны: гх > 0 и г2 > 0, и биквадратное уравнение (1) имеет четыре действительных корня, так как


		Х і , 2 = ' ± Ѵ г і ,		х 3 і 4 = ± Ѵ г 2 .
2.	Если а > 0,	D > 0, с > 0 и b > 0, то гх <			0, г2 <	0.	Все че
тыре корня биквадратного уравнения мнимы.
3.	При а > 0 ,	D > 0,	с < 0 квадратное уравнение (2) имеет один
корень	положительный,		другой —отрицательный,		гх < 0	и	г2 > 0,
поэтому одна пара корней х3 и				х4—действительная, другая хх и

хг—мнимая.

§74. Уравнения, приводящиеся к квадратным. При решении биквадратного уравнения мы применили подста новку z = x2, которая помогла снизить степень данного уравнения и свести его к квадратному уравнению.

Кподстановкам прибегают и в других случаях, когда необходимо неизвестные типы уравнений или системы уравнений свести к уже известным типам уравнений или систем.

Рассмотрим несколько				примеров.
П р и м е р		1.	2 j/7 хі —Зх		у Г-J =20.
Если внести под знак				радикала			множитель х, то
			? У ^ — З і/х 2— 2 0 = 0 .
Пусть	t =	\ / x %, / 2 = }/х4. Тогда					уравнение		запишется
в виде
			2/2—3/ — 2 0 = 0 .
Находим его корни:
	,	_ 3 ± V^9 + l6Ö			,	,	і2—	5	*
	2		4	>	М		і2—	2	*
Отсюда 4 = jî/x2,			64 = х2,	х =	±	8 .
				5	отбрасываем,			так	как / —
Второе значение / = —у					отбрасываем,			так	как / —
число положительное, что следует							из равенства / = ^/х2-
П р и м е р 2.			— 5 = 6 — X — X 2.
1	v		l+ X - j- X 2

Правую	часть уравнения			можно		представить в виде
			7 - ( 1 + х + х2).
Пусть t = 1		+ я*,	тогда-у = 7 — t .
Решая это квадратное уравнение относительно t , по
лучим: t x — 2; t2 = 5. Возвращаясь					к	неизвестному х, по
лучим два	квадратных уравнения:
1) х2-\-х-\-1 = 2 ; 2) х2 + х + 1 = 5.__
л				— 1± У К			— 1± ]/Т7
Решая их, находим: х1( 2 ==----- ^					•	, х3і 4 = ----j 1— ,
Таким	образом, .все Ччетыре корня уравнения оказа
лись иррациональными.
Пр и мер		3. Найти Действительные корни уравнения
		У х2-\-Зх -ф 6— Зх = X2 + 4.
Уравнение можно переписать в виде
Пусть		j/x 2 + 3x + 6 = x3 + 3x +-6 —2.

	t	— У X2-j~ Зх + 6;		t2 — X2+ Зх -j- 6,
Исходное		уравнение принимает			вид
			t2— t —2 = 0.
Положительный			корень этого уравнения				/== 2.
Другой		корень	t = — 1	отбрасываем,			так как t —

арифметическое значение радикала. Таким образом,

2 = У х2-{-Зх-\-6.

Возводя обе части в квадрат, получим квадратное урав нение х2+ 3 х + 2 = 0 , корни которого хх —— 2, х2 = — 1.

Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют уравнению.

П р и м е р 4. Решить уравнение

Это уравнение равносильно двум квадратным урав нениям

9 X2 ^ П ~ ° и	Q	7х	48	=0,
9 X2 ^ П ~ ° и	У	22	11 1	=0,

решив которые, можно найти все корни данного урав нения.

Однако мы будем решать его графическим методом. Для этого перепишем уравнение в виде

	і9—я2		7*	48
			22 '	11 •

Наша задача сводится теперь к нахождению таких
значений	аргумента х,	при которых две функции у =
= \|У—х2\	и У = 22+ ГГ		Делаются численно равными.

Очевидно, что такие значения аргумента х являются


абсциссами точек пере
сечения графиков			этих
двух функций.		функции
График
г/х = I 9—X21 можно			по
лучить	из	графика
у^= 9—X2,		отобразив
зеркально	относительно

оси Ох ту его часть,
которая лежит под осью				лежащая		над	осью
абсцисс. (Часть графика у —9— х2,
Ох, остается без		изменения.)
т-т	7лг	48		„	,		в че
Прямая у =	22	+ уу пересекает	первый		график
тырех точках,	абсциссы которых прочитываем по рис. 40.
Таким образом, данное уравнение имеет четыре корня:
хх та— 3,5; х2 æ —2,3; х3 = 2; х4æ 3,8.
Рассмотренный нами конкретный				пример		поучителен
в том отношении,		что показывает	некоторые преимуще

ства графического решения перед аналитическим. Пре жде всего видим, что уравнение имеет четыре корня, о чем догадаться без графика было бы трудно. Далее, нужно проделать довольно большую вычислительную работу, чтобы найти эти корни непосредственно (про верьте сами). Правда, при графическом способе решения уравнения в большинстве случаев мы находим только приближенные значения корней; в редких, специально подобранных примерах можно найти и точные значения корней.

§ 75. Решение уравнений степени выше второй разло жением левой части на множители. Если после переноса всех членов уравнения в левую часть получается много

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ