книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

При подготовке третьего издания некоторые главы книги подверглись значительной переработке. Автором учтены критические замечания и пожелания, высказан­ ные в ходе обсуждения книги, организованного научнометодическим кабинетом по высшему и среднему спе­ циальному образованию СССР. Кроме того, приняты во внимание изменения, внесенные в программу по матема­ тике для средних специальных учебных заведений.

циях и квадратный трехчлен; изучение последнего дела­ ет естественным переход к квадратным уравнениям. В главе «Векторы» дано понятие о координатах вектора и о разложении вектора по осям. Способ введения три­ гонометрических функций остался прежним, с той раз­ ницей, что вместо проекций вектора фигурируют коор­

зуется, например, при переводе комплексных чисел из алгебраической формы в показательную.

По просьбе многих преподавателей автор включил

в главу «Логарифмическая линейка» шесть новых пара­ графов об отыскании значений тригонометрических функций с помощью линейки и обратную задачу.

рукопись и указавшему на ряд существенных пробелов; его ценные советы и рекомендации были учтены при окончательной обработке рукописи.

Все критические замечания, отзывы и пожелания по поводу этой книги автор просит направлять по адресу: Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Издательство «Наука».

Москва, 1967 г.

Автор

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

При подготовке шестого издания в текст книги внесены незначительные исправления и дополнения: исправлены опечатки в тексте и ответах; в некоторых главах увеличено количество упражнений.

Настоящее издание отличается от предыдущего (1971 г.) лишь исправлением замеченных опечаток и неточностей,

Г Л А В А I

ЭЛЕМЕНТЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

§ 1. Источники приближенных чисел. В практической деятельности людей, а также в науке и технике посто­ янно встречаются как точные, так и приближенные числа, что видно из следующих примеров:

1) Если в каждой пачке содержится 20 книг, то в 100 таких пачках имеется 2000 книг. Ясно, что число 2000 — точное.

2)Согласно последней переписи населения в Москве

вначале 1970 г. проживало около 7,1 млн. человек. Число 7,1 млн.— приближенное (все статистические дан­ ные обычно округляются).

В данном случае округление произведено с точностью до 0,1 млн. = 100 000, а потому мы можем только утвер­ ждать, что точное число людей, проживавших в Москве

вначале 1970 г., заключено между 7,05 млн. и 7,15 млн.

3)Во всех сообщениях Центрального статистического управления СССР о выпуске промышленной продукции (автомобилей, мотоциклов, телевизоров и др.) данные приводятся в круглых тысячах, что указывает на их приближенный характер.

Точно так же всякий научный опыт и эксперимент, всякое измерение на местности или в лабораторных ус­ ловиях порождают приближенные числа, так как пока­ зания различных измерительных приборов мы можем определить лишь с некоторой погрешностью. Возникают вопросы:

1)Как оценить точность приближенных чисел?

2)Как производить арифметические действия над при­ ближенными числами?

Ответы на эти вопросы даются в следующих пара­ графах.

§ 2. Абсолютна» погрешность и ее граница. Пусть число а —приближенное значение некоторой величины, число А — истинное, или точное, значение той же вели­ чины. Как известно, абсолютная величина неотрицатель­ ного числа а есть само число а; абсолютная величина отрицательного числа а есть противоположное ему число (—а). Знак абсолютной величины: | |—две вертикальные

между точным и приближенным значениями величины называется абсолютной погрешностью приближенного числа а:

а = | А —а\,

где буквой а («альфа») обозначена абсолютная погрешность.

обнаружилось, что часы уходят вперед в сутки на 20 с; тогда а = 20 с и есть абсолютная погрешность суточного хода часов. Число 45 (с) есть то, что принято называть границей абсолютной погрешности приближенного числа;

вданном случае приближенным числом является то время, которое показывают часы. В большинстве случаев точные значения величин нам не известны, а потому нельзя оп­ ределить и абсолютную погрешность, т. е. число а; однако

вкаждом конкретном случае можно установить границу абсолютной погрешности, подразумевая под этим такое положительное число, что абсолютная погрешность а всегда остается меньше этого числа. Границу абсолютной погрешности приближенного числа а будем обозначать через Аа («дельта а»),

3)Слесарь не может точно изготовить деталь длиной, скажем, в 80 мм. Но с помощью калиброметра он может установить, что отклонился от заданного размера не более чем на 0,02 мм в ту или другую сторону. В данном слу­

чае Да = 0,02 мм, если за а принять приближенную длину 80 мм.

Из сказанного выше следует, что гораздо практичнее пользоваться понятием границы абсолютной погрешности, чем абсолютной погрешностью, когда речь идет об оценке точности приближенного числа. В дальнейшем границу абсолютной погрешности будем называть просто абсо­ лютной погрешностью, сохраняя обозначение Да.

§ 3. Относительная погрешность. Для сравнения точ­ ности двух или нескольких приближенных чисел недо­ статочно знать их абсолютные погрешности, что видно из следующего примера.

Произведены два измерения:

1)длины классной доски: ^ = 2,4 м с абсолютной по­ грешностью Ad1 = 0,05 м;

2)расстояние d2 между двумя станциями железной дороги: d2 — 3,48 км с абсолютной погрешностью Ad2= 10 м. Требуется узнать, какое из этих двух измерений произ­ ведено более точно. На первый взгляд может показаться, что более точным является первое измерение, ведь здесь

абсолютная погрешность равна только 5 см, тогда как при измерении расстояния между станциями допущена погрешность в 10 м. Такой взгляд ошибочен: надо учесть,

мерно в 7 раз точнее первого.

где 6в («дельта малая» с индексом а) означает относи­ тельную погрешность числа а.

Относительную погрешность часто выражают в про­ центах. В примере, рассмотренном в данном параграфе,

относительная погрешность равна 2% и 0,29% соответ­

ственно.

П р и м е р . Найти относительную погрешность прибли­

превышает половины единицы последнего разряда, то все значащие цифры данного числа называются точными. Например,

1) число Л = 58,3 имеет три точные значащие цифры, если АЛ не превышает половины десятой доли, т. е.

АЛ < 0 ,05 .

2) Число В = 0,032 имеет две точные значащие цифры, если AB ^ 0,0005 (половина тысячной равна пяти деся­ титысячным). Нули, стоящие перед первой значащей цифрой (3), в счет точных значащих цифр никогда не идут.

3) Число С = 2,007 имеет 4 точные значащие цифры, если АС 0,0005. Здесь нули, стоящие между значащими цифрами 2 и 7, также идут в счет точных значащих цифр.

Что касается цифры 0, стоящей в конце записи при­ ближенного числа, то в некоторых случаях нули идут в счет точных цифр, в других —нет.

4)Число 4123, округленное до сотен, будет 4100 (за­ пись: 41-ІО2); здесь нули в счет точных значащих цифр не идут, так как они заменяют точные цифры 2 и 3.

5)Точное число 15,003, округленное до сотых долей, дает 15,00; здесь оба нуля идут в счет точных цифр, по­ скольку в точном числе ни десятых, ни сотых долей не

имеется.

О п р е д е л е н и е 2. Если абсолютная погрешность приближенного числа больше половины единицы послед­ него разряда этого числа, то последнюю цифру прибли­ женного числа называют сомнительной или ненадежной.

П р и м е р ы . 1. а = 42,3; Да = 0,2. Последняя цифра

(3) ненадежна.

§7. Применение правил подсчета цифр.

I. С л о ж е н и е и в ы ч и т а н и е . 1) Найти сумму при­ ближенных чисел:

1,7 + 4,35 + 5,124.

Наименьшее число десятичных знаков имеет первое слагаемое (1,7); в остальных двух слагаемых сохраним один лишний десятичный знак, который в окончательном результате будет отброшен:

1,7 + 4,35 + 5,12= 11,17« 11,2.

2) Вычесть из 69,3 число 4,856. Здесь вычитаемое имеет два лишних десятичных знака по сравнению с умень­ шаемым; надо сохранить лишь один лишний знак:

_69,30

2. У м н о ж е н и е и д е л е н и е. 3) Вычислить площадь земельного участка, имеющего вид прямоугольника со сто­ ронами а = 31,5 м, 0 = 28,4 м. Так как сомножители имеют по три значащие цифры, то в произведении сохраняем также три значащие цифры:

S = 31,5• 28,4 = 894,60 « 895.

4) 52,8-0,32=. 16,896« 17.

Наименее точный множитель (0,32) имеет две знача­ щие цифры; столько же цифр сохраняется в произведении.

7)(0,132)3« 0,00230,

8)Y 12,5 « 3,54.

9)^/3,75 «1 ,5 5 ,

10)Вычислить вторую космическую скорость ѵ—Ѵ 2gR,

т.е. скорость, при которой снаряд, выпущенный вверх

по вертикали, не вернется обратно на Землю.

у = |/2-981 -63-10? = |/2-9,81 -6,3-1010 =

= 105-)/2 -9,81-6,3=11,2-10* (см/с),

или

ѵ ~ 11,2 км/с.

П р и м е ч а н и е . При решении примеров б, 7, 8, 9 и 10 были использованы «Четырехзначные математические таблицы» Брадиса.

§ 8. Примеры более сложных вычислений по правилу подсчета значащих цифр.

Пр и мер 1. Теплоемкость твердого тела х опреде­ ляется по формуле

{m2— mx + mln )(t2 — tx) т (Т — 12)

где тх—масса внутреннего сосуда без воды, т2—масса внутреннего сосуда с водой, tx—первоначальная темпе­ ратура воды, і2—температура воды после погружения

В этом примере величины п и tx имеют всего две точ­ ные значащие цифры, поэтому более точные данные пред­ варительно округляем, сохраняя в них три значащие цифры: /п = 404; Т « 100; промежуточные вычисления производим с тремя значащими цифрами, в окончательном результате сохраняем две значащие цифры,