книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

П р и м е р

4.

1—cos (л —х) + sin л-~

Так как

cos (л —х) = — cosx,

,

X \

X

sin ^y - - Ы

= С081Г

то

уравнение

принимает

вид

1+

COSA:+

COS у

=

0,

2 cos2 у - г cos у

= 0,

cos 4- ( 2 cos - 4 + 0

= 0;

1 \

/

1)

c o s | = 0,

^- = |(2 Æ + 1 ),

х1= л (2 /е+ 1 )

(k = 0,

+1,

...);

2 )

2 c o s y + l = 0 ,

cos y = — ÿ ,

у =

+ у л + 2я&,

A:2 =

± y л -|- 4nk

{k = 0,

± 1,

. . . ).

У п р а ж н е н и я

1.

Дано:

ß

__y

д

ß

sin а = у '

s i n ß = — ;

0 < а < у ;

я < ß < y jt.

5)

Найти: 1) sin(a-t-ß);

2)

sin (а —ß);

3) cos (а +

ß);

4) cos (а —ß);

tg (a -fß );

6 )

tg (а — ß).

3

3

2 . t g a = — 2,4;

15

л < а < 2я; я <

ß <

tg ß = y ;

у

— я. Вычис­

3.

Упростить следующие

выражения:

j

1 ) cos (a— b) —2 cos a cos b—2 sin a sin b;

2)

sin (45° + a) sin (45°—a) +

cos (45° + a) cos (45° —a);

3)

cos x-j-cos (120°-f-x) +

cos (240° +

x)-|- sin x;

4)

tg X —tg и

,

u):

+ + -----T-2-

(cos X cos y 4- sin X sin

l + t g x t g +

5)

sin a

.

sin a

-f-cos 2 a — 2 sin3 a;

-———;—гл--------;—:----: 6)

cos a —sin a

cos a-j-sin a

7)

1 —tg2 a_

-

1 —cos 2 a

2 tg a

’

1 -j- cos 2 a '

1_ .

4.

Дано:

t g

P

J ’ a

и ß —острые

углы.

Найти:

1) tg(2a + ß);

2)

sin 2a;

3) cos 4a;

4) sin (2a —ß);

-,

ß

-, .

a

5) cos y ;

6)

sin y .

5.

Дано:

tg у

=

У 2— 1; 0 < a < y .

, ,

2 sin х +

sin 2 x

, .

X

1)

------- :

n~ = Ctg2 ТГ !

2)

2 sin A: — sin

2 x

a

2

Л) = 0;

cos Л +

cos (120°— i4) + cos (120° +

3)

tg

' я

,

A

[ я

^

t g

2x;

■ tg

A4

J

- 2

cos 2 a

4)

1

t g j

(45°

sin 2 a

5)

a )

c 0 s 2 (45o_

a

y .

1 -j- sin

2 a

=

t g ( 4 5 ° - a );

COS'1 a —

Sin-’ a

c ,

.

7) t g 2

л

„

\

1 — sin 4 A:

6 ) ——:------------= c o s a —sin a;

j ——

2x

= —— :——;

1 + s i n a c o s a

\ 4

J

1 + sin 4x

8)

1 -j- sin

2 a

: Y 2 cos (

-j—

a

9)

Sin X

cos a +

sin a "

sin X — cos x t g -

: 1 +

cos x;

1 0 ) 2 cos2 y +cos y— 1 = 2 cos —■cos

1 1 ) tgx + tg(/ + tg z =

t g x t g y t g z ,

если

x + y + z =

я;

12)

sin a +

sin ß +

sin y = 4 cos-^- cos

cos-y , если a + ß +

Y=Jt.

7.

Дано: s i n a = y ;

sinß =

^ -;

a

и

ß —острые

углы. Найти:

1 )

sin (2 a +

2 ß);

2 )

cos 2 (a —ß).

угол x

удовлетворяет

соотношению

8 . Вычислить

cos 2A,

если

tg2x —а lg х + 1 = 0 ;

0

< х < — .

9.

Решить

уравнения:

1 )

3 sin х = 2 cos2 х;

2 )

sin x +

cos2 x = ÿ

;

3) sin 2 x = cos 2 х;

4)

sin 2х =

(cos x — sin а )2;

5)

s in 4 а — c o s 4 x

=

2

’

6)

sin (x +

30°) +

cos ( A —

3 0 ° ) = 0 ;

7) sin 2A cos x +

cos 2 A sin

x = 0 ;

8)

sin

( x-j—~

j -(-si

__1_.

~ 2 ’

9)

sin

x + -

) + C O S

^ A +

=

2 c o s 2 x;

10)

t g x + t g 2 x

= 0;

П )

sin

— y ^

+

sin y = s i n

1

1 2 )

cos2 ^ y + x J + 2

cos a' + 2 = °!

13) ctg ^

л

-

xJ:ctgA = y ;

14) 2 sin2

—x^J— — cos 2 A:;

15)

3 tg (я + х) = tg ^ у — x J •

10.

Вычислить без таблиц:

1) sin4 — +

sin4 — +

sm4 — 4 - sin4 -5-;

2) tg 7° 30 .

11.

О

О

О

О

Преобразовать

в произведения:

tg 2a + ctg 2a;

1)

1— sin x + cos а; 2) sin a +

sin 2 a+jsin 3a; 3) 2 +

4 )

sin x + sin y + s in

(x + y);

.

c o s x + V

3 sin А

„

, ,

O) ------------

—

-------;

6 )3 — tg2 a.

Г Л А В А XI

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§ 127. Прямая и обратная функции. Функцию

ÿ = f(x ) .

(О

назовем прямой функцией; тогда функция

х = ц>{у),

(2)

получаемая из

уравнения (1) после разрешения его

от­

носительно х,

называется обратной по отношению к функ­

ции y —f (х).

однозначную ей обратную функцию х —

У_

2 '

Таким

образом,

прямая

функция

y = f( x ) будет

иметь

функции берется

такая область

изменения аргумента х, в ко­

торой функция

у

или

толь­

ко возрастает, или только убы­

вает.

у = х3

Рис. 95.

Пр име р . Функция

возрастает на

всей

числовой

так,

чтобы

это соответствие было однозначным. Однако

если

угол х

считать изменяющимся

только на отрезке

л

то каждому значению у

(|г/|<11) будет со-

Y

значается

следующим образом:

Если

у —sin X

то

х = arcsin у

( I у \ ^

1).

Последнее

равенство читается

так:

х есть угол (дуга)

«arcus»—дуга

и «sinus».

Аргумент обратной функции также принято обозначать

буквой X, а функцию —буквой у,

так

что вместо записи

X —arcsin у в дальнейшем будем

писать:

где

у —arcsin X,

я

<

Y

Взаимная

обратность функций sinx и arcsin х записы­

вается так:

sin (arcsinх) = а',

если

|х |^ 1 ,

arcsin (sin х) — X,

если

| х | ^ у ,

точке,

абсцисса

которой

заключена

между—у

и —

(рис. 91).

О п р е д е л е н и е .

Функция,

обратная

тангенсу,

на­

зывается арктангенсом.

функция,

то

х = arctgу —об­

Если

y = tgx —прямая

ратная функция.

понимать

так:

«х

есть такой

угол

Эту

запись надо

в радианной мере,

взятый

из

промежутка

^ —у ,

y j ,

ния аргумента

и функции,

запишем обратную функцию

в виде

= arctg х. В этой

записи

аргумент х (тангенс) —

любое действительное

число, функция у (угол в радиан­

ной мере) —любое число из промежутка ( —у ,

у J .

Взаимная

обратность

операций

«tg» и «arctg»

записы­

вается

так:

tg (arctg х) = х (х—любое действительное число),

arctg (tg х) = х ( —у < X < Y ) '

Таким образом,

tg (arctg 2) = 2,

tg [arctg (— я)] == — я;

агс^ ( % у ) = у -

но

arctg (tg ~ jt) = ^ - ^ ,

поскольку угол

•я

выходит

за

пределы промежутка

К

я

Поэтому

надо

писать:

1

arctg ( {g т

* J = arcts (— 1) = —

П р и м е ч а н и е .

Множество всех углов (дуг), тан­

генс которых

равен данному

числу х, обозначают через

Arctg X. Отсюда следует,

что функция у —Arctg х много­

значна:

Arctg 1= -|- + я/г,

Arctg (— V 3) = —

+ nk,

2)

множество

значений

функции (у) образует проме-

жуток

( - - у ,

-у J ;

3)

функция

arctg х нечет­

ная, так

как

arctg (— х) =

= — arctg х; график

симмет­

ричен

относительно

начала

4) функция arctg X

координат;

всей

области ее

возрастает

во

определения: когда х,

возрастая,

пробегает числовую

числовой

оси (— оо < X < + оо).

§ 132.

Обратные

функции arccos х

и arcctgxr.

на­

О п р е д е л е н и е

1. Функция, обратная косинусу,

зывается

арккосинусом.

что

следует понимать

Если у —cosx,

то х = arccos у,

так: X есть угол

(дуга), косинус

которого (которой)

ра­

буквой X,

а функцию буквой у, получим запись

у —arccos X.

Функция арккосинус будет однозначной, если мно­

жество ее значений заполняет отрезок

[0, л]. Тогда

каж­

дому

значению |х |^ 1

соответствует

единственное

зна­

чение

г/(О

г/=£2 я).

функций

cosx

и arccosх

запи­

Взаимная обратность

сывается так:

cos (arccos х) = х,

если

— 1

х

1,

arccos (cosx) = х,

если

О ^ х ^ я .

График функции у —arccosх

совпадает

с той частью гра­

у от 0 до

.тс (рис. 98). Пользуясь

этим графиком, уста­

новите свойства функции arccos х.

обратная

котангенсу,

О п р е д е л е н и е 2. Функция,

называется

арккотангенсом.

Из

равенства

y=^ctgx

следует,

что x = arcctg у,

или в уже

привыч­

ных обозначениях,

у = arcctg х.

(1)

В

равенстве

(1) х —любое дей­

ствительное

число, принимаемое за

значение

котангенса,

у —соответст­

вующий

угол

(дуга), взятый (взятая)

из

промежутка 0 < у < л .

График

функции

изображен

на

рис. 99.

Пр и ме р ы .

1) arcctg" /-д' = -у ;

3)

arccos(—1) = я;

3

4)

1

JT

2) arcctg (—1) = у я ;

arccosy = y .

из

Взаимная обратность

функций arcctg х и

ctgx видна

следующей записи;

ctg (arcctg х) = X,

— о о < х < о о ;

arcctg (ctg х) = х,

если

0 < х < я .