Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

§ 133. Некоторые тождества, связывающие обратные тригонометрические функции.

Те о р е ма . При всяком действительном значении *, удовлетворяющем неравенству | * | ^ 1, имеет место тож дество

arcsin X-}- arccos х — ~ .

Д о к а з а т е л ь с т в о .					Рассмотрим два			угла
		arcsin*			и —	arccos*
и докажем, что они совпадают.
По определению
—		arcsin * ^			- у ,	0 ^	arcco s* ^ я.
Из последних		неравенств			получаем:
			я	я			^ я
		----Г ^		~2----arccos х ^~2~ •
Итак,	оба	рассматриваемых				угла содержатся в про-
межутке	я		я	являющемся,			как	известно, мно
	2	’	2 ’
							функции у — arcsin*.
жеством	значений		о д н о з н а ч н о й

Следовательно, для доказательства совпадения этих уг лов достаточно доказать совпадение их синусов.

Действительно,

sin (arcsin *) = *,

sin ^ — arccos *j = cos (arccos *) = *,

T . e. теорема доказана.

Подобным же образом может быть доказано, что при любом действительном значении * справедливо тождество

arctg * + arcctg х = ~ .

Доказательство рекомендуем читателю провести само стоятельно.

§ 134. Выражение любой обратной тригонометрической функции через остальные. Любую из четырех обратных тригонометрических функций можно выразить через любую из трех остальных.

sin а — X	(О < X <	1).
Тогда
cos а =	—X2,
tga--	Y 1 — Х ‘	( 1)
	Y 1 — Х ‘	( 1)
ctga :	ѴТ=Х‘

Равенства (1) вместе с исходным равенством равно сильны следующим равенствам:

а— arcsin х,

а= arccos Y 1 —х2,

а — arctg •	X	( 2)
а — arctg •	Y 1'—я2 '	( 2)
	Y 1'—я2 '
a — arcctg	Y T ^ 7 2

Эти равенства вытекают из самого определения обрат ных тригонометрических функций.

Так как левые части всех равенств (2) равны между собой, то равны и их правые части:

arcsin X— arccos Y 1 —хг = arctg

V i - »

Пр и ме р .

arcsm-jjj= arccos	25
arcsm-jjj= arccos	169 :
	169 :
		_5
	= arctg	13
	= arctg	25
		25
	V	169

или

arcctg Y T -

	l / l - ü
arcctg	V	169
		5_
		13

arcsin jg = arccos 12 = arctg = arcctg

	t g a — X		^х > 0; 0 < а < £t_ j
Тогда								2 ;
Тогда
ctg а ■		C O S « :		V î-			sin а
Поэтому				V î-				V 1+ x*
Поэтому		а = arctg X,
		а = arctg X,
		а = arcctg -
		а — arccos			1
		а — arccos			+х*
				V l	+х*
		а = arcsin			X
		а = arcsin
				F T T ? ;
arctgx = arcctg —=			arccos^					arcsin	V *H-
Пр и ме р .				V 1					V *H-
Пр и ме р .
, 3	, 4
arctg-j =	arcctg^- = arccos ■							arcsin -		Г 9
или				V l+Te					У	4 - 1 6
или	. 3		, 4			4			з_
	. 3		, 4	— arccos		4		arcsin
arctg — =		arcctg		— arccos				arcsin
									5	'

Рекомендуем читателю тем же методом показать спра

ведливость следующих	равенств:
arçcosх = arcsin у . 1 —х2 = arctg —— ---- =
	= arcclg y î = T		( 0 < х < 1 ) ;
arcctgx = arctg —= arcsin—_ 1		=
& x	Y \ +x2
•	— arccos		( x>0) .
		Ÿ 1+ X2
§ 135. Примеры на обратные тригонометрические
функции.
Приме р 1. Вычислить sin		arccos^— Х- j + 3 arcsin^Ç^

Полагаем:

а =

arccos

у ] ,

ß = arcsin- у —.

Тогда

cos a —

следовательно,

й = уЛ ,

sin ß =

^ 3

следовательно,

ß = 4 >

откуда

sin

2л

+ 3- f ) = sin f = s i n ( 2 K

V 3

- f ) = —Sin у = •

П р и м е р

Вычислить

tg ^arcsinу -f- arctg

По-

лагаем

а -- arcsin у

, ß =

arctg у

Тогда

sin а:

tg a =

*8Р = Т -

T'a

’

/ >

По формуле тангенса суммы имеем:

{g (а +

t ga+t gß

ß):

- t g a - t g

V I

tg ß=

^ 8

1 3

3 4 - 8 Ÿ 2

3,19.

6 Ÿ

2—4

3 ^ 8

П р и м е р

Вычислить sin(^2arctgy—ÿ a r c c o s y ^ .

В новых обозначенияхX данный пример можно пере

писать

так:

где

sin ( 2 а Ч

)

’

а = arctg-2

( 1)

ß = arccos-j- .

По этим данным предварительно вычислим sin 2а, cos 2а,

•	ß	ß	так	как
sin у		и cos у ,	так	как
		sin ( 2а —		= sin 2 а -cos ~ —cos 2аsin					(2)
Из	равенств (1)		следует
			.		J	о		3
			tg а		Y >	cos р		^
где а		и ß —острые		углы. Поэтому
				sin 2а =		2 t g а	«	,
						l . + t g 2	«	’

при tg a = -y имеем:

sin 2а = -=-
		5
	Т
cos 2а	— t g 2	а
cos 2а	1 + t g 2	а
	1 + t g 2	а

tg а=-

(здесь угол а рассматривался как половинный по отно шению к 2а, a потому были применены формулы § 119). Аналогично

sin 1	1+	cos ß
2		2
COS 1	1+	cos ß	о 8 = ^ 1 4 .
COS 1		2	о 8 = ^ 1 4 .
2		2	ccsß = —
			4

Теперь, используя (2), имеем

1	3 \
sin ^2 arctgŸ- -Y	arccos Y J =
— A 1	. \| =
~ 5 4

Y 14	3 f 2	0,536.
5	20

П р и м е р 4. Проверить справедливость равенства arctg П + 2 arctS У = arctS T •

Если данное равенство справедливо, т. е. левая и пра вая части представляют собой одинаковые углы, то

равным углам соответствуют равные тангенсы. Возьмем тангенс от левой и правой частей:

tg ( arctg	+ 2 arctg		= tg (a + 2ß) =				•
Но				— L	о <
tg 2ß —		2 tg P	I			2	ß < y ) ,
g / p	-	1 — tg--* ß \| t g ß = J - 24
tga = ï î ( 0 <			a <	T ) ’
а потому a -j- 2ß < ~			, и	левая	часть		равенства есть
острый угол,		причем
tg (a rc tg lj + 2 a r c t g ÿ ) =					- + ~		= T ;-

1_TT ' 24

tg (a rc tg y ) = y -

Из равенства тангенсов двух , острых углов следует равенство самих углов. Этим равенство доказано.

П р и м е р 5. Найти х из уравнения

	arcsin X— arccos х = 0				(х > 0).
Так как arcsin х = arccos У 1 — хг,				то		уравнению		можно
придать следующий		вид:
откуда	arccos j/l-—x2 = arccosx,

	У 1—х2 = х,		1—х2 = х2;
	2х2 =	1, или	х = ±		У~2
							- .
Проверка:	У 2	У 2
..			я			я	п
1) arcsin	------arccos —		— у--—у				— 0;
	/ У~2\		(	У~2\			л	Зя

2) arcsin ( —- у - )—arccoâ ( — - t y - )= — у —у - ^ 0 .

y ~2

Число — ~~~Q— не является корнем данного уравнения,

оно есть корень уравнения

arcsin X—arccos х = — л.

§ 136. Некоторые примеры тригонометрических урав нений. В § 124 были показаны приемы решения простей ших тригонометрических уравнений.

Рассмотрим еще другие типы тригонометрических уравнений и способы их решений.

1. У р а в н е н и е в ида
а cos2 х + bcosx-sinx + c sin2 x = 0.		(1)
Уравнение (1)	называется однородным относительно
sinx и cosx,	причем степень однородности	равна 2.

(Сравните с алгебраическим уравнением ах2 -\-Ьхуфсу2—0, которое тоже называется однородным второй степени относительно х и у.)

Будем считать все три коэффициента a, b я с отлич ными от нуля. Очевидно, что решениями или корнями

уравнения		(1)	не могут являться				те углы,		косинус		или
синус которых			равен нулю:
				cosx=+0,		sinx=+0.
Допустим		противное,			т. е.	что cosx = 0.			Тогда	первые
два	члена	левой		части	уравнения		(1)	обратятся		в	нуль
и получится:
					c-sin2x = 0,
что	невозможно			при	с ф 0, так		как	s i n x = ± l			при

cosx = 0.

Аналогично убеждаемся в том, что sinx+=0. В та ком случае можно делить все члены уравнения на cos2x (или на sin2x). Получим квадратное уравнение относи

тельно тангенса	(соответственно котангенса):
откуда	с• tg2 х + b■tg x + а = 0,

	tgx	— b ± Y 62 —4ас .
			2 с

если b2—4 а с ^ 0 , то		уравнение		имеет действительные
корни.	2 cos2 x + 5 cos x-sinx —3sin2x = 0. После
Пр и ме р .
деления на cos2x получим:
	3tg2x —5 t gx—2 = 0,
Og x)u		5 ±	Y 25 + 24	_	5 ± 7
		_ _	g		6

	(tg x)i = — y .	(tgx)3 = 2;
X, == arctg ( — ~j) + nk,		xt = — arctg ÿ	-f я£,
x2 = arctg 2 + я£,
где fc = 0,	± 1 , ± 2 , ...
Вообще уравнение вида
	а cos2 x-yb cos X sin x -y c sin2 x — m,
где т ф 0,	решается так: умножаем правую		часть урав
нения на	1 = sin2 х~у cos2 x.
Тогда

a cos2 x-yb cos x sin x -f c sin2 x = m (sin2 x -y cos2 x), (a—m) cos2 x -f ô sin x • cos x -|- (c—m) sin2 x = 0.

Это однородное уравнение,		и оно решается предыдущим
способом.
2. У р а в н е н и е в ид а
acosx-\|-ftsinx = c		(аф 0,	ЬфО, с ф 0).
Выразим cos x и sinx	через	tg y (§	119);	получим:
	-4-	2 t g \|
Û	-4-	Ö	=* Сj
l + t g 2~		l + t g 2y
ИЛИ
1 —z2 ,	2z	[	.	x ,

что приводит к квадратному уравнению:

	(афс) г2 —2bz-yc—а = 0.
Если дискриминант D = fr2 —(с—а) (а + с) > 0,		или
й2 + fr2 і^с2, то	уравнение имеет действительные	корни.
Пр и ме р .	5cosx-J-4 sinx = 3.

Здесь а2 + 62 —с2 = 25+ 16—9 = 32 > 0,					и	уравнение
имеет действительные корни. Получим:
	8г2 —8z —2 = 0,
	4z2	-4z— 1= 0 ,
2— У Т	1— Ѵ"2		■ I+ V~2
	2			У 2
t g - r	у т	*1	arctg	У 2		- я&,
t g - r		2	arctg	2		- я&,
				ут		\-2nk\
		= —2 arctg-			2	\-2nk\
tg	У 2		/Т + 1			■ 2nk.
tg			■2 arctg ■			■ 2nk.
Наименьший	положительньій		угол,	удовлетворяющий
данному уравнению, есть
	X= 2 arctg - — -4- 1 •

Найдем его величину сначала в градусах, а потом в ра дианах:

	j q i ± Ä ^	= l i 2 0 7 , ,
	arctg 1,2071 æ 50°22\
2	arctg 1,2071 æ	100°44'æ 1,758 рад.
В т о р о й	с п о с о б решения.		Преобразуем	левую
часть уравнения:
б	cos х + 4 sin %= 4 \| -j- cos х 4- sin х
Введем вспомогательный		угол <р,	полагая	tg<P = -j-
(ф=5Г20'). Тогда

5 cos X-f 4 sin X—4 (tg фcos x -{~ sin x) =

Уравнение теперь принимает вид

4		ф) = 3,
------sin (х +		ф) = 3,
COS ф	4
откуда
. , . .		3 cos ф
Sin (Х + ф) =		J—*-.

cos ф sin (X-f ф).

Но

+	tga <p	25	У 41 ~		6.403 ’
		16
Поэтому
* + ф —(—l)ftarcsin0,4686-\-nk			(& = 0,		± 1 , ...)•
Но
arcsin 0,4686 « 27°57'.
Окончательно,
х = - 51°20' +		(—!)*• 27°57' +		180° • k.
Часто удается	после	переноса всех		членов уравнения

в левую часть разложить эту часть на множители. При равнивая каждый сомножитель нулю, находим корни данного уравнения.

Пр и ме р ы . 1) cosх —c o s2 x = l. Представляем урав нение в следующем виде:

cos х —(1 -j-cos2x) = 0, cosx—2cos2x = 0, cosx (1 —2 cos x) = 0.

Если произведение равно нулю, то должен быть равен нулю хотя бы один из сомножителей: либо

cosx = 0,	Xj = -\|-(2Ä + 1),
либо
1—2cosx = 0,		cosx = - j,
x2 —± -g--f-2nk	(& = 0,	± 1 ,	± 2 , . . . ) ,
2) sinx -f sin3x+sin5x = 0.		Сумму	sinx-f-sin 5х пре
образуем в произведение:
sin х -f- sin 5х = 2 sin Зх • cos 2х.

Уравнение принимает вид

2 sin 3x • cos 2x -f- sin 3x = 0, sin 3x (2 cos 2x + 1 ) = 0.

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ