Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

зуется так называемый метод введения вспомогательного угла.

П р и м е р 1. Преобразовать в произведение 1 + 2 cos а. Выносим множитель 2 за скобку:

1 + 2 cos а — 2 (^ÿ + cosaj =

= 2 (cos 60° ф- cos a) =			4 ■cos —	cos -6Q ~ a =
= 4co s^3 0 °+ y )co s^3 0 0 —y ) .
П р и м е р	2.	Преобразовать в произведение 1 —3 tg2 x:
1 —3 tg2 X= 3		-tg2x
3 tg2 TT—		= 3	t g y —t gx	t g - + tgx
6
sin Jl		L+ *)
	COS2 X
П р и м е р	3.	Преобразовать \|Лг2ф b2 в произведение

с помощью вспомогательного угла. Выносим множитель а за знак радикала:

/“’ (i+£) =w /< +(4)' =

=I а\У I + tg2 ф = I а sec ср |,

где tg(p = y .
П р и м е р 4.	Найти наибольшее		значение суммы
sin X+ cos х:
sin X-f- cos л: = J/ 2	: sin X-	= COS X	—
	у 2	Y ~ 2

Y 2 (cos 45°-sinл: + sin 45°-cosx) = j/2 sin (* + 4 5 °).

Так как наибольшее значение, которое может принимать sin (х + 45°), равно единице, то наибольшее значение

суммы sin x -f cos x равно j / 2 .

§ 123. Примеры на преобразования тригонометрических выражений. В этом параграфе приводятся примеры на более сложные тригонометрические преобразования.

П р и м е р 1 . Преобразовать в произведение sin 5л sin 4л:-f sin 4л: sin Зл—sin 2л sin л,

Применяем тождество

sin A sin В = — [cos(A — B )— cos(A + ß )];

тогда

sin 5л sin 4л =	Y	(cos л— cos 9л),
sin 4л sin Зл =	у	(cos л —cos 7л),
sin 2 л sin л = Y		(cos л—cos Зл).

Исходная сумма принимает вид

Y(cos л—cos 9л + cos л —cos 7л—cos л -f cos Зл) =*

=Y (cos л -f cos Зл)—Y (cos 7х + cos 9л) =

=cos 2 л cos л—cos 8л cos л = cos л (cos 2 л —cos 8л) =

—cos л • 2 sin 5л sin Зл = 2 sin 5л sin Зл cos л.

П р и м е р		2. Доказать тождество
	4 sin a sin (60°—a) sin (60° + а) = sin За.
Приведем		левую		часть	к	правой	преобразованием
произведения двух синусов в разность косинусов:
4 sin a sin (60° —а) sin (60° + а) =
	= 2	sin а - 2		sin (60° —а) • sin (60° -fa) =
= 2 sin a (cos 2 а —cos 1 2 0 °) = 2 sin a ^cos 2 a +								=
s= 2 sin a cos 2a + sin a = sin 3 a —sin a -f- sin a = sin 3a.
П р и м е р		3. Доказать,			что
	(1 + t g a ) ( l		+ tg ß ) = 2 ,			если a + ß = -J-
Выразим		угол	ß через		a:	JT		tgß =
						ß = -j-—cc; тогда
= tg	—a^ =			• Левая		часть	равенства	примет
вид

о+f8 “) (>+îfH) = С

■r+W=2-

П р и м е р 4. Показать, что

sin2 а = sin ß (sin у + sin ß), если a -'rß + Y — я и cc = 2ß.

Преобразуем		правую			часть	и приведем		ее к	левой,
учитывая,	что ß = -а^. Тогда
		Т
sin гß (sin Y + sin ß)= sin Y					j^sin^n —a —y j + sin
	. a	„	. /	л	a	• cos	a	=
	■sin Y	• 2	sin (	Y	2	• cos	a	=
					= 2 sin — cos y		• sin a =		sin2 a.
§ 124.	Простейшие				тригонометрические			уравнения«
О п р е д е л е н и е			1.	Уравнение называется тригоно

метрическим,, если оно содержит неизвестное только под

знаками тригонометрических функций.
П р и м е р ы .	1 ) sin2x + cosx — 1 = 0 ;
2 ) tg X+ ctg 2х = 0 ;
3) cos3x+sinx = 0 .
Уравнение	t gx —2 % + 1 = 0 нельзя назвать тригоно

метрическим. Здесь неизвестное х находится не только

под знаком тангенса,	но и без знака тригонометрической
функции. Такие уравнения мы пока рассматривать не
будем.	2. Решить тригонометрическое
О п р е д е л е н и е

уравнение—это значит найти все углы, удовлетворяю

щие данному уравнению,			т.	е. обращающие уравнения
в тождество после подстановки вместо неизвестного.
Так, например, уравнение
		sin X—cosx = 0
имеет	корень х = у , но		оно	имеет бесчисленное мно
жество	и других корней;		все они охватываются формулой
		Х = у + nk,
где k —любое целое		число —положительное,			отрицатель
ное и	0, т. е. і = 0,	± 1 ,	± 2 ,	± 3 , ...	простейших
Решим сначала 8 часто встречающихся
уравнений.
1 )	sinx = 0 .

Поскольку sin 0°= 0 , sin 180°=0, sin360°=0, sin540°=0 и т. д., a также sin (— 180°) = 0 , sin ( — 360°) = 0 , sin (—540°) = 0 и T. д., то решениями уравнения sinx = 0 служат углы

. . . —540°, —360°,	— 180°,	0°,	180°,	360°, 540°, ...
Все эти углы можно записать в виде
X == 180°&,	где k = 0 ,	±	1 , ±	2 ,

или в радианном измерении х = лк, где k = 0 , + 1 , ± 2 , ...

Если дано уравнение

sin X cosX— 0,

то его можно решить так: умножив обе части заданного уравнения на 2 , получим:

2 sinxcosx = 0 , или sin 2 x = Q,

откуда 2x= nk,

а х =

, где k = 0 , ±

1 ,

± 2 , ...

2 )

tg х = 0 .

и тех же зна

Так

как tgx = 0 и sinx = 0 при одних

чениях

то

tgx = 0

при

х=180°й

(х =

я&), где

к —

= 0 ,

1 ,

rt 2 , ...

cosx = 0 .

Так как coSy=0, c o s^ n + y y = c o sy = 0 , COS^2K+

:cos-^= 0 , cos(3n-j- тг

= 0

и т.д., а также cos

cosf —^ j

= 0,

cosf—- у ) —0

т> Д->

то

решениями

данного

уравнения

служат

углы

5л

Зл

Зя

5л

Все эти углы охватываются формулой

х = у + я&,

тде k = 0,

± 1, ± 2 ,

± 3, ...

Если

дано

уравнение tg2 x = l ,

то его можно решить

так:

Sin 2 X

Sin2 X — COS2 X

tg2 x — 1

= 0

; — s----

0 ;

-------- ?------= 0 ;

COS2X

COS2 X

cos2 X—sin2 X

cos 2 x

COS2 X

Дробь обращается в нуль тогда, когда ее числитель равен нулю, при условии, что знаменатель отличен от нуля. В данном примере c o s x ± 0 (в противном случае не существовал бы tgx). Таким образом,

cos 2л: = 0.

Отсюда 2x = Y + n/i, a x = ^ - \ - ~ k , где k±=0, ± 1 , ± 2,

±3, ...

4)ctg лс == 0.

Так как		ctgx = 0 и			COSA: = 0				при одних	и тех же
значениях		х,	то	ctg л:= 0,		если			x — ^ -\-n k,	где k — 0,
± 1,	± 2 , ± 3, . . .
5)	sinx = 1.
Так KaKsin90°=l, sin(90°±360°)=l, sin(90°±2-360°) =
= 1,	sin(90°±3-360°) =				1,	. . . ,		sin (9CP+ k • 360°) = 1, где
k = 0, ± 1, ± 2 , ± 3 , . . . ,					то решениями уравнения sin x = 1
служат углы x = 90° ± 360° k (^x = у									± 2nk^ , где k = 0, ± 1,
± 2 ,	± 3 , ...
Если дано уравнение
				sin Зх cos Зл: = ÿ ,
то его можно			решать так:
		2sin3xcos3x= 1, или							sin 6 x = l,
	л	JT	I п	,	х =	Л		■л}%
откуда 6х =		Y	+ 2ш , а				± у .
6)	s in x = —1.
Поскольку			sin	T ) = - 1 ’				sin ( — Т + 2я)==—1,
sin ^— ту± 4JT^ = —1, . . . ,								sin ( — у ± £ - 2 я ) = —1,
то sin л;= —1			при	х = — у		± 2nk,			где k = 0, ± 1, ± 2, . . .
7)	cosx= 1.

Так как cos0°==l, cos (±360°) = 1, cos (±2-360°) = 1,

cos(±3-360°) = 1, . . . , cos(±rt-360°) = 1,

то c o sx = l при x = 360°Æ, где &= 0, ± 1 , ± 2, ± 3 , ...

8) cos x = —1,

Поскольку cos( і я ) ——1,	cos(± я -f-2я) = —1, ,,,
COS( ± K + 2&K) = —1, то решения уравнения cosx =
= —1 имеют вид
х = я + 2я£, где 6 = 0,	± 1 , ± 2 , ± 3, ...

Рассмотрим еще несколько примеров простейших тригонометрических уравнений, в которых аргументы тригонометрических функций имеют более сложный вид, чем в примерах 1)—8).

а) c o s ( - |* + y ) = —1.

Используя решение примера 8), можно написать:

х	"J" == п {2k	1 ),
отк уда
х —— g--\|—g-(2Æ-\|-l),	где 6 = 0,	zt 1, ± 2, +3, . . .

б) sin^75° — y j = —1.

В силу нечетности функции sinx можно переменить знак у аргумента и функции, т. е. вместо данного урав нения решить равносильное ему уравнение

sin ( 1 —75“) = 1.

Следуя решению примера 5), получим:

у —75° = 90° + З603 • 6,

откуда

х = 330°+ 360°-26, где 6 = 0, i l , dz2, zt3, ...

в) sin ^Зх—Y ) = 0-

Используя решение примера 1), можно написать:

3%— О = я6,

откуда

где 6 = 0, ±1, ± 2, ± 3, ...

Вообще отыскание решений почти всякого тригоно метрического уравнения в конечном счете сводится к отысканию решений простейших уравнений вида:

8 Р. А. Калннн

225

1)	sinx — m	или	sin kx — tn,
2)	cos X — m или		cos kx = m,	\| m \| ^ 1;
3)	tg x — m	или	tg kx — tn,	m —любое число.

§ 125, Общий вид углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции.

П р и м е р 1. sinx = Ÿ .

Простейший угол, синус которого равен у , есть угол

у (или 30°); кроме того, во II четверти находится дру

гой угол с тем же значением синуса: л —у = у , Все ос

тальные углы найдутся прибавлением к этим углам лю бого целого числа периодов; получим два вида углов:

x1=^r + 2kn,					(1)
х2 = -\|- я -f- 2nk = я —у -f 2nk —— у			+ л (2k	-{-1),
х2 = — -g-+ л (2&-Ь 1).					(2)
Отметим,	что при всяком	целом k число 2k		—четное, а
число (2/г+1) —нечетное.		Углы, определяемые			форму
лой (1),	равны простейшему углу у		плюс угол		л, взя

тый четное число раз. Углы, входящие в формулу (2), составлены из нечетного числа раз взятого угла л минус простейший угол.

Формула

* = (—1)"~ + ял

(3)

содержит в себе оба вида углов, т. е. она объединяет предыдущие две формулы в одну, так как при п — 2k получим

X= (—1 )äft• + л • 2k = + 2nk

— углы, даваемые формулой (1); при n = 2k-{-\ имеем

х= (-1 )**-» .-= - + я(2Л + 1) = - | - + я (2 Л + 1 )

— эти углы содержатся в формуле (2).

і/’ІГ П р и м е р 2. sin2A = 2_— .

Наименьший положительный угол, удовлетворяющий уравнению, есть угол -2-, поэтому

2* = у - (— 1)k+ nk,

где k — 0, ± 1, ± 2,

отсюда

г , _	0	. X	—	Ÿ 2
П р и м е р	3.	sin -g- =	—	^ — .

Для данного отрицательного значения синуса берем

простейший угол—-2-; все углы содержатся в формуле

где k — 0, ± 1, ± 2,			откуда
X —— -2-(—1)Ä+ 2л£ = -2- (—1)*+1 + 2nk.
П р и м е р	4.	sin/7A = 0		(рфО).
Простейший угол есть 0. Поэтому
рх = nk,		или	х = 2^	(k — 0, ± 1 . ± 2, ...).
П р и м е р	5,		1А “2~
		cosX ——		,

Наименьший положительный угол, удовлетворяющий

данному уравнению, есть -2., Так как косинус —йетная

функция, то угол—-2- также служит решением данного

уравнения; все остальные углы получаются прибавлением к этим двум основным углам любого целого числа периодов. Получим общую формулу

* = ± - 2- + 2я k (k^O, ± 1, ± 2, ...).

П р и м е р 6, COS2A'*=— - ,

Наименьший			положительный угол равен -у, а потому
				2х = і у і 2 л 6 ,
х = і - д - +			я&	(k — 0,		i l ,	± 2,		± 3,	...) ,
П р и м е р		7. cos3x=0.						аргумент Зх равен
Косинус обращается в нуль, если
Я ЗЯ 5Я	И			и		таких		углов
_		т. д. Общий вид
	- J (2&+ 1)			(k = 0, ± 1,			± 2 , ...) .
Следовательно,
		3 * = -J (2 £ + l),				* = -J(2Ä +l).
П р и м е р		8.	tgx = -pLr.
В пределах первой полуокружности имеется только
один угол,	соответствующий значению								тангенса, равному
-pL=-. Это —угол у				Все	остальные				углы	получаются
прибавлением к нему целого числа периодов, так что
X= -g--f-nk				(k —0,		i l , ± 2,			і З	...) .
П р и м е р		9.	tg-g- = — \|/		3.	Решение:
-д~ =	—у і я &			(k = 0,		i l ,	і 2 ,		і З ,	...) ,
* = — Y + 4 ^
П р и м е р		10. sin (2х— 1,5)=-					^	,
						r
2x— 1,5 = y - ( —1)*+ я£						(k — 0, i l ,				...) .

2x = | . ( - l ) ft + ^ i l , 5 ,

^ = T - ( ~ 1)*+ T ^ + 0,75.

§ 126. Примеры более сложных тригонометрических уравнений.

П р и м е р	1. У 2sin2x -f cosx = 0.
В данное уравнение входят две функции одного и
того же аргумента, поэтому выразим			sin2 х через коси
нус, чтобы	уравнение	содержало лишь одну функцию
(cos х):		COS2 X) + COS X—0.

Получилось квадратное уравнение относительно cosx;
откуда	V 2 cos2*—cosx— Y 2 = 0,

-	i ± 3	— 2	= - Y 2 ’
(cosx)ua = ^ y ^ ,		cos Xl = ^ y j
xx—± -j-ÎT-f- 2nk		(/г = 0, ± 1,	± 2,
	cos x, = —%=? — Y 2 > 1,
	2	2 У2
что не дает	решения.
П р и м е р	2. sin 2 х + cosx = 0.
Приведем функции к одному аргументу:
	2	sin Xcos X -f cos X = 0.

Разложим левую часть на множители

cos X (2 sin x + 1) = 0.

Приравниваем каждый множитель нулю:

1)	cosx = 0, XJ = Y (2£+1)			(& = 0, ± 1, ± 2, ...);
2)	2sinx-j- 1 = 0 , sinx = —			ха = -^-(— \)k+1+ nk
		(fe-=0,	± 1 , ± 2 ,		...) .
П р и м е р		3. 2sin22x— 1= 0 .		решается		относительно
Хотя это		уравнение	легко
		1	выгоднее,		однако,	2sin22x за
sin 2х	sin 2х= ± Ѵ'Т
менить на 1—cos4x.
Имеем
1—cos4x— 1= 0,			cos4x = 0;		4х = у (2 £ + 1 ),
	x = - j ( 2k +l )		(Ä =	0,	± 1 , ...).

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ