книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

Без иррациональных чисел нельзя обойтись и в гео­ метрии, когда ставится вопрос об измерении отрезков.

Другими словами, всегда можно отложить меньший отре­

и CD называется такой третий отрезок Е, которкй укла­ дывается целое число раз в каждом из данных отрезков. На рис. 14 показано, что отрезок Е укладывается в от­

отрезков называется отношение чисел, выражающих их длину принятой единицей длины Е.

т раз, а в другом отрезке ji раз, то их отношение равно

т

рациональному числу г = —.

Справедливо и обратное утверждение: если отноше­ ние двух отрезков Лесть число рациональное, то такие два отрезка соизмеримы, т. е. имеют общую меру.

больше стороны квадрата а, но меньше удвоенной сто­ роны 2а (гипотенуза меньше суммы катетов); следова­

т

По теореме Пифагора имеем: d2 = 2а2, —2а2, или

п

т— 2,

П

что невозможно, так как квадрат несократимой дроби не может быть целым числом. Мы пришли к противоре­ чию или абсурду, допустив соизмеримость диагонали квадрата с его стороной. Этим теорема доказана.

§ 31. Десятичное измерение отрезков. Убедившись в том, что существуют несоизмеримые отрезки, выясним, что следует подразумевать под отношением двух несоиз­

меримых отрезков или, другими словами, что прини­ мается за длину отрезка, несоизмеримого с отрезком, принятым за единицу измерения.

Пусть AB и CD—два произвольных отрезка (рис. 15). Откладываем меньший отрезок CD на большем столько раз, пока не получится остаток PB, меньший отрезка CD.

На рисунке изображен случай, когда такой момент на­ ступит после трех откладываний. Делим CD на 10 равных частей и одну десятую часть его откладываем на остатке PB до тех пор, пока не получится новый остаток РгВ,

меньший ^ части отрезка CD. По нашему рисунку это произойдет после четырехкратного откладывания 1

доли CD. Новый остаток РХВ измеряем щ частью

отрезка CD, пока не получится остаток Р2В, меньший

^части CD, и т. д.

Возможны следующие три исхода только что описан­

десятичная дробь.

С л у ч а й 3. Измерение продолжается неограниченно и в процессе его получается бесконечная непериодическая десятичная дробь, например: 2,451451145111...

риодическая десятичная дробь есть новое число, отли­ чающееся от рационального числа, и оно называется

иррациональным числом.

О п р е д е л е н и е 1. Всякая бесконечная непериоди­ ческая десятичная дробь называется иррациональным числом.

Простейшими примерами иррациональных чисел могут

ного числа, не являющегося точной степенью корня,

например \ / 7, / 2 и т. д.

Однако множество иррациональных чисел не исчер­ пывается этими корнями. Вот еще примеры иррациональ­ ных чисел:

1) число я, выражающее отношение длины любой ок­ ружности к своему диаметру; это также иррациональное

нальные числа образуют множество действительных, или вещественных, чисел.

Таким образом, фразу «х есть действительное число» надо понимать так: х есть или рациональное, или ирра­ циональное число.

§ 32. Рациональные приближения действительных чисел. Предположим, что дано какое-нибудь иррацио­ нальное число а:

а = 0,345345534555...

Сохраним у этой бесконечной непериодической дроби только первый десятичный знак, а остальные отбросим. Получим дробь 0,3, которую будем называть рациональ­ ным приближением числа а с точностью до 0,1 по не­ достатку, подобным же образом дробь 0,34 будем назы­ вать рациональным приближением числа а с точностью до 0,01 по недостатку; дробь 0,345 есть рациональное приближение числа а с точностью до 0,001 по недостатку

и т. д.

Можно получить рациональные приближения того же числа а по избытку с точностью до 0,1, до 0,01, до

жительное направление, например направление слева направо (указано стрелкой), 2) начало отсчета, т. е. произ­ вольную точку О, 3) единицу масштаба (ОЕ) (рис. 16).

4 £ Ж~%

Рис. 16.

Построенная таким образом прямая называется осью. Каждой точке, взятой на оси, например точке М,

можно поставить в соответствие одно единственное дейст­ вительное число х, выражающее длину отрезка ОМ, при­ чем X > 0, если точка М лежит справа от начала О; если М лежит слева от О, то х < 0. Точке О соответ­ ствует 0. Справедливо и обратное утверждение: всякому действительному числу х соответствует единственная точка М на оси Ох; точка М лежит справа от начала О, если X > 0; если же х < 0, то точка М лежит слева от начала О. Таким образом, соответствие между действи­ тельными числами и точками оси является взаимно одно­ значным. Точки, изображающие рациональные числа, называются рациональными точками, а точки, которым соответствуют иррациональные числа,— иррациональными точками.

Ось Ох называется осью действительных чисел, по-дру­ гому—числовой прямой.

П р и м е р . Построить точку М, изображающую число

V2.

Строим квадрат со стороной, равной единице (рис. 17). Из центра О раствором циркуля, равным длине диаго­ нали, делаем засечку на оси Ох; точка М изображает

число Y 2,

П р и м е р ы . 1) 2е-24 = 210 = 1024; 2) 75:73 = 72 = 49; 3) (х + уУ-.(х -\-уУ = (х + у)я.

б) При возведении произведения в степень можно возвести в эту степень каждый сомножитель и получен­ ные результаты перемножить:

(abc)n —а"Ьпс'г.

Иногда последним равенством удобнее пользоваться в обратном направлении. Например, если надо вычислить величину

дем возводить каждое из чисел 8, 25 и 2 в куб и потом перемножать полученные, результаты.

в) Если возводится в степень дробь, то можно воз­ вести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби и первый результат разделить на второй:

! а_\п _ а " \Ь ) ~ Ь>‘ •

г) При возведении степени в степень показатели сте­ пеней перемножаются:

(ап)т = апт.

Пр и м е р ы . 1) (х2)3 = хв\

2){аѢ3)ъ= (а2)5 • (63)5 = а10Ь1Ь.

На основании только что сформулированных правил действий над степенями можно возводить в степень более сложные одночленные выражения. Например,

Чтобы возвести в степень одночлен, надо возвести в эту степень коэффициент, а показатели степени отдель­ ных букв умножить на показатель степени, в которую возводится данный одночлен.

П р и м е ч а н и е . В примере 2) это правило было при­ менено в отдельности к числителю и знаменателю дроби,

В справедливости написанной формулы можно убедиться простым умножением многочлена a + ô-f-c + d на самого себя.

Пр и м е р ы.

1)(3х2 + 2у2 + ху)2 = (3х2)2 + (2у2)2 +

-г (ху)2-f 2 • Зх2• 2у2-(- 2 • Зх2 ■ху + 2 • 2г/2 • ху =

— 9х* -р 4у* -I- х2у2+ 12х2у2-f 6х3у -ф4ху3= = 9х4 -{- 4//4 -г І3х2г/2 -j~ 6х3у~\- 4ху3\

2) (а— 2Ь+ Зс—4d)2 =. а2+ 4Ь2+ 9с2 + 1Ы2+ 4- 2а (—26) + 2а • Зс + 2а (—4d) +

+ 2 (—26) Зс + 2 (—26) (—4d) + 2 • Зс (—4d) =

— a2-f 462 + 9с2 4- 16d2 —4а6 + бас—

—8ad — 126с 4- 166d—24cd.

отличное от нуля, в нулевой степени принимается равным единице:

числа а с целым отрицательным показателем понимается дробь, числитель которой равен 1, а знаменатель есть степень с тем же основанием, но с противоположным показателем:

а ” ~ ö« {аф З).

П р и м е ч а н и е . Два числа п и —п называются про­ тивоположными.

П р и м е р ы . 1) 4~3= ^ = і ; 2) а ~2-Ь~* = ^ ~ = ~ 5.