книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

чего освободимся от дробей, раскроем скобки, перенесем все члены в левую часть и приведем подобные члены; получим:

§ 25. Неравенства, содержащие неизвестное под зна­ ком модуля. Абсолютную величину действительного числа X , т. е. |х |, можно геометрически истолковать как расстояние от точки, изображающей число х, до начала 0 числовой оси. Например, если |х | — 3, то на числовой оси имеются только две точки: Xj — —3 и x2= -f3 ,

Любое число из этого промежутка есть решение не­

А л г е б р а и ч е с к и й способ решения. Опускаем знак абсолютной величины и пишем двойное неравенство

— 1 < х — 3 < 1;

прибавляем ко всем трем частям неравенства число 3:

бавим ко всем частям неравенства число —3, получим —8 < 2х < 2, разделим все части на 2: —4 < х < 1.

Решим этот пример иначе. Имеем:

X -j- • < 5 ;

делим обе части на 2:

или

масштаба влево и вправо; получим точки —4 и 1. Теперь ясно, что —4 < х < 1.

Таким образом, любое число, которое больше 5, а также всякое число, меньшее числа —2, являются решениями неравенства J 2х —3 ) > 7 (рис. 10).

Решим этот пример иначе. Представим его левую часть в форме

От точки числовой оси, соответствующей числу 3/2, от­ ложим влево и вправо ?/2 единиц, получим точки —2 и 5. Этим Построением выделяется отрезок [—2; 5]; все числа, не принадлежащие этому отрезку, являются решениями данного неравенства; это будут числа, меньшие —2 и большие 5: х < —2 или х > 5.

§ 26. Понятие о доказательстве неравенств. Неравен­ ство, справедливое при всех значениях букв, входящих в него (быть может, с некоторыми ограничениями), на­

В чем заключается доказательство и как оно прово­

ab.

Предположим, что данное неравенство справедливо; тогда после возведения обеих частей в квадрат получим нера­ венство того же смысла (большему положительному числу соответствует больший квадрат)

^ ab, или аг -f 2ab Ьг ^ 4ab; a2 — 2ab + b * ^ 0 , (a —b)2> 0 .

Очевидно, что последнее неравенство является тожде­ ственным, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (^ 0 ) . Но это пока были поиски доказа­ тельства, а не само доказательство, так как когда мы данное неравенство начинали преобразовывать—возво­ дить в квадрат обе части, прибавлять к обеим частям по одному и тому же члену и т. д., ставя между частями неравенства все время знак ^ (читается «не меньше»),— то мы, в сущности говоря, уже признали, что левая часть неравенства не меньше правой, а тогда и доказывать нечего.

Если мы докажем, что произведенные операции обра­

a2 + ft2 -f c2^a b ~ y ас -f be.

После почленного перемножения этих трех неравенств получим: (1—х)(1—у)( 1—z )^ 8 x y z .

§ 27. Графическое решение неравенств.

функция аргумента х; обозначим ее через у:

у= 2х— 5,

ипостроим ее график (рис. Н). Неравенство 2х—5 > 0 означает, что ищутся такие значения аргумента х, при

Уп р а ж н е н и я

I.Решить неравенства:

имеет отрицательные решения?

6. Определить число т таким образом, чтобы корень уравнения

Г Л А В А IV

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§ 28. Вводное замечание. В тексте этой главы часто упоминается слово «множество». Поясним смысл этого понятия на конкретных примерах.

1)Все учащиеся города Москвы образуют множество учащихся Москвы. Это множество состоит из конечного числа элементов; элементом множества является каждый отдельный учащийся города Москвы; всякий учащийся другого города или области не принадлежит этому мно­ жеству.

2)Все прямоугольники с площадью, равной одному квадратному метру, образуют множество прямоугольни­ ков данной площади I м2; это множество бесконечно.

Элементами множества являются отдельные прямоуголь-

о 1 ники, например прямоугольник со сторонами 2 м и -j м.

3) Все целые положительные числа образуют множе­ ство натуральных чисел; 1, 2, 3, 4, . . . Это множество бесконечно.

В дальнейшем речь будет идти только о числовых множествах.

§ 29. Рациональные числа. Целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные, и число 0 об­ разуют множество рациональных чисел. Всякое рацио­ нальное число можно рассматривать как отношение двух

целых чисел: г — ~ (п Ф 0).

П р и м е р .

Отметим, что рациональные числа можно представить в виде бесконечных периодических десятичных дробей:

у = 0,333 ...

= 0,4000 . . . -0,3999 ...

О

— 1у = — 1,(285714).

Обратно: всякая бесконечная периодическая дробь есть рациональное число, так как ее можно обратить в обык­ новенную дробь, например:

(подробнее в гл. XVI, § 243).

Выполняя четыре арифметических действия над ра­ циональными числами (кроме деления на 0), в резуль­ тате получим также рациональные числа, т. е. эти дей­ ствия не выводят нас из множества рациональных чисел и не требуют введения новых чисел.

Точно так же можно решать уравнения первой сте­ пени с одним неизвестным и системы уравнения первой степени с несколькими неизвестными; значения неизвест­ ных всегда будут рациональными числами, если коэф­ фициенты при неизвестных и свободные члены рацио­ нальны. Однако уже при решении простейших квадрат­ ных уравнений мы сталкиваемся с необходимостью рас­ ширения понятия числа. Например, уравнение х2 —3 —0, или х2 = 3, не имеет целого корня, так как нет такого целого числа, квадрат которого равен 3. Докажем, что корень этого уравнения не может быть и дробным числом.

рат несократимой дроби есть также несократимая дробь, и она не может равняться целому числу (3). Следова­ тельно, корень уравнения не является рациональным числом.

Чтобы можно было говорить о корнях подобных урав­ нений, необходимо ввести новые числа, так называемые и р р а ц и о н а л ь н ы е числа.