Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

312

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 428 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

70	К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А	[ГЛ. [V

осям и имеют длины, равные 2а и 2Ь, а диагонали пере

секаются в начале координат

(рис.

вершинами эллипса,

А,

37).

центром.

А\А — 2а

Эллипс имеет форму, показанную па рис. 38.

большой

осью,

В[В — 2Ь

малой осью.

Точки

/4It

и ßi

называются

фокальных радиусов

FtM

Отрезок

а точка — его

—

называется

его

М.

отрезок

Отрезки

носят название

точки

Пользуясь определением эллипса, легко построить его

непрерывным движением карандаша. Для

этого берем

нерастяжимую нить длиной, равной большой оси эл липса, т. е. длиной 2а, и закрепляем концы этой нити в фокусах, положение которых предполагается извест ным.

Натягиваем нить карандашом и острием его описы ваем кривую, держа нить все время в натянутом со стоянии. Кривая, описываемая при этом — эллипс, так как сумма расстояний от любой точки этой кривой до фокусов равна длине нити, т. е. равна постоянной ве

личине.	эллипса.	Эксцентриситетом
§ 25. Эксцентриситет	эллипса.

эллипса называется отношение расстояния между его
фокусами к длине большой оси, т. е.	2(J	— £	е.
Эксцентриситет обычно обозначают		—•		Таким
		буквой
образом,				эллип
Так как 0 < с < а (§ 23), то эксцентриситет

са есть положительная величина, меньшая единицы.

§ 25]	Э К С Ц Е Н Т Р И С И Т Е Т		Э Л Л И П С А	71
	Согласно формуле (7)	§ 23	Ь2.
	с =	Yа?у а* -	Ь2.
		—

Поэтому для определения эксцентриситета может слу

жить следующее равенство:

(2)

х '

Эксцентриситет характеризует форму эллипса, что

легко усмотреть из формулы

(2). Например, если умень

шить величину

Ь,

не изменяя

а,

то разность

а2

—

Ь2

уве

личится,

отчего

увеличится и дробь

правой

части

фор

мулы, а

следовательно,

станет

больше. Эксцентри

ситет также возрастет, если увеличить

а,

оставив

постояннойа

величиной.'

а.

При

Мы рассмотрели эллипс, у которого

уравнение

(6)

§ 23

представляет

эллипс, фокусы

которого

лежат

на

оси

Оу;

в этом

случае его

большая

ось

равна

Ь,

малая

2а. В

соответствии

с этим

фор

мула (7)

§ 23 и формулы

(1)

и (2) настоящегоУ Ь2 а2

парагра

фа

примута2такой

вид:

ь '

________ь

Ь2

—

с2

—

е — -

== 400. Определить

\Ьх2

у2

П р и м е р . Дан эллипс

длину его осей, координаты вершин и фокусов, а также величину эксцентриситета.

Р е ш е н и е .		Разделив
обе части	данного урав
нения на	400,	получим:

	_£І	,	У_	I.
			16
	25	- г		62 =	16
Отсюда 25,
г2 —			6 = 4 .
Итак,	:5,				эллипса Л И = 2а = 10, а малая—1
	большая ось
В іВ =	2Ь =		8	(рис. 39). Координаты вершин его будут:
				Л (5;		0),	Л, (—5; 0),
				В (		4),	Д ,(0; - 4 ) .
					0;

72		К Р И В Ы Е	ВТО РО ГО П О РЯД КА		[ГЛ. IV
		координаты фокусов, нужно узнать			вели
Чтобы найти
чину	O F = с.	Из равенства		(7) § 23 имеем:

	с	- 1/а1-	Ь2 =	1 /2 5 -1 6 = 3.

Следовательно, координаты фокусов будут:

F(3; 0) и Fi (—3; 0).

Наконец, по формуле (1) настоящего параграфа на ходим:

§ 26. Связь эллипса с окружностью. Положим, что полуоси эллипса равны между собой, т, е. а — Ь, тогда уравнение эллипса примет вид

+или x2+ t / = a2.

Полученное уравнение, как известно, определяет окружность радиуса, равного а.

Посмотрим, чему будет равен эксцентриситет в этом случае; полагая в формуле (2) § 25

а — Ь,

получим:

Отсюда заключаем, что окружность есть частный слу чай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Упражнения

1. Написать простейший вид уравнения эллипса, если даны его полуоси а = 5 и 6 = 4.

2.	Дан эллипс			X “		іР	“ == * ■ Определить		его	оси и расстоя
				-j-gg—t—[4 4
ние между фокусами.						осей	и координаты фокусов			эллипса 49х2+
3.	Определить длину
Ч- 24t/2 = 1176.			8		0		8	0
4.	Составить	уравнение эллипса, если две его вершины нахо
дятся	в точках	Л(		; )		и Лі(— ;		), а фокусы	имеют координаты

(±5; 0).

§ 261

СВЯЗЬ

Э Л Л И П С А

С О КРУЖ Н О СТЬЮ

5.6

Написать уравнение эллипса, координаты фокусов которого

(гЬЗ; 0),6

а длина большой оси равна

12.

. Написать уравнение эллипса, у которого длина малой оси

равна8

, а фокусы имеют координаты

(0;

± 4 ).

Найти эксцентриситет эллипса

4х2

у2

180.

если

даны

2с

. Написать

простейший

вид

уравнения

эллипса,

, .

9. Написать уравнение эллипса, у которого фокусы имеют ко-

ординаты

(0;

± 5 ),

а эксцентриситет равен

10.

Написать

простейший1 0

вид уравнения эллипса, если сумма

полуосей

его

равна

расстояние

между фокусами равно

4 / 5 7

(3;

11.

Проверить,1 2

лежат

ли

на

эллипсе-^- +

“

1точки /4(0; 2),

1 0),2

С (

;

— ■

точка

на

нем с

абсциссой, рав

. Дан

эллипс

ной 3. Найти ее ординату.

вид

уравнения

эллипса,

проходящего

13.

Написать

простейший

через точку /4(3;

У 2)

имеющего большую

ось 2а =

2 /15 .

Ох

14. Эллипс с центром в начале координат и фокусами на оси

проходит через двеВточки

А и

В;

написать его уравнение, если даны:

А(Ѵб-

/б ),

(О; —2/іГ);

2) /4(2/5;

2 /з),

(—5, —3).

15.

Найти длину

хорды,

проходящей

через

фокус

и перпенди-

ОСИ

м2

кулярной

большой

эллипса

-т-г

V i e . Через центр

эллипса —

Іо

—- «= 1проведена прямая, направ

ленная по биссектрисе координатного угла. Найти длину отрезка

этой прямой, заключенного внутри эллипса.

JC2

17. В эллипс — + — = 1 вписан правильный треугольник,

одна из вершин которого совпадает с правой вершиной эллипса.

Найти координаты двух других вершин треугольника.

18.

Найти точки пересечения эллипса 4х

9у3 —

36 с прямыми:

2х

Зу

- б =

0, 2)

2х

12,

х2

—

100.

19.

Прямая

2х +

у — 14 =

пересекает эллипс 4х

+ у1 =

Найти

длину отрезка этой прямой, заключенного внутри эллипса.

20.2 1

Определить траекторию точки

М,

которая

при своем движе

нии остается втрое ближе от

точки /4(1;

0),

чем

от

прямой

= 9.

. Определить эксцентриситет эллипса, если отрезок между фо кусами виден из конца малой оси под прямым углом.

2 2 . Отрезок прямой линии движется так, что концы его сколь зят по осям координат. Показать, что при указанном движении любая точка этого отрезка, кроме середины и концов его, описывает эллипс.

74	К Р И В Ы Е ВТО РО ГО П О Р Я Д К А		[ГЛ. IV
разности§ 27.	Гиперболарасстоянийи	Гиперболой	назы
		отее уравнение.каждой из которых до	двух

вается геометрическое место точек, абсолютная величина

динных точек, называемых фокусами, есть величина по стоянная (меньшая расстояния между фокусами и не равная нулю).

Пусть, например, точки М ь Л12, Л13, М 4 лежат на ги перболе, фокусы которой находятся в точках F и Fi

Рис. 40.

Рис. 41.

'(рис. 40). Тогда, согласно данному выше определению, можно написать:

I F XM, - F M XI = I F,M2- FAU | = | F,M3 - FM31=

= I F XM4— FM41= const. 4(1)

Пользуясь определением гиперболы, выведем ее урав нение.

Примем за ось Ох прямую, проходящую через фоку сы Fi и F (рис. 41), а за ось Оу — прямую, перпендику лярную к отрезку F XF и делящую его пополам.

Положим F3F = 2с, тогда координаты фокусов будут

F(c-, 0) и	F, (— с; 0).
Возьмем на гиперболе	произвольную точку М(х;у)

и обозначим абсолютную величину разности расстояний


каждой точки от фокусов-			через 2а; тогда
или	I Г,М	—	F M	I = 2а,
или	FiM	—	FM — ±		2а.	(2)
	FiM		FM — ±

§ 27) ГИ П ЕР Б О Л А И Е Е У Р А В Н Е Н И Е 75

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

FXM =	Y(x+ c?+ (y-Oy- =			Ѵ ( х + с ) 2+ г / 2,
FM =	V {x - c f -f•(у - Of =			V(.V - с)2 + у2
и, заменив в равенстве			(2) /4M и FM			их выражениями,
напишем:			~ У (х — с)2 4-		У2 —		± 2а.	(3)
У (я + с)2 4' У2
Это и есть		уравнение гиперболы				относительно		вы

бранной системы координат, так как оно согласно ра

венствам

(1)

справедливо для любой ее точки.

Упростим

уравнение (3). Для этого перенесем один

из радикалов в правую часть уравнения:

у2.

(х

4- с)2 4-

у2

± 2а 4- У

(х — с)2

(хВозведем

обе

части

уравнения

в квадрат:

У2-

4- с)2 4

- у 2 —

4а2 ±

4а У (х — с)2 4- У

4- (* — с)2 4~

Раскроем

скобки:

4- 2

сх

с2

у2

2сх -г с2 у2

х2

2сх

У2-

—

4~ с2 4"

4а2 ± 4а У х 2 —

Приведем подобные члены:

с2

у2

— 2сх,

или

2сх =

4а2 ± 4а У х 2 — 2сх

______________________у_

4сх — 4а2 =

4а У х 2 — 2сх 4-

с2

-f- 2 .

Сократив на 4, снова возведем в квадрат обе части уравнения; получим:

(сх — а2)2 = а2 (х2 — 2сх 4~ £2 4~ У2)-

Раскроем скобки:

с2х2 — 2а2сх 4- а4= а2х2 — 2а2сх + а2с2 4~ а2У>

или

с2х24- а4 = а2х2 4~ а2с2 4- а2у2.

Перенесем в левую часть		члены,		содержащие х и у,
а остальные члены в правую:			а2с2 -		а\
с2х2 -	а2х2 - а2у2 =

76	■ К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А		[ГЛ. IV
отсюда	(с2— а2) х2— а2у2 — а2 {с2— а2).		(4)
Согласно определению сгиперболы
	2 >	а,
отсюда		2	(5)
	с >	а.

При условии (5) разность с2— а2 имеет только поло жительное значение, а потому ее можно обозначить че рез Ь2. Сделав это в равенстве (4), получим:

Ь2х2— а2у2 — а2Ь2.

( 6)

Разделив последнее равенство на а2Ь2, найдем окон чательно:

Равенство (7) представляет собой

—— \	(7)
а2 _- Ль2	(7)
ь2 == с2 — а2.	(8)
простейший	вид

уравнения гиперболы *).

§ 28. Исследование уравнения гиперболы. Из урав нения (6) § 27 имеем:

отсюда		а2у2= Ь2X2— а2Ь2,
отсюда	' ~	Ь2х				—	а2			а2)
	9		2 —		а2Ь2		Ь2{х2		—	а2)
и				а5		У х 2— а2 .				0)
и		у — ±				У х 2— а2 .
Из этого же уравнения				(6)
Из этого же уравнения				(6)		§ 27 находим:
	9	а2у2		а2Ь2			а2 (у2	+		Ь2)
и	х			+ь2				+
							Т2
		х =				у2	Ь2 .			(2)

*) Как и в случае эллипса, можно показать, что уравнение (7) равносильно уравнению (3), т. е. не имеет посторонних корней.

§ 281	ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ	1 1
§ 281

Исследуем уравнения (1) и (2) для выяснения гео метрической формы гиперболы.

I.Найдем точки пересечения гиперболы с осью Ох.

Для этого в уравнении (2) положим у — 0; получим:

х = ± у ]/ b2 — ± а.

Отсюда следует: гипер бола пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (—а; 0)

(рис. 42, точки А и Л|).

II.Положим в уравне

нии (1)

тогда

[ X I < а;

(3)

получит мнимое зна

чение, а это значит, что на

-\-а

х =

гиперболе нет

точек,

удовлетворяющих

условию

(3).

Следовательно, в полосе между прямыми

— —а

на

рис.

42)

нет точек гипер-

а2(прямыеb

ѵ*2

/»2

болы -Ѵ — Т Г =

III.

\х I >

Пусть

а;

каждого

два

(4)

тогда

из равенства (1)

найдем для

дей

ствительных значения

у,

равных по абсолютной вели

х,

чине, но с противоположными знаками. А это значит,

что каждому значению

удовлетворяющему

неравен

ству

(4), соответствуют на кривой две точки, симметрич

ные относительно оси

Ох.

у2

ц2

Следовательно,

гипербола

у —

симметрична

относительно оси Ох.

другой стороны, для каждого значения

из равен

ства (2) найдем два-действительных,у

значения

х,

равных

по абсолютной величине, но противоположных по знаку,

т. е. каждому значению

на

гиперболе

соответствуют

две точки, симметричные относительно оси

Оу.

гипербола

I/2

симметрична

Следовательно,

у —

у - =

относительно оси Оу.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ІГЛ. IV

IV . Если

в уравнении

(1) давать

значения, заклю

ченные

между + а и

+ оо, то величина

будет

изме

няться

от 0 до

± ° о ,

т. е. в этом случае

каждому

зна

чению

кривой две точки, симметрич

соответствуют на

ные относительно оси

Ох

и отстоящие друг от друга тем

дальше, чему

больше величина абсциссы.

—а

Если же давать

значения, заключенные между

и — оо, то

будет изменяться опять от 0 до ± о о .

Из

ьГвсего

изложенного

следует,

что гипербола

—2—

состоит из двух

симметричных относитель

Оу

но оси

ветвей, одна из которых расположена справа

от прямой

- f - ö

а другая слева от прямой

х =

—

а.

Каждая из этих ветвей симметрична

относительно

оси

Ох

(рис. 43).

вершинами

Точки

Л(а;0)

и Л і(—а; 0) называются

гиперболы

, а точка

0(0; 0) — ее

центром.

Отрезок

А А і =

2а

действительной

или

оси

мнимой*)носит название.

вещественной

ВВі

= 2

F\M

гиперболыFM фокальныев отличиерадиусыот оситочки

М=■.

называемой

—

Отрезки

§ 29. Эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фо

кусами к длине вещественной оси, т. е. — ■— .

*) Отрезок ВВі = 2 b называется мнимой осью, так как на нем нет точек гиперболы.

§ JUI АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ 79

Эксцентриситет гиперболы,				так же как		и эллипса,
обозначается-буквой	е:					(о
обозначается-буквой			а
			с
Так как для гиперболы		с	>	а	(§ 27), то
Так как для гиперболы			>		(§ 27), то

а потому эксцентриситет гиперболы больше единицы. Согласно равенству (8) § 27

с = Y а2+ Ь2 ,

поэтому формулу (I) можно представить в следующем виде:

Ѵ а 2 + b2

§ 30. Асимптоты гиперболы. Построим на осях гипер болы

__ ____ ,

а2 Ь2

прямоугольник L Q R S с центром в начале координат и

со сторонами, равными 2а и 2Ь\ проведем его диагонали LR и QS, продолжив их по обе стороны (рис. 44).

Прямая LR проходит через начало координат, по этому ее уравнение будет:

y = k x .

(1)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 428 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб280Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб7Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб52Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб37Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб22Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб312Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб15Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб50Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб11Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб12Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб12Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf