книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник
.pdf100 |
4. Парабола с |
К Р И В Ы Е |
ВТО РО ГО |
П О РЯ Д К А |
|
|
|
|
[ГЛ. IV |
|||||||
|
6 |
вершиной |
0| (0; |
|
—7) |
проходит |
через точку |
|||||||||
М ( |
; — 1), причем ее ось симметрии параллельна оси |
Ох. |
Написать |
|||||||||||||
уравнение параболы. |
|
|
|
|
Оу |
|
|
|
Ох |
|
8 |
|
|
|||
ней |
5. Парабола симметрична относительно оси |
и |
отсекает на |
|||||||||||||
6отрезок, равный |
—4, |
а |
на |
оси |
|
|
хорду, |
равную |
|
. Написать |
||||||
уравнение параболы. |
|
2 вершины,2 1 0 |
величину2 1 |
|
параметра и направ |
|||||||||||
|
|
. Найти координаты1 |
0 |
|||||||||||||
ление парабол: |
) у |
+ |
у + |
* + |
|
= |
|
, |
|
|
|
|
|
|||
2)X2 — бдг — 4/у — 1 1 = 0 .
7.Найти координаты вершины и фокуса, а также уравнения оси симметрии и директрисы парабол:
1) л |
+ 2л — |
8 |
у + 17 = 0, |
; 2 |
|
|
|
|
|
|
2) л-2 |
2- 8л- + |
8у |
+ 8 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3) |
Зу |
+ |
бу — 5л + |
|
13 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4) |
у2 |
- |
4л + |
8 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
л |
2 |
8 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
||||||
8 |
|
|
|
5) |
|
|
+ |
4 у - |
= |
0. |
|
координаты |
вершины |
і |
|
|
|||||||||||
|
. Написать уравнения |
парабол, зная |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
и фокуса |
F: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
0 ,(3 ; 0), |
|
F ( 3 ;- 3 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
| |
||||||||||||||||
|
Написать |
уравнения парабол, |
зная координаты вершины |
|
|||||||||||||||||||||||
и уравнение директрисы: |
|
|
|
|
|
X |
— 4 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 ) 0 , ( -3 ;2 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10. |
|
2 ) 0 , (4; 1) |
|
у + |
2 = |
0. |
координаты фокуса |
F |
|||||||||||||||||||
|
Написать |
уравнение |
парабол, |
|
зная |
|
|
||||||||||||||||||||
н уравнение директрисы: |
|
|
|
|
у |
- 5 |
|
= |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1) Д(4; - 2 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11. |
|
2) |
F |
( -1 ; |
2), |
|
л - |
|
|
3 = |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Построить параболы: |
|
5) у — X2 |
+ |
4х |
+ |
4, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
< J= |
Y |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3) у = X 2 — X 2— 2, |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
x2 + 2 |
л + - | |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
, |
|
87) у = З2 л - - | л 2 - 2 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
4) у = — д- л + 2л |
|
|
) у = л + 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
§ 37. Конические сечения. Окружность, эллипс, ги пербола и парабола определяются, как мы установили
§ 37] |
К О М И Ч ЕС К И Е С ЕЧ ЕН И Я |
101 |
|
|
в предыдущих параграфах, уравнениями второй степени; поэтому их называют кривыми второго порядка. Они были известны еще древним грекам, которые изучали эти кривые, рассматривая их как результат сечения пря мого кругового конуса плоскостью в следующих четырех
случаях. |
окружность |
|
|
I. |
Секущая плоскость перпендикулярна к оси ко |
||
нуса; |
в сечении получается |
|
(рис. 59). |
Рис. 59. |
Рис. 60. |
Рис. |
6 Г. |
Рис. 62. |
II. Секущая плоскость образуетS; |
с осью конуса угол,эл |
|||
липсне равный 90°, и пересекает все его образующие по |
||||
одну сторону |
от вершины |
в сечении |
получается |
|
(рис. 60).
III. Секущая плоскость параллельна какой-либо об разующей конуса; при этом получается кривая, назы ваемая параболой (рис. 61).
IV. Секущая плоскость пересекает обе полости ко нуса; при этом получаются две ветви, образующие ги перболу (рис. 62).
Окружность, эллипс, гипербола и парабола назы ваются коническими сечениями.
Конические сечения изучались в древности исклю чительно геометрическим путем, что представляло боль шие трудности, и только со времени Декарта, давшего метод координат, изучение их значительно упростилось.
102 |
|
К Р И В Ы Е |
ВТО РО ГО П О РЯД КА |
|
[ГЛ. IV |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
С м е ш а н н ы е |
з а д а ч и |
|
|
|||||||
1. В |
окружности |
х2 |
+ |
у |
2— |
6 |
х + |
6 |
у — 50 = 0 |
проведена |
хорда, |
|||
на |
|
|
|
|
||||||||||
параллельная оси |
О у , |
|
расстоянии |
от нее, равном 5. Найти |
длину |
|||||||||
хорды. |
|
|
2 |
|
|
Ay1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. На |
гиперболе |
— |
= |
|
180 |
взята точка |
с абсциссой, рав |
|||||||
5ѵ |
|
|
|
|||||||||||
ной 10. Определить расстояние ее от фокусов гиперболы.
3.Расстояния одного из фокусов эллипса до концов его боль шой оси равны 7 и 1. Написать простейший вид уравнения эллипса.
4.Составить уравнение окружности, концы одного из диамет ров которой находятся в точках Л(—2 ; 1 ) и 5(0; 3).
|
5. Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы. |
|
8 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
6 |
. Написать |
уравнениях2диаметров |
окружности |
х2 |
+ |
у2 |
++ |
х + |
|||||||||||||||
+ |
Ау |
— 16 = |
0, перпендикулярных к осям координат. |
|
|
|
|
х2 |
|
у2 |
|
|||||||||||||
|
7. Даны |
окружности |
+ |
у2 |
-+- 4* — |
2у — |
15 = |
|
0 |
|
и |
|
|
— |
||||||||||
— бдг8 |
у |
— 7 = |
|
0. Как |
велик |
угол, |
образуемый |
линией |
центров |
|||||||||||||||
+ 2 |
|
|||||||||||||||||||||||
этих |
окружностей2 6 |
с положительным |
направлением |
оси |
Ох? |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
фокусов |
||||||||||||||||||||||
суть |
. Разность |
полуосей |
эллипса |
равна |
|
2, координаты |
|
|||||||||||||||||
( ± |
]^ |
; О). Найти |
уравнение эллипса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
9. Фокусы эллипса находятся на оси |
Ох |
и делят |
|
его |
большие |
||||||||||||||||||
полуоси пополам. Написать уравнение этого* 2 |
эллипса, если его малая |
|||||||||||||||||||||||
ось равна |
4 / з . |
|
вписана |
окружность |
|
+ р2 = 1 6 , |
|
пересекающая |
||||||||||||||||
|
10. В |
эллипс |
|
|
|
|||||||||||||||||||
большую ось эллипса в фокусах, лежащих на оси абсцисс. Написать
уравнение эллипса.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Найти величину осей гиперболы, если расстояние между ее |
|||||||||||||
фокусами равно 2у2, а угол между асимптотами прямой. |
|
||||||||||||
12. Написать |
уравнение |
гиперболы, |
имеющей |
общие фокусы |
|||||||||
с эллипсом |
X 2 |
+ |
— |
18 и эксцентриситет, |
равный |
1,5. |
и перпенди |
||||||
13. Найти |
длину хорды, |
проходящей |
через |
фокус |
|||||||||
кулярной к действительной оси гиперболы 9х |
2 |
— |
\6у2 |
= |
144. |
||||||||
14. Найти длину хорды, проведенной через1 |
фокус |
перпендику- |
|||||||||||
лярно к большой оси эллипса |
— Ь |
= . |
|
|
|
|
|
|
|||||
15. Через' фокус параболы у2 = 2рх проведена хорда, перпен дикулярная к ее оси симметрии. Найти длину хорды.
X 2 |
у 2 |
16. На гиперболе — -gg- = 1 взята точка с абсциссой, рав
ной 12. Найти фокальные радиусы этой точки.
17.Вычислить длину сторон правильного треугольника, вписан ного в параболу у2 — Ах.
18.На параболе у2 = Зх взята точка, ордината которой равна 2 . Найти расстояние этой точки от фокуса.
19.Мнимая полуось гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох, больше вещественной полуоси на 2 ; одна из ее асимптот проходит
через точку <4(10; 14). Написать простейшее уравнение этой гипер болы.
20. Написать уравнение гиперболы, если ее асимптоты даны урав-
нениями |
|
3 |
и известно, что гипербола проходит через |
|
у = ± - ^ х |
||||
точку |
А |
(іО; — |
ЗѴ Т ). |
|
|
|
|
||
§ 371 |
К О Н И Ч Е С К И Е С ЕЧ ЕН И Я |
103 |
|||
х2 |
+ |
у2 — |
9 |
проходит через фокусы гиперболы, |
|
.21. ОкружностьОх. |
|
||||
лежащие на оси |
|
Написать |
уравнение этой гиперболы, |
если |
|
одна из ее асимптот образует с положительным направлением оси
Ох |
угол, равный arctg |
2 |
. |
|
у2 |
|
|
||||
А |
|
22. В |
окружность |
|
|
X 2 |
+ |
= |
25 вписан эллипс с фокусами, ле |
||
жащими |
на оси |
Ох. |
Радиус окружности, проведенный в ее точку |
||||||||
|
(4; 3), делится эллипсом пополам. Написать уравнение этого |
||||||||||
эллипса. |
|
Ѵ2 |
|
|
|
~ ~ |
|
|
|
||
|
|
23. В |
|
|
+ |
(у2 |
|
вписан прямоугольник, две проти- |
|||
|
|
эллипс — |
|
о |
= I |
||||||
|
|
|
|
IUU |
|
|
|
|
|
|
|
воположные стороны которого проходят через фокусы. Найти длину
его сторон. |
|
9х2 |
|
|
у2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
24. |
В |
эллипс |
|
+ |
16 |
|
= 144 вписан квадрат. Найти |
длину его |
||||||||||||
сторон.X 2 |
|
у2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
25. Под влияниемМнекоторой силы точка |
двигалась по окруж |
|||||||||||||||||||
ности |
|
+ |
|
— 10х + |
бу + |
9 = |
0. Действие |
силы |
прервалось в тот |
|||||||||||
момент, когда точка |
|
совпала |
с точкой |
А( |
2; 1) |
окружности. Опре |
||||||||||||||
делить дальнейшую траекторию точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
26. Даны уравнения двух окружностей: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
X 2 + у2 — 6х — 2у — |
3 |
— |
0 |
и |
X 2 + у2 — 4х — бу + |
3 |
= |
0. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Показать, что линия их центров перпендикулярна к их общей хорде.
27. Камень, брошенный с крыши дома |
параллельно |
|
горизонту, |
|||||||
упал на землю, описав параболу |
х2 = |
—5у. На |
каком |
|
расстоянии |
|||||
от вертикали упал |
камень на землю, если высота дома |
2 0 |
м? |
|||||||
28. Парабола, |
симметричная относительно оси |
Оу, |
|
с |
вершиной |
|||||
в начале координат пересекает эллипс |
* 2 |
|
у2 = |
|
16 в |
|
точках, ле |
|||
его |
+ 4 |
|
|
|||||||
жащих на хордах, проходящих через |
|
фокусы |
|
перпендикулярно |
||||||
кбольшой оси. Написать уравнение параболы.
29.Фокальные радиусы точки эллипса равны 2,6 и 7,4; хорда,
выходящая |
из |
этой |
|
|
точки |
н |
перпендикулярная |
к |
большой |
оси его, |
||||||||||||||||||||||
равна |
|
4,8 |
и определяется |
|
уравнением |
х |
|
— 3 = |
0. |
Написать |
уравне |
|||||||||||||||||||||
ние эллипса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
30. Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал |
||||||||||||||||||||||||||||||||
дугу параболы и упал на расстоянии |
16 |
|
|
от начального положения. |
||||||||||||||||||||||||||||
Написать |
|
простейшее |
уравнение параболы, |
зная, |
|
что наибольшая |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
высота подъема камня равна1 , 0 2 м\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
31. Параболическое зеркало рефлектора Симеизской обсерва |
||||||||||||||||||||||||||||||||
тории |
|
имеет диаметр |
|
|
|
|
|
|
расстояние его |
фокуса от |
вершины |
|||||||||||||||||||||
равно |
|
5 |
м. |
Найти |
|
глубину |
|
параболической |
выемки, |
которую при |
||||||||||||||||||||||
шлось сделать |
2 |
при0 |
изготовлении зеркала |
из плоского |
стекла. - |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
32. |
На |
|
параболе |
у2 = |
8 |
х |
найти |
|
точку, |
расстояние которой от |
||||||||||||||||||||||
фокуса |
равно . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ох. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
33. Парабола с вершиной в начале координат расположена сим |
||||||||||||||||||||||||||||||||
метрично |
|
относительно |
|
оси |
|
|
|
|
Определить фокальный радиус |
ее |
||||||||||||||||||||||
точки |
М( |
2; |
4). |
|
|
|
|
|
|
М. |
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
у2 |
|
\2х |
|
|
|
|||||
34. Фокальный |
|
радиус |
|
точки |
|
параболы |
= |
равен |
6 |
. |
||||||||||||||||||||||
Найти координаты точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
35. |
На |
|
параболе |
|
у2 |
= |
|
4,5* |
взята |
|
точка |
находящаяся от |
ди |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ректрисы на расстоянии 9,125. Найти расстояние этой точки от вер шины параболы.
104 |
К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А |
[ГЛ, IV |
|
36.Определить эксцентриситет эллипса, если расстояние между его фокусами равно расстоянию между концами большой и мало!'! осей.
37.Найти эксцентриситет эллипса, у которого большая ось втрое больше малой.
38.Земной меридиан приближенно представляет собой эллипс,
отношение |
осей |
которого |
равно |
299 :300. |
Определить |
эксцентриси |
|||||||||||
тет земного меридиана. |
А |
|
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
39. Прямая |
X |
— 10 = |
0В |
пересекает |
гиперболу |
и |
ее асимптоту |
||||||||||
соответственно |
в точках |
|
и |
|
Написать 8 |
уравнение |
этой гипер |
||||||||||
болы, если ордината точки |
равна |
5, |
а длина отрезка данной пря |
||||||||||||||
мой, заключенного внутри гиперболы, равна . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
40. Фокусы гиперболы лежат на оси |
Ох. |
Найти |
острый угол, |
||||||||||||||
образуемый |
каждой |
из |
асимптот гиперболы с ее вещественной |
||||||||||||||
осью, если вершины гиперболы отстоят |
от ее центра |
на |
О |
расстоя- |
|||||||||||||
нпя фокуса |
от центра. |
|
|
|
X2 |
i t |
= |
1 |
лежат |
|
|
|
|||||
41. Две |
вершины |
эллипса -jg- + |
9 |
|
в фокусах гипер |
||||||||||||
болы, вершины которой находятся в фокусах данного эллипса. Со
ставить уравнение гиперболы. |
|
|
|
||||||
|
|
42. К окружности |
хг |
+ |
у2 |
— 4* + |
Зі/ + 5 = |
0 проведена секущая |
|
X |
— |
2 у |
— 3 = 0. Написать |
уравнения |
сторон |
прямоугольника, впи |
|||
|
|
||||||||
санного в данную окружность и имеющего стороной внутренний
отрезок данной секущей. 2х |
у -г- |
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
у2 |
|
6 |
|
|
||||
43. |
Найти |
расстояние |
от |
центра |
окружности |
+ |
— |
.ѵ — |
|||||||||||
— 4(/ + |
5 = 0 до прямой |
AB, |
3 = |
0. |
|
У2 |
|
8 у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
44.8 |
Из точки С(5; 4) окружности |
х2 |
+ |
— |
— 9 = |
0 опущен |
|||||||||||||
перпендикуляр |
на |
диаметр |
|
|
конец |
которого |
|
лежит |
в |
точке |
|||||||||
0(3; ). Найти длину этого перпендикуляра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|||||||||
45. Определить |
координаты |
вершины |
и |
фокуса |
|
параболы |
= |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
=X2 + бх.
46.Парабола симметрична относительно оси Ох, вершина ее
помещается в точке |
О |
і (—5; |
0) и на |
оси |
Оу |
она отсекает хорду, |
||||||
равную |
12. Написать уравнение этой параболы. |
|
|
|||||||||
47. |
Вычислить параметр |
|
параболы |
у2 |
= |
рх, |
если известно, что |
|||||
|
|
2 |
|
|||||||||
она касается прямой |
х |
— |
2у |
+ |
5 ="0. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ
Г Л А В А V
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 38. Абсолютная величина и соотношения, связан ные с ней. В дальнейшем изложении курса нам встре тится необходимость рассматривать соотношения ме жду абсолютными величинами некоторых выражений.
Абсолютная величина числа а обозначается |а|. Напомним, что по определению
|
|а|а= |
а, |
|
если |
а ^ О ; |
|
||||
|
АбсолютнаяI |
I = |
— а, |
|
|
если |
а |
< 0. |
|
|
|
|
|
|
суммы |
||||||
|
|
величина |
алгебраической |
|||||||
меньше или равна сумме абсолютных величин сла |
||||||||||
гаемых.Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например: |
4 + |
6| = |
1 |
12| = |
12, |
|
|
|||
|
а) І2 + |
|
|
|
||||||
|
I 2 I + |
I 4 I +1 6 I = |
2 + |
4 + 6 = 12, |
|
|||||
следовательно, |2 + 4 + |
6| = |
|2| + |
|4| + |6|; |
|
||||||
|
б) | - 5 - 2 | = | - 7 | = 7, |
|
|
|||||||
|
| - 5 | + | - 2 | = 5 + 2 = 7, |
|
||||||||
следовательно, | — 5 — 2| = |
|
| — 5 ] + { — 2 |; |
|
|||||||
|
в) I - 5 + 21 = | - 3 1 = 3, |
|
||||||||
|
1 - 51 + |
|21 = 5 + |
2 = 7, |
|
||||||
следовательно,ше или равна разности1— 5 + 2 |
абсолютных| < | — 5| + |2|.величин уменьшае |
|||||||||
2. |
Абсолютная |
величина разности двух |
чисел боль |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мого и вычитаемого.
106 |
|
|
ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В |
[ГЛ. V |
Например: |
а) |7 — 9| = | - 2 | = |
2, |
||
т. е. I 7 - 9 |
I |
|
I 7 I — I 9 I = 7 — 9 — — 2, |
|
|
> I 7 I - I 9 I; |
|
||
б) I 9 — 7 I = I 2 I = 2,
| 9 | - | 7 | = 9 - 7 = 2,
т.е. I 9 — 7 I = | 9 I — I 7 |.
3.Абсолютная величина произведения конечного числа сомножителей равна произведению их абсолют ных величин.
Например: |
|
|
I 30 I = 30, |
|
|||
|
|
I (—3) - 5 •I(—2) I = |
30, |
||||
|
|
I —3 1- 15I |
■ I - 2 | = 3 - 5I |
- 2 = |
|||
т. е. I (—3) • 5 • (—2) |
= I —3 I • I 5 I • |
—2 |. |
|||||
4. |
Абсолютная величина |
частного |
равна частному |
||||
абсолютных величин делимого и делителя. |
|||||||
Например: |
— 15 |
= |
| - 5 | = |
|
|||
|
|
а) |
3 |
|
|||
|
- 1 5 |
1— 15 1 |
І - І 5 І |
— 15- 5 |
|
|
|
|
9 1з 1 |
|
|
||||
|
3 |
І 3! |
-20 |
= | 4 | — 4. |
|
||
|
|
б) |
- 5 |
|
20 - |
4 |
|
|
-20 |
1-201 |
1-20 1_ |
|
|||
|
1—5 1 |
5 |
|
|
|||
ѵ § 39. Последовательность. Характер изменения пере менной величины. I. Пусть дано множество чисел, рас положенных в определенном порядке, например:
2; 4; 8; 16; 32; 64; . . . ; 2"; О)
тогда каждому числу этого множества можно припи сать номер места, которое оно занимает.
§ ЗУ] |
Х А РА К ТЕР И ЗМ ЕН ЕН И Я |
П Е Р Е М Е Н Н О Й ВЕЛ И Ч И Н Ы |
107 |
||||||
Так, число 8 |
занимает |
третье место, |
32 — пятое, |
||||||
|
|
|
|
Числовой |
последовательностью |
||||
64 — шестое последовательностьюи т. д. |
называется |
занумеро |
|||||||
или просто |
|
чисел, |
расположенных |
в порядке |
|||||
ванноеО п р емножествод е л е н и е . |
|||||||||
возрастания номеров. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Совокупность чисел (1) служит примером последо |
||||||||
вательности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обычно последовательность записывают в общем |
|||||||||
виде таким образом: |
|
«з, |
. • *, |
пп, |
»«. > |
|
|
||
|
U[, |
U21 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
где u„ называется общим членом последовательности.
Зная формулу общего члена последовательности, можно найти любой ее член. Например, десятый член последовательности (1)
гг10 = 2 і0 = 1024.
П р и м е р |
1. |
Найти |
восьмой |
член последователь |
|||
ности |
' |
. |
2 . |
3 . |
. |
п |
! ’ ••• |
Р е ш е н и е . |
2 |
* |
3 |
’ 4 |
’ • • • ’ |
п + |
|
|
|
|
_____8 |
|
|
||
|
|
|
|
— 8 + Г |
|
|
|
П р и м е р |
2. Найти |
||
ности |
8 |
|
п |
J _ . _ 2 . j H |
|
||
2 ' 4 ’ |
|
' " *' 2" ’ " * |
|
Ри1е ш~ е |
27н и~е . |
7 |
|
_ |
|
7 _ |
|
|
|
|
128 * |
седьмой член последователь-
0 |
а |
А |
|
_л_ |
X |
||
|
|
|
-ѵ~
X
Рис. 63.
II. Мы знаем (§ 5), что в математике и ее прило жениях встречаются величины постоянные и величины переменные. На числовой оси Ох (рис. 63) постоянной величине а соответствует неподвижная точка .4, а пе ременной величине х — движущаяся вправо или влево точка М.
Переменная величина может изменяться весьма раз нообразно: возрастать, убывать, переходить от возрас-
108 Т ЕО Р И Я П Р ЕД ЕЛ О В [ГЛ. V
тания к убыванию и т. д. Закон изменения переменной величины можно задать последовательностью числовых значений, которые она принимает. Пусть, например, переменная х принимает числовые значения последо вательности (1). Закон изменения здесь состоит в том, что каждое новое значение переменной х вдвое больше предыдущего.
Как видно, переменная в этом примере изменяется скачкообразно; однако очень часто рассматриваются переменные, изменяющиеся непрерывно; например, вре мя, путь, проходимый телом, и т. п.
Переменная величина, которая в процессе измене ния постоянно возрастает или постоянно убывает, на зывается монотонной. Примером такой величины слу жит переменная, принимающая значения (1).
Всякая величина, меняющаяся не монотонно, назы вается колеблющейся. Например, переменная величина, изменяющаяся по закону последовательности
1. о- —■ —■ —• —■ — •
1; 3 * 3 ’ 9 ’ 9 ’ 27 ’ • • •’
члены которой попеременно увеличиваются вдвое и
уменьшаютсяограниченныевтрое, являетсянеограниченные.колеблющейся. |
|
Переменные величины по характеру изменения еще |
|
делятся на |
и |
О п р е д е л е н и е . |
Переменная величина у назы |
|
|
вается ограниченной, если, начиная с некоторого ее значения, выполняется неравенство
еде М — какое-либо |
I У \ < М , |
|
|
|
|
постоянное |
положительное |
число. |
|||
ограниченная |
|
хв про |
|||
Например, |
t g x — |
|
х переменная |
||
межутке значений аргумента от |
= —45° |
до |
= 45°, |
||
так как в этом случае |
|tgx|sg; 1. |
|
величинами |
||
Наряду с |
ограниченными переменными |
||||
встречаются и такие, которые не удовлетворяют выше
указанному определению. |
Возьмем, |
например, tg x |
||
в промежутке значений аргументах, |
Nот |
0 до 90°.i g xКакое> N . |
||
бы большое положительное |
число |
мы нинеограниченвзяли, най |
||
ной.дется в первой четверти дуга |
для которой |
|||
Такая переменная величина |
называется |
|||
§ «1 |
Б ЕС К О Н ЕЧ Н О |
М АЛАЯ В ЕЛ И Ч И Н А |
109 |
ѵ § 40. Бесконечно малая |
величина. Возьмем перемен |
||
ную величину а, принимающую последовательно зна
чения: |
1- |
-L- |
1 - |
1- |
1 . |
6 |
|
(1) |
|
1 - . |
|||||||
ИЛИ |
’ 2 ’ |
3 ’ |
4 ’ |
5 ’ |
|
’ |
' ' |
|
__і. _ 1 . |
_ ± . |
_ j _ . |
_ 1 . _ _ L . |
(2) |
||||
По мере увеличения номера места, занимаемого чле нами этих последовательностей, абсолютная величина а уменьшается, и какое бы малое положительное чис ло е мы ни выбрали, в каждой из указанных последо
вательностей |
найдется число, |
аначиная с которого' аб |
|
солютная величина значений |
будет |
меньше выбран |
|
ного е. Пусть, |
например, е = |
0,001. В |
соответствующем |
удалении от начала каждой из данных последователь ностей найдем число, по абсолютной величине меньшее, чем 0,001, причем абсолютное значение членов, следую щих за найденным, остается меньше этой дроби. Если
возьмем еще меньшую дробь, |
например е = 0,0001, то |
и в последовательности (1) |
и в последовательности |
(2), если достаточно удалиться от их начала, найдется число по абсолютному значению меньшее, чем 0,0001, причем абсолютные величины последующих членов
также будут меньше, чем 0,0001. |
|
а |
стремится |
к нулю.В этом случае говорят, что |
величина |
неограни |
|
ченно приближается к нулю |
или, иначе, |
|
|
Этот факт записывают так: а -> 0 .
Геометрически процесс изменения величины а, прини мающей значения последовательности (1), можно пред ставить изменением абсциссы точки А, перемещающей ся по координатной оси в направлении, указанном стрелками на рис. 64. Какое бы малое положительное число мы ни взяли, наступит момент, когда абсцисса точки А станет и в дальнейшем останется меньше вы бранного числа.
Процесс изменения величины а, принимающей зна чения последовательности (2), представится изменением