книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

10

МЕТОД

КООРДИНАТ

[ГЛ. I

ках рядом с обозначением точки —

М (х\у),

причем сна­

чала выписывают

координату

х,

а потом

координату

у.

М

Пусть,

например,

х

=

ОР

= 1 ,

а

у — ON

= 2 едини­

цам того же масштаба. Тогда говорят, что точка

имеет координаты уѴГ (1; 2),

AI.

Возникает, однако, вопрос, нет ли наAI,плоскостиAIh АІ2

ещеAI3

точек, имеющих те же координаты, что и точка

и

На

рис. 2 показано, что каждаяОу

из

точек

удалена

на

1

единицу

масштаба

от

прямой

§ у

ДЕКАРТОВА ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА

11

Таким

образом, точки М,

Мг и М 3 на

рис. 2

А( Упражнения

\/

С

D(

Е(

1. Построить

точки:

3;

5),

В(

—3;

4),

(5; — 1),

—2; —4),

0;

2),

F(

3;

0),

К{—

0),

L(

0;

—4),

0(0;

0).

3;

В

2.

Построить

точки:

А

(2; К б ) ,

В {—

К З ;

У У ) .

3.

Найти

координаты

проекций

на

ось

Ох

точек:

.4(3;

4),

(—5;

—3),

С(0;

- 4 ) .

Оу

А

В

4.

Найти

координаты

проекций

на

ось

точек

(2;

3),

(4; —2),

С

(—5;

0).

В,

5. Дана

точка

А

(3; 2). Найти координаты

точки

симметрич­

ной с

А

относительно оси

Ох,

и точки

С,

симметричной с

В

относи­

тельно оси

Оу.

Построить эти три точки.

D(

6. Найти координаты точек, симметричных относительно начала

координат

с

точками:

А (4;

0),

ß(0;

—4),

—2; 3),

Я(—3, —4).

§ 3]

РАССТОЯНИЕ

МЕЖДУ ДВУМЯ

ТОЧКАМИ

13

Так как

А С

и

СВ

как длины сторон треугольника поло­

жительны,

то

и слагаемые

правых

частей

равенств

(4)

должны быть положительными. Но координаты точки

А

следовательно, AD

Х[

< 0

и

г/, < 0;

= —

X,

И

C ß , =

— #,.

С

другой стороны,

и х2ß|ß —

Уч-

Итак,

DC — х2

АС — — X]

х {,

СВ =

—

+ у2

=

х2

—

у, +

=

у2 —

#,.

После

замены

Л С

и

СВ

в

равенстве (1)

их

значе­

ниями получим ту же формулу

(3).

между

точками

А (

П р и м е р .

Найти

расстояние

—3; 5)

и 5(1;х22)—.

# 2

Х\

=

Л а -

1

=

Р е ш е н и е .

По

условию

1\-------------

5

—3, #і =

5,

1,

=

2.

Под­

ставив эти координаты в формулу

і

4

(3), получим:

3

1

N d

ЛД = / [ 1 - ( - 3 ) ] 2 + ( ? - 5 ) 2 =

1

1

1 \

= / 4 2 + ( - 3 ) 2 = /2 5 = 5.

1

/

*

Решим тот же пример графиче­

1

-'/

О

*

- 3 - 2

1

ски.

Для

этого

построим

данные

точки

А

и

В

(рис.

5)

и,

измерив

Рис.

5.

отрезок

AB,

AB —

5.

найдемМ(х\ у)

Расстояние от начала координат 0(0; 0) до любой

другой точки

dвычисляется по формуле

(5)

=

V x 2 + y

2.

Упражнения

V

1. Найти расстояние точки М(6; —8) от начала координат,

4),

2.

Найти

расстояние

между

точками:

1)

<4(14;

12)

и

0(8;

2)

М(—2; 4)

и

N

(2;

1), 3)

С(0;

4) и 0(3; 0).

'

3. Найти аналитически и графически длину отрезка, соединяю­

щего точки Л(— 10; — 10) и 0(2; — 1).

4. Точка

А(

— 1; —3),

двигаясь

прямолинейно,

переместилась в

точку

ß(4;

2). Как

велик

пройденный

путь

и под каким углом

к

положительному

направлению

оси

Ох

наклонена

траектория

14

длины

МЕТОД КООРДИНАТ

вершинами

|ГЛ, 1

В(—5. Найти

сторон

треугольника с

А (3;

2),

I;

— I) и С (11;

6).

с

вершинами Л (—5;

2),

0(3;

6)

6.

Показать, что

треугольник

и С (4; —6) равнобедренный.

с

вершинами

Л(1;

2),

0(3;

4)

*7. Показать,Охчто

треугольник

и

С(

— 1; 4) прямоугольный.

В

S. На оси

найти

точку Л,

удаленную

от

точки

(4; 6)

на

10 единиц. Пояснить

графически,

почему

получаются

два

решения.

9. Проверить аналитически и графически, лежат ли на одной

прямой три данные точки:

5),

В

1)

и С (— 1;

7);

1)

Л (0;

N(2;

10. Даны

2)

М(

0;

2),

(—

1;

5) и

Р(

3;

4).

0(0;

0)

две вершины

равностороннего

треугольника

и Л (21^3 ; 0). Найти третью вершину этого треугольника.

11.

Найти

точку,

равноудаленную от

точек

0(0; 0), Л(—4; 0)

13.

На оси

Оу

найти точку,

равноудаленную

от точек Л (10;

8)

и 5 (—6;

4).

Ох

14. Найти точку, удаленную на

10

единиц

от

оси

и

от

точки Л(—5; 2).

15. Найти точку, находящуюся на равных расстояниях от осей

координат и ot

точки Л (1;

2).

в данномABотношении. Пусть

§ 4.

ДелениеМ(х\ у),

отрезка

даны точки

А{ Хі\

и

В(х

2;

у2)

(рис.

6). Требуется

най­

г/()

ти точку

делящую отрезок

в отношении:

AM

МВ — in', п *).

ААі,

Опустим

из

точек

А, М

и

В

перпендикуляры

ММ

I

и

В В

!

на

ось

Ох

и проведем

прямые

АС\\Ох

и

MD\\Ox.

Из подобия треугольников Л М С и

MBD

найдем:

АС

C M

AM

т

/п

Но

~MD

МВ

~

п '

АС =

А {М { =

ОМу

— 0/1, =

X

—

х „

MD — М\В^ =

О В { — О М {

=

х2

X,

СМ = М{М

М,С =

М,М

А,

—

у — Уі,

—

—

А =

■

DB —

у2 — у.

ß ,ß —

М,М =

т п

*)

Точка

Мß,ß — ß ,D =

AB,

если

отношение

М находится внутри

отрезка

:

имеет положительное

значение.

В

случае,

если

т

:

п

отрица­

тельно,

точка

И.

расположена

на продолжении

отрезка

Л5

(см.

П р и в а л о в

И., Аналитическая

геометрия, Физматгиз,

1962,

гл.

I, § 6).

Подставив (2) в

(1),

получим:

_

т

( )

х —х, _

!/ — !/,

из

3

Х г —

X

У 2 — У

IL

(3)

Для краткости положим -^- = А.

Тогда

равенств

получим два уравнения:

= 1 ,

(4)

X —

Х[

Х% —

X

Уг —У

(5)

Решив уравнения

х

и

у,

получим:

(4) и (5) относительноУ :

Х\

+

кх2

_____

У\

-Ь

'Хуг

*)

( 6)

I 4- Я

1 +Х

М(х\у),

В

Формулы (6) служат для определения координат точ­

ки

делящей

отрезок между

точками Л (х1;г/і) и

(х2\yz)

в отношении

т :п

=

X.

Если

в формулах

(6) заменить Я отношением“

, то

получим:

X —

пх

тх2

У

_ пу1 + ту2

(8)

пI +

т

п + т

+

П р и м е р . Даны точки

А(

7; 4)

и ß (1 0 ;—2). Точка

М

делит

отрезок

AB

в отношении

A M : МВ =

0,2.

Найти

точку

М.

По условию

х\ —

—

4,

х2 —

10,

у2 —

Р е ш е н и е .

эти данные

(6),

= —2,

Я = 0,2.

Подставив

в формулы

получим:

X —

7 +

0,2-10

—

9

1+0,2

1,2 — /

У =

4 +

0,2 ( -2 )

—

3,6

1+0,2

1,2 —

Итак, искомая точка будет

М (

7,5; 3).

Для

AB

по­

Решим тотА

же В

пример

графически.

этого

строимА,точки

и

(рис. 7) и разделим отрезок

на

шесть

равных

частей.

Отложим

одну

такую

часть

от

точки

получим точку

М,

которая и разделит

AB

в от­

§ 4]

ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ

17

ношении

1:5 =

0,2.

Измерив

отрезки

ОР

и

РМ,

найдем

координаты точки

М

:

7,5;

РМ — у = 3.

ОР = х —

Упражнения

1. Определить координаты середины отрезка, соединяющего две

точки

А

и б:

1) /1(3;

5)

и

В

(7; 9),

2)

/1(0;

— 12)

и

5(8;

0).

А (

2. Даны

координаты

четырех

вершин

параллелограмма:

— 1; — 1); 5(1;

1),

С (2; — 1) и 5(0;

—3). Найти длины диагона­

лей

АС

и 5 5 ,

а также точку их пересечения.

АВС:

3. Даны координаты трех вершин треугольника

Л (3; 7),

5(5;

2)

и С (— 1; 3). Найти длину медианы,

проведенной

из 5.

4.

Найти

конец

5

отрезка

AB,

если

дано

начало его

Л (7; —4)

и середина С (—1; 3).

однородного

стержня

находится

в

точке

5. Центр

тяжести

A4 (5;

1);

один

из его концов совпадает с точкой Л(— 1; —3). Найти

положение другого конца.

зная

середины

его

сторон:

6.

Найти

вершины

треугольника,

5(3;

—2),

Q(l; 6)

и

R(

—4;

2).

М

Л (4; 2)

и

‘ 7. Даны

две

смежные

вершины

параллелограмма

5(5; 7) и точка пересечения диагоналей

(0,5; 3).

Найти

осталь­

ные его вершины.

Л (6;

4)

и

5(1;

9),

лежит

8.

На

отрезке, соединяющем точки

точка

М,

делящая

данный

отрезок так,

что ЛЛ4 :

МВ

=

2 :3 . Найти

точку

М.

Дать аналитическое и графическое решения.

М(

9.

Найти

точки,

делящие

отрезок

между

точками

—3; —7)

и /Ѵ(10; 2) на три равные части.

в отношении Л С : С 5 =

2.

10. Точка

С (—2; 1) делит отрезок Лб

Найти

координаты точки 5,

если Л (10;

5).

до

точки

б (—4; 5).

11. Проведен отрезок от точки

Л (I; — 1)

До какой точки нужно продолжить его в том же направлении, что­

бы длина его утроилась?

5),

5(4;

1)

и

ВС.

10).

12. Даны

вершины

треугольника: Л (1;

С(13;

Найти

точку

пересечения биссектрисы

угла

Л со

стороной

'13. В

точке Л (2; 5)

сосредоточена масса

2

кг,

в точке 5(12; 0) —

масса 3

кг.

Найти центр этих масс.

и

С(2;

4)

помещены

грузы

со­

'14. В

точках Л (7;

1,5),. 5(6; 7)

ответственно 60 а,

100 г и 40 г. Найти центр тяжести этой системы.

15.

Найти

координаты

точки пересечения

медиан

треугольника

АВС,

зная координаты его вершин: Л(1; 4), 5 ( —5; 0) и С (—2; —1).

'16. Даны вершины треугольной однородной пластинки: Л (4;—2),

5(1; 5) и С (—2;

0).

Найти

центр

тяжести

этой

пластинки.

17. Найти

центр

тяжести

треугольной

однородной

пластинки,

вершины

которой

лежат

в

А( х

р,

у\).

б(.ѵ2;

*/2)

и

С(х3;

уг).

точках Ох

18. Центр тяжести треугольника, совпадает с началом коорди­

нат, одна из вершин лежит на оси

на расстоянии 5 ед. от начала

координат, вторая вершина расположена на оси

Оу

на расстоянии

10 ед. от начала. Найти координаты третьей вершины.

5) и 5(5; 3) и

19.

-Даны две

вершины треугольника

ЛВС: Л(0;

точка

пересечения

его

медиан

А4(1;

3). Найти

третью

вершину.

ЛИНИИ

Г Л А В А II

И ИХ УРАВНЕНИЯ