книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник
.pdf200 ФОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я [ГЛ. VIII
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
{ets 2 |
*)/ = |
|
еъ 2Х |
(tg |
2 X)' |
= |
е'г 2* - g * |
|
|
|
2etg 2jt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
|
' |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
— I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
производные функции: |
|
|
|
|
|
|
ex |
4. у ■■ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
^ |
|
1. |
у — хех |
— |
ех. |
|
2. |
S = |
e* |
|
t. |
3. |
|
f (x) ■■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
а ' хУ7. ’f In |
|
|
|
|
V 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
9. Ѳ er + I • |
||||||||||||||||||||||
5. |
|
P = |
|
e2hs£ . f (x) |
|
|
|
|
|
(x) = |
asin |
у = |
|
xe2x. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
f{p) = |
|
a p . |
'Д і . |
|
у = |
|
x2e~2x. |
|
|
12. |
f(x) = |
xnnx . |
|
|
13.у |
S = |
|
ln<?'. |
|||||||||||||||||||||||||
|
S = |
elni. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
H O |
= |
|
sine'. |
|
\>6 |
/ (/) = |
e2 sl" '. 1/І7. |
|
|
= |
cos |
e~l. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
J |
|
|
V< |
|
x. |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
1 |
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
|
co |
|
/e®. |
||||||||||
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
18. |
|
у |
= |
|
ex |
ln |
19. |
(со) = |
I n---------- . |
|
20. Ѳ = sin V . |
|
21. |
|
г |
= |
cos |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ em |
|
|
|
|
|
|
24. |
|
|
|
|
|
|
X |
|
se ^ x . |
|||||||||
|
|
|
|
|
cose*. |
|
|
|
|
|
23. |
/ (/) = |
In ecos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
—ter /> |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
|
|
|
Jn*x |
|
|
|
|
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos— . |
||||||||||||||
V |
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
R -- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hx) = |
|
e a |
|
|||||||||||||||||||||
25. |
|
= |
|
tg e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||
28. |
|
у |
= |
|
ecos |
x |
sin |
x. |
|
29 |
f {x)= ± ( e a - e |
|
fl). |
|
|
|
' |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. |
0 = |
|
е2ф cos 2q>. |
||||||||||||||||||||
31. |
|
/ (*) = |
|
eax (sin ax—cos ax). |
32. у -■ |
|
|
|
|
|
-. |
|
33. y = ln |
|
|
|
ex |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ex + |
e~ |
|
|
V \+e2x' |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
35. Написать |
|
уравнение |
касательной, |
проведенной |
|
к |
|
кривой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
у = |
|
е |
2 |
|
л |
в точке ее |
пересечения |
с |
осью |
|
Оу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
35. Зависимость |
|
между |
количеством |
|
|
вещества, получаемого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в некоторой |
|
химической |
|
реакции, |
и |
|
временем |
|
выражается |
|
|
урав |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
нением х = |
|
-4(1 — |
е~ЛІ). |
|
Определить скорость реакции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
§ 82. Производные обратных тригонометрических |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin«, |
|
где u — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(I) |
||||||||||||||||||
|
|
|
I. |
|
Дано |
|
|
у |
= |
|
|
f ( x ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Из определения арксинуса следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
sinу |
у — сложная |
|
|
|
|
|
siny = |
|
u, |
|
|
согласнох |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|||||||||||||||||||||||
функция, |
так |
|
как |
|
|
равенствам |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
1 |
) |
у |
|
зависит |
|
о |
т |
|
и , |
|
а |
и |
|
зависит |
|
от |
х , |
|
следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||
|
— функция |
|
X. |
|
Дифференцируем |
|
по |
|
|
обе |
|
|
части |
|
ра |
||||||||||||||||||||||||||||||
венства |
|
( |
|
): |
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin уУх = |
|
и'х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 321 О БРАТН Ы Е Т Р И ГО Н О М ЕТ Р И Ч ЕС К И Е Ф УН КЦ И И 201
По формуле |
(X) находим ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
у |
У'х = и ' х, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
известно, |
|
|
|
|
Ух |
|
cos у |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Но, |
|
как |
|
|
у = |
У 1 |
|
2 у |
*). |
(3) |
||||||||||||
Приняв |
во |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
— sin |
|
|
получим |
|||||||||
внимание |
равенства |
(3) и (2), |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U г |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
их |
|
|
||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
Ух |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
п |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — sin2 |
|
V I |
|
|
|
|
|
(XVIII) |
||||
При |
и |
= |
к |
|
(arcsin и)' |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
равенство |
х (XVIII) |
|
примет вид- |
||||||||||||||||
|
II. Дано |
|
|
(arcsin |
) ' : |
|
Ѵ \ - |
X2 ’ |
(ХѴ ІІГ) |
|||||||||||||
|
|
у — arccos и, |
|
где |
|
u = f{x ) . |
|
|||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
arccos« = |
— — arcsin и, |
|
|||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
(arccos |
и)' |
= 0 — (arcsin |
и)', |
(XIX) |
|||||||||||
или |
|
и = |
х |
|
|
(arccos MV — |
Ѵ \ - и2 ' |
|||||||||||||||
При |
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tL |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
х)' — |
|
|
|
|
|
|
(XIX*) |
|||||||||
|
III. Дано |
|
(arccos |
|
|
|
|
V 1 - х 2 ' |
||||||||||||||
Из |
|
y = |
avdigu, |
|
где |
u — f{x ) . |
|
|||||||||||||||
|
определения арктангенса |
следует |
|
(4) |
||||||||||||||||||
|
*) Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
t g y |
= |
u. |
|
|
так как |
значения arcsin и |
||||||
|
радикал берется с |
плюсом, |
||||||||||||||||||||
заключены между — |
я |
|
и |
|
, |
я |
|
|
а в указанном промежутке cos# |
|||||||||||||
|
|
+ |
— , |
|
|
|||||||||||||||||
имеет положительные значения.
202 |
Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я |
[ГЛ. VIII |
Дифференцируем по х равенство (4), применяя фор мулу (XII):
|
|
|
У х |
= |
и' |
отсюда |
|
|
cos2 у |
|
х> |
|
|
У'х — cos2 у |
■ и'х. |
||
Но |
COS |
ѵ |
— ----2 у |
= |
-ГГіI + tff29 Уг |
поэтому |
2 |
У |
1-- |
1 |
|
|
|
sec5 |
|
|
|
,и'х
или, |
согласно |
Ух |
|
|
t + tg2 у ’ |
|
|||||
равенству |
(4), |
и'х |
|
|
|||||||
Следовательно у |
У х |
|
= |
1+ «2 • |
|
||||||
|
|
и)' |
|
1+в, . |
|||||||
При |
и — X |
(arctg |
|
х)' |
|
|
|
• |
|||
|
имеем |
|
|
|
|
|
|||||
IV . Дано |
(arctg |
|
где u — f{x ) . |
||||||||
у = arcctg и, |
|||||||||||
Так |
как |
|
arcctg ы = |
у |
— arctg и, |
||||||
то |
|
|
(arcctg и)' — 0 — (arctg и)', |
||||||||
или |
|
|
( a r c c tg « ) ;- |
|
1 |
+ |
ц2. |
||||
При |
и — х |
|
|
|
|||||||
|
|
(arcctg |
х)' — |
|
i + x f |
||||||
П р и м е р . Продифференцировать функцию |
|||||||||||
|
|
|
у |
— arcsin |
У 2 х . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(XX)
(XX*)
(XXI)
(ХХГ)
§ 83] |
ПРО И ЗВ О Д Н АЯ Н ЕЯ В Н О Й Ф УН КЦ И И |
203 |
|
|
Р е ш е н и е . По формуле (XVIII) |
находим |
|
У ' = - V (/ 2 7 )' |
7 )2 |
' |
1- (/ 7 |
|
|
Но по формулам (VIII) и (V) |
|
|
Следовательно, |
2 /2 7 |
|
2/2JC |
|
V2x‘ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
__ |
|
|
|
|
||||||
, _ |
|
Y (/27)'_____________1________ (2*У |
|
|
|
|
|
|||||||||
* |
|
|
1_(/27)2 |
YY^Yx |
' 2/27 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
у 1—2хI |
’ |
_2 |
____________1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
2 /27 |
|
|
/2л: —47» ' |
|
|
Найти |
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
производные функций: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
*1. |
у = |
arcsin 2л;. |
* |
2. |
у |
= |
arccos |
|
|
° |
3. |
y = arctg3A:. |
|||
4. |
f (0 = arctgt |
Y t. |
5. |
f(x) = |
arcsin / x . |
6. |
u = arcctg /7 7 |
|||||||||
|
||||||||||||||||
7. |
5 = |
arcsin 2. |
8. <p = |
(arcsin л;)2. |
|
9. |
} (x) |
= |
(arccos Зл;)2. |
|||||||
10. |
|
= |
arctg e4*. |
|
|
|
|
1 |
|
|
12. г/ = arccos — . |
|||||
Ѳ |
11. |
S = |
arcsin I ’ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
X |
|
13. |
у |
= arccos |
Y |
b |
|
|
у |
|||||
’ |
18. |
|
— |
lnearcsin *. |
»17. |
|
• |
19. s=lncosearccos *. ‘20. |
|||||
у114. |
у |
arctR 2x |
у15. |
(/ = arcsin /<?*. |
||
|
= e1 |
лг)1 . 18. |
||||
= |
arccos (1 —2 |
= |
arcsin/ і — л:2. |
|||
p = ln |
|
a |
r c t g |
. / (л:)=л-arcsin л г+ /і —х2. |
||
Найти |
|
|
22. f {t) = а arcsin -~ + |
/ а 2— t2. 23. / (t)=t arctg —---- |
|||||||||||||||||
— у |
у —ln(a2+ t 2). |
24.у — у |
1ny~f |
~ +"^r arctg x. 25.^f e r c lg ^ / ^Еf -+ікЛl ' |
|||||||||||||||||
28. |
|
arcsin |
|
|
— . 27. |
|
(x)=arcsin ------ —. 28. |
(x)=arctg |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
V l + x |
2 |
|
у |
|
|
x 3 |
a2 + x 2 |
-jr |
|
-jr |
|
1—ал; |
|||||
29. |
Ѳ = arctg |
--fo |
|
|
|
= |
|
arctg |
x |
— |
л:2 + |
|
|||||||||
(p |
g . »30. |
|
j |
|
|
D |
|
ln (л:2 + 1)- |
|||||||||||||
|
§ 83. |
|
i “ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
функ |
||||
|
Производная |
неявной функции. |
Пусть неявная |
||||||||||||||||||
ция |
у |
задана |
уравнением х у - х — 1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Найдем |
производную / , |
|
полагая, что она существует. Для этого |
||||||||||||||||||
дифференцируем обе части уравнения (1), |
применяя |
правило для |
|||||||||||||||||||
производной |
алгебраической суммы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
204 |
ФОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я |
[ГЛ. VIII |
Получим: |
(ху)'- (*)'-(1)' = о. |
( 2) |
Так как х у — произведение переменных величин, то
(хуУ = х(уУ + у(хУ.
Таким образом, равенство (2) примет вид
х(у)' + у ( х ) ' - (*)'-(1)' = 0
или
ху' + у — \= 0 .
Решая последнее уравнение относительно у', найдем:
(3)
Для дифференцирования данной функции можно было бы сначала выразить у через .ѵ, а потом уже найти производную от явной функции. В самом деле, из уравнения (1) имеем:
х + \
откуда
_ 1_
X2 '
По внешнему виду этот результат отличается от найденного ранее, но если мы в равенство (3) подставим значение у, то получим:
-(■ + 4 )
Таким образом, результаты дифференцирования в обоих слу чаях оказались одинаковыми. Однако переход от неявной к явной функции можно делать только в простейших случаях. Встречаются
неявные функции, |
которые |
обратить |
в явные очень трудно и даже |
||||||||||||||||||
невозможно. |
Например, функцию |
у |
, |
заданную |
уравнением |
ху |
+ |
||||||||||||||
+ |
X — |
sin |
у, |
явно |
выразить нельзя. Поэтому приходится дифферен |
||||||||||||||||
цировать такие функции как неявные. |
|
требуется |
найти производную |
||||||||||||||||||
|
|
Разберем другой |
пример. Пусть |
|
|||||||||||||||||
неявной функции |
у, |
заданной уравнением |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Применяя |
|
правило |
|
|
у2 |
— |
8х = |
|
0. |
|
алгебраической |
суммы, |
|||||||||
|
|
дифференцирования |
|||||||||||||||||||
имеем: |
|
|
|
|
|
(у2)' |
|
— (8х)' = 0. |
|
|
|
|
(4) |
||||||||
|
|
у2 |
|
|
|
|
|
у |
|
у, а у |
|
|
|||||||||
Но |
|
— сложная |
функция |
( |
2 |
зависит |
от |
зависит |
от |
х). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
По правилу дифференцирования степенной функции [(VII), § 74] имеем
(У2У = 2уу\
§ 84] |
П РО И ЗВ О Д Н АЯ ВТО РО ГО П О РЯД КА |
205 |
|
Следовательно, равенство (4) примет вид |
|
||
или |
yif — (8х)' — |
|
|
2 Чуу" — 8 = |
0,О, |
|
|
откуда |
У ~ 2у = |
4_ |
|
|
у * |
|
|
Заметим, что прием дифференцирования неявных функций мы уже использовали при нахождении производных показательной функ ции и обратных тригонометрических функций (см. §§ 81, 82).
Упражнения
|
Найти производные функций:х2 + у2 = |
г2. |
|
|
||||||||||
|
|
2 y - 3 x 2 |
+ 3 |
== 0. |
2. |
у2 — Ах — |
0. |
|||||||
4. |
х1.- У |
+ Уг = |
|
|
|
|
|
|||||||
а2 |
|
Ь2 |
|
|
= 0. |
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
+ |
у 2 |
= |
1. |
|
00 |
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
|
+ |
ху2 |
= |
4. |
|
11. |
(1 — |
у)2 |
= |
ах. |
|||
|
х2у . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. 2у2- б х + 1 = 0
6.2х2+ ; 3у2— Аау = 0-
9.X2- - 2ху — 6= 0.
12.sin у — 1 — X.
13. |
ху = |
sin у. |
|
14. х2 = е>. |
|
15. |
|
ху = |
ех+ѵ. 16. |
arcsin у == X2• |
||||||||||||||
|
§ 84. X,Производная |
второго |
порядка. Пусть |
|
функция |
|||||||||||||||||||
y — f(x) |
имеет производную |
y' = |
|
f'(x). |
Производная от |
|||||||||||||||||||
изводной |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
f'(x) |
по |
если она |
существует, |
называется |
|
второй про |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
или |
производной второго порядка. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Вторую производную функции |
y = |
f(x) |
|
принято обо |
|||||||||||||||||||
значать так: |
|
|
|
|
У", |
у", |
|
f"{x). |
|
|
|
|
|
|
функции |
|||||||||
У ~ |
ПXр2 |
и’ м е р . |
|
|
Найти |
вторую |
производную |
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е , |
|
у' |
= |
|
|
|
|
х~2)' |
= — |
2х~3, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
( _ |
|
) = ( |
|
- |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
у" = |
|
2 |
х - 8)'У п=р а ж-н е н и (я |
3*-«) = |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Найти |
вторые производные функций: |
|
|
|
|
|
|
Q = |
2V~u. |
||||||||||||||
|
f1. |
у = |
4 * + 1 . |
2. |
у = |
х3. |
|
3. д= |
3/г + |
2 < - 1 . |
|
|
4. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
( i ) = |
2< 7~ 1■ . |
|
|
6. |
|
= |
(х2 |
— 1)^. |
|
7. |
Па) |
= |
j |
cos 2а. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8. |
/ (t) = |
esln *, |
|
|
9. |
s = |
2 |
l n - ^ |
j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
206 |
Ф ОРМ УЛЫ |
Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я |
[ГЛ. VIIГ |
|||||
§ 85. Механический смысл второй |
|
производной. |
||||||
Пусть те'ло движется прямолинейно |
по закону |
|
||||||
|
|
|
|
s — f (О- |
ѵ |
|
|
|
В § 63 мы установили, |
что скорость |
движения |
тела |
|||||
в данный момент |
t |
определяется как |
производная |
пути |
||||
|
||||||||
по времени, т. е.
V— s'.
Если тело движется неравномерно, то скорость ѵ с те чением времени изменяется и за промежуток времени At получает приращение Аѵ . В этомчслучае величина отно-
Д о
шения — , показывающая изменение скорости в еди
ницу времени, |
называется |
средним ускорением |
в проме |
|||||||
жутке времениД о |
t |
|
t |
+ |
At. |
t At |
|
t, |
|
|
отAtдо |
|
|
—► |
а среднее уско- |
||||||
Положим, что |
-* |
0, тогда |
|
|
||||||
рение -др- стремится к величине, которая называется
ускорением в данный момент времени t. |
Обозначим это |
|||
ускорение через1 /: A t~> 0 |
|
|
||
A t |
ѵ ' = (s')' s". |
|||
} = |
lim |
4 |
= |
|
|
- т- = |
|
||
Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.
|
|
П р и м е р . |
Точка движется прямолинейно |
по закону |
||||||||
s = |
2tz |
— |
+ |
5. Найти скорость и ускорение точки в мо |
||||||||
мент |
і — |
5. |
|
|
|
|
|
t = |
|
|||
|
|
Р е ш е н и е , |
|
Для определения скорости нужно найти |
||||||||
первую производную данной |
функции |
при |
|
5. Таким |
||||||||
образом: |
V= |
s' = (212 — 3t + 5)' = |
4t — 3 |
|
||||||||
и |
|
Ускорение j |
Vi=5 = 4 - 5 — 3 = 17. |
|
|
|||||||
t |
= |
равно |
второй |
производной функции при |
||||||||
|
5, т. е. |
/ = s" = |
(s')' = |
{4t - 3)' = 4. |
|
|
||||||
Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения t, значит, движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением.
§ 85] |
М Е Х А Н И Ч ЕС К И Й СМ Ы СЛ ВТО РО Й П РО И ЗВ О Д Н О Й |
207 |
|
Упражнения
Определить ускорение точки в указанные моменты времени 1, если скорость точки, движущейся прямолинейно, задается нижесле дующими уравнениями.
I. |
о = |
<2 + 2/, |
1 = 3. |
2. |
о = |
3 1 - 1 3, |
1 = 2. |
3. о = |
4 s in - j, |
l= - 2 - , |
O = 2 cos31. 1 = |
^г. |
|||
Найти |
в указанные моменты |
времени |
1 |
скорость |
и ускорение |
||
точки, движущейся прямолинейно по закону, заданному следую
щими уравнениями: |
|
t |
|
|
|
|
2t — t2, |
|
||||
7. |
б. |
s = I3 + |
2t2, |
1 = |
-^-. |
= 2. |
6. |
s = |
1 = 1. |
|||
s = |
2sinl, |
|
|
|
s = 3 c o s -^ -, |
/ = 1 . |
||||||
|
9. |
Путь, пройденный клетью подъемной машины, |
определяется |
|||||||||
из |
уравнения /і = |
4 + |
5t. |
Найти |
скорость |
и |
ускорение в любой |
|||||
момент времени. |
|
|
t, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
10. Определить |
момент |
когда |
ускорение |
прямолинейного дви |
|||||||
жения, совершаемого по закону s = |
— — I3 + |
3t2 |
— 5, |
равно нулю. |
||||||||
Какова при этом скорость? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
II. Тело движется |
по прямой линии по закону |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
s = |
- | l 3 - 2 1 2 + 31. |
|
|
|
|
||
Определить скорость и ускорение движения тела в функции времени t. В какие моменты времени тело меняет направление дви жения?
12. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за
ісекунд поворачивается на угол
Ф= а + Ы — ct2,
где о, b и с — постоянные положительные величины. Определить: 1) угловую скорость и ускорение вращения,
2)момент остановки колеса.
13.Высота s (в метрах), которой достигает за t секунд тело, брошенное вертикально вверх со скоростью ѵ0 м/сек, определяется уравнением
Найти |
скорость |
и |
|
s== v0t — 4,912. |
моменты 1 = |
3 |
сек |
и |
||||
ускорение движения в |
|
|||||||||||
1 = 1 0 |
сек, |
если |
ѵ0 = 200 |
м/сек. |
(Сопротивление воздуха |
не учи |
||||||
тывается.) |
|
м/сек. |
|
|
м |
|
|
|
|
|
||
14. |
|
Тело |
с |
высоты |
10 |
брошено |
вертикально вверх |
с началь |
||||
ной скоростью 40 |
|
|
Определить: |
|
|
|
|
|||||
1)на какой высоте от поверхности земли оно будет через 1 се
кунду,
2)скорость и ускорение движения в момент 1 = 1 сек,
208 |
3) |
|
|
|
|
|
Ф ОРМ УЛЫ |
|
Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я |
|
|
[ГЛ, |
VIН |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
через |
сколько |
секунд |
тело |
достигнет |
|
наивысшей |
точки и |
||||||||||||||
на каком расстоянии от поверхности земли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
15. |
|
|
Тело движется |
прямолинейно по закону |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s = |
|
ае‘ |
+ |
Ье~1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
а |
|
|
в 6 — постоянные |
|
|
|
|
Показать, |
что |
ускорение s его |
||||||||||||||||
|
|
|
величины. |
|
||||||||||||||||||||||||
движения всегда равно пройденному пути. |
|
|
по закону |
= |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1C. Тело |
совершает прямолинейное |
движение |
|
|||||||||||||||||||||||
= |
a e ht. |
|
Определить скорость и ускорение движения в момент 1=0. |
|||||||||||||||||||||||||
|
17. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пуля, попадая |
в |
твердое |
тело, |
движется |
в |
нем по |
закону |
|||||||||||||||||
где |
|
Do — скорость, |
|
|
s = |
-гк- ln (I |
+ |
|
ka0t), |
тело, |
k |
— постоянная |
||||||||||||||||
|
с которой пуля |
входит в |
|
|||||||||||||||||||||||||
положительная величина. Найти ускорение движения пули. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
18. |
|
|
|
|
Найр; |
силу |
F, |
|
действующую на |
материальную |
точку |
мас |
||||||||||||||
сы |
|
т, |
|
которая движется |
прямолинейно по закону, заданному одним |
|||||||||||||||||||||||
из следующих уравнений: |
|
2/3 — /2 |
при |
1 = |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) s = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
s = |
sin 2/ |
|
|
> |
1 |
8* |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
s == |
e2t |
|
|
|
/ »==■ 0. |
материальную |
точку |
||||||||||
|
|
З а м е ч аFн и еmj.. Сила, |
действующая |
на |
|
|||||||||||||||||||||||
»гаіты m, равна произведению массы точки на ускорение ее дви |
||||||||||||||||||||||||||||
жения, |
|
т.,е. |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
19. |
|
|
т |
Определить силу, под действием которой материальная точ |
||||||||||||||||||||||
ка массы |
совершает колебательное движение по закону |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
20. |
|
|
Точка массы |
|
s = |
|
А |
sin (ш/ + <й0)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
движете* по закону |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
где |
|
а, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s*=at2 + |
Ы |
+ с, |
|
что |
сила, действую |
|||||||||||
|
|
|
ft и с — постоянные ..величины. Доказать, |
|||||||||||||||||||||||||
щая на точку, постоянна. |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
21. |
|
|
|
|
Точка |
массы |
совершает |
колебательное движение |
около |
|||||||||||||||||
положения равновесия |
О поX |
закону |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
где |
|
— расстояние точки |
от |
= |
a |
sin 2яѵі, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
О; |
а |
и |
ѵ — постоянные величины. По |
||||||||||||||||||||||||
казать, |
|
что |
действующая |
сила |
пропорциональна |
расстоянию |
точ |
|||||||||||||||||||||
ки от О. |
Точка движется так, что ее скорость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где а и ft — постоянные величины. Найти ускорение движения как функцию скорости.
23. |
Точка движется прямолинейно по закону s = Y t - Пока |
зать, что |
|
1)движение замедленное,
2)ускорение движения пропорционально кубу скорости.
§ 85] |
М ЕХ А Н И Ч ЕС К И Й СМ Ы СЛ ВТОРОЙ П РО И ЗВО ДН О Й |
209 |
|
Т а б л и ц а ф о р м у л д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я
[
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
V
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
ПриусловииЦ, Dиад—функцииX
(и + о |
— |
ш)' = и' + ѵ' |
— |
W |
||||
|
|
|
= |
uv |
+ |
|
||
|
(uv') |
|
ou' |
|
||||
|
(сиУ — cu' |
|
|
|
||||
SJ и у |
|
ѵи — иѵ |
|
|||||
|
\ о ) |
|
9 |
V1 |
|
|
||
|
(итУх = тит- ‘и'х |
|
||||||
|
|
|
|
,-Л у и |
|
|
||
|
(-)' - - ^ |
|
|
|||||
|
\и 1X |
|
|
и2 |
|
|
||
fsin и)х = cos и -и'х ~ |
||||||||
(cos и)'х =» —sin и •и'х |
||||||||
(tg |
|
/ |
|
г |
|
|
||
и) |
ак |
|
|
|||||
* |
— |
-- j— |
|
|||||
|
|
|
|
cos2и |
|
|
||
(ctg ц)' = --- ---- |
|
|||||||
|
Б |
|
г |
|
|
и'х |
|
|
|
|
X |
■ |
. |
sin2 и |
|
||
|
|
, |
иг |
|
|
|
||
(In «)і |
for'. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
(lg«)'=л, |
их |
|
|
|
||||
-и£ .0,4343 |
||||||||
|
(а“Ух= а“Inа-и'х |
|||||||
|
■ (А—“*«7 |
|
|
|||||
(arcsin |
|
, |
|
|
их |
|
|
|
u)x- |
V i _ ut |
|
||||||
ПриусловииU —X
(СГ= о
(*)'= 1
ъ
(хтУ = тхт- '
<-Ѵ7У 1Y 7
(т)
(sinхУ = COS X (cos хУ = — sin X
(tg х')—--Y V |
|
ь |
cos2* |
- |
Sin2X |
(Іпй'- J: |
|
(l««r |
° f 3 |
(a^'— ax Ina (e*Y= e*
fapCRinrV = —-—1---
/ 1 ~ # 2
'A*