Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4214 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

130-	ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В	[ГЛ. V
поэтому равенство (13) можно переписать так:

	площадь сектора равна половине	произведения
т. е.		(14)
длины дуги на радиус.
С у м м а ч л е н о в б е с к о н е ч н о ' у б ы в а ю щ е й
г е о м е т р и ч е с к о й п р о г р е с с и и . Из		алгебры изве

стно, что сумма членов убывающей геометрической про

грессии	Sn	а	1	aqn	1
			—	—q	где U K .
				—q	где U K .

В правой части этого равенства разделим почленно чис литель на знаменатель, получим:

а	aqn	(15)
I —Я ~	1—я	(15)

Пусть число членов этой убывающей прогрессии неогра ниченно возрастает. Перейдем к пределу в равенстве (15) при п — *оо и применим теорему III § 45:

lim sn — lim -------lim — . (16)

Мы знаем, что предел постоянной есть сама постоянная,

т. е.

lim

. Согласно

следствию 1

теоремы

IV § 45 имеем:

aq"

—

lim

qn.

qn =

Л->оо

Q. lim

q n - ¥ oo

lim

Поэтому

равенство (16) можно

пере-

П->оо

образом:

писать следующим

lim

— <7-

• 0

Этот

предел

и называют

суммой s бесконечно

убываю

Итак,

щей геометрической прогрессии.

(17)

О б р а щ е н и е д е с я т и ч н о й п е р и о д и ч е с к о й

д р о б и

в о б ы к н о в е н н у ю .

Применим формулу

(17)

§ 46] П Р И Л О Ж Е Н И Е Т ЕО Р И И П Р Е Д Е Л О В К ВЫ Ч И С Л ЕН И Ю 131

к обращению десятичной периодической дроби в обык новенную.

	П р и м е р		1.	Обратить		периодическую				дробь
0,444		. . . = 0, (4) *)		в обыкновенную.
	Р е ш е н и е .		Представим данную дробь в следующем
виде:		0,444	. . .	= 0,4 +	0,04 + 0,004 + . . .
Мы		получили	бесконечно		убывающую				геометрическую
прогрессию, у которой первый член							а	=	0,4, знаменатель
9	= 0,1. Сумма		ее членов по формуле (17) будет:
				0.4	0,4		4
	П р и м е р		2.	1 — 0,1	0,9		Э ’			дробь
				Обратить		периодическую
0,3535 . . . = 0,(35) **) в обыкновенную.
	Р е ш е н и е .		Перепишем ее в следующем виде:
		0,353535 . . . =		0,35 4- 0,0035 +			0,000035 + . . .

Опять имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, у которой а — 0,35, q = 0,01, а сумма ее по формуле (17) равна

0,35	0,35	~	35	■
1 -0 ,0 1	0,99	~	99	■

Итак, чистая периодическая дробь равна обыкновен ной дроби, у которой числитель есть число, равное пери оду, а знаменатель — число, изображенное цифрой 9. по

вторенной столько раз, сколько цифр в периоде.			дробь
П р и м е р 3.	Обратить	периодическую
0,5666 . . . = 0,5(6)***) в обыкновенную.
Представим эту дробь в следующем виде:
0,5666 . . . =	0,5 + 0,06 +	0,006 + 0,0006 + . . .
*) Повторяющееся число 4 называется периодом, оно часто
пишется а скобках.	Заметим, что	данная дробь называется ч и-

с т о й периодической, так как период начинается сразу после запятой.

**) Здесь повторяющееся число 35 тоже			период,	а дробь —
чистая периодическая.		смешанной
***) Данная дробь	называется	смешанной	периодической, так
как между запятой и	периодом имеется число, не			относящееся
к периоду.5*

132

ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В

[ГЛ. V

Члены в правой части этого равенства, начиная со вто рого составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, у которой

Применяя формулу			а = 0,06,	<7 = 0 , 1 .
			(17), имеем:		6
			0,06	0,06
			1 — 0,1 —	0,9 —	90 ■
Вся же сумма в правой части равна						51 _ 5 6 - 5
п с	, 6	5 . 6		5 - 9 + 6	—
и ’ °	•" 90	10	90	90		90	90 ’
П р II м ер 4.		Обратить		смешанную			периодическую
дробь 0,3252525		. . . = 0,3(25) в обыкновенную.
Р е ш е н и е . Представим				данную дробь в следующем
виде:		0,3 + 0,025 + 0,00025 +				0,0000025 + . . .
0,3252525 .... =

В правой части этого равенства, начиная со второго члена, мы имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, у которой

По формуле	(17)	<2 =	0,025,	<7 =	0,01.
По формуле	(17)	имеем:		0,025	25
		0,025		0,025	25
		I -0 ,0 1 ~		0,99 ~	990 ’
Вся же периодическая дробь равна						322	325 -	3
n n I 25	3	~Т~.	25	3-99 +	25	322	325 -	3
U,d “г" 990 — 10			990 ~	990	—	990	990	'

Таким образом, смешанная периодическая дробь рав на обыкновенной дроби, у которой числитель есть число, стоящее до второго периода, без числа, стоящего до пер вого периода, а знаменатель — число, изображенное цифрой 9, повторенной столько раз, сколько цифр в пе риоде, со столькими нулями на конце, сколько цифр между запятой и первым периодом.

,§ 47. Предел функции. I. Пусть дана функция

у = х2 — 4.

(1)

§ '17] П Р ЕД ЕЛ Ф УН КЦ И И 133

О пределе функции можно говорить только при усло вии задания предела, к которому стремится ее аргумент х\ без этого условия вопрос о пределе функции не имеет смысла.

Положим, что X —*■ 3; посмотрим, существует ли при этом условии предел данной функции и если существует, то какой *).

Говоря о пределе переменной в § 43, мы показали, что эта переменная может стремиться к своему пределу, из меняясь разными способами.

Пусть в нашем примере х принимает такую последо вательность значений:

3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; . . . ->3;

тогда функция (1 ) получит соответственно значения:

5,6; 5,06; 5,006; 5,0006; . . . -> 5 .

Мы видим, что данная последовательность значений функции имеет предел, равный 5.

Если в равенстве (1) аргументу дать значения: 2,9; 2,99; 2,999, 2,9999; -> 3 ,

то и в этом случае предел последовательности значений функции будет тот же, в чем легко убедиться соответ ствующими вычислениями.

Итак, функция (1) имеет предел при п —* 3, равный 5. Это записывают так:

lim (х2 — 4) = 5.

X 3

Показанный выше способ нахождения предела функ ции громоздок, поэтому на практике он не применяется.

Доказанные нами теоремы о пределах (§ 45)							позволяют
упростить решение этой задачи.
П р и м е р			1. Найти lim (л — 4).
			х->3	:2
Р е ш е н и е .				теорему		III и следствие		2
			Применяя
теоремы IV оx->3пределах, получим:x->3						— lim 4 =	З — 4 =	5.
1іт(х	2	— 4) = lim л — lim 4 =		(1ітх	) 2
			:2				2

x->3

*) В полных курсах анализа дается определение понятия пре дела функции. Ввиду сложности этого определения мы не находим возможным здесь его приводить.

134	ТЕО РИ Я П РЕД ЕЛ О В	[ГЛ, V
134

	у =	х2		X
Этот предел равен ранее найденному нами пределу
функции			— 4 при		-> 3.
П р и м е р		2. Найти		У 2				.1
П р и м е р		2. Найти		Хlim-		і х	" Г	.1
			х-+ 2.
Р е ш е п и е. Прежде чем применить теорему о пределе

частного,		нужно узнать, не будет ли предел делителя
равен	нулю при		Пользуясь теоремой II и след
ствием	1 теоремы IV о пределах, найдем:
	lim	(2х + 1) =	2 П т л: + П т 1 = 2 - 2 -}- 1 = 5.
	х->2		х->2

Предел делителя не равен нулю, поэтому теорема V о пределах может быть применена к нашей функции. Та

ким образом,

П т

х2 + 3х

х_* 2

(х2

3*)

lim

2х+ 1

х->2

’

Но

1іт ( * +

Х - > 2

З.ѵ) =

х-*2

х)2

х~>2 х.

П т (л

(Пт

3 Нт

Следовательно,х2+ 3х

(х-П

>2т

х)г+

XП

т х

2 2

3 - 2 _

Х - > 2

2х + I

___________

-»2

Пт

х->2

- 2

+ 1

l i m X +

Подставив в выражения функций в последних приме рах Еместо X его предельное значение, мы получим те же результаты. В полных курсах анализа доказывается за конность такой подстановки при условии, что к функции, предел которой находится, применимы теоремы о пре делах.

В дальнейшем мы будем пользоваться этим приемом, так как он значительно ускоряет процесс отыскания пре дела функции.

II. Разберем примеры, в которых предел делителя равен нулю и, следовательно, теорема о пределе частного неприменима; при этом могут представиться два случая.

а) Предел делимого не равен нулю.

П р и м е р 3. Н айти 1 іт -л - - т -.

§ 47]	П Р Е Д Е Л Ф УН КЦ И И	135
		135

Р е ш е н и е . Найдем предел делителя, заменяя х его предельным значением:

lim (2х — 6 ) = 2- 3 — 6 — 0. Я-»3

Как видно, теорему о пределе частного в данном примере использовать нельзя (деление на 0 недопустимо). Мы знаем, что если lim (2 л: — 6 ) = 0 , то 2х — 6 есть беско-

х - > - 3

нечно малая величина, а обратная ей величина есть бес конечно большая (§ 42). Поэтому •^ rL 'ë при х ->3, а сле

довательно, и произведение 2х~— Ь ‘ ^ ~ бесконечно боль

шие величины, т. е.		lim			2х —6				оо.
		lim					3
		х -		>	3		3
б) Предел делимого				равен нулю.
П р и м е р 4.	Найти				х->о			х2 1	2 х
					х->о			х _ _	х
						lim		j . - . .
Р е ш е н и е .	Предел делителя
	lim (х2 +					х) =		О2 + 0 =		0
	х->0
и предел делимого		-f-					=		2 • 0 = 0.
	(х2		2х)					2
*lim-								О +
» 0
D	получим						выражение			0
В этом случае	получим						выражение			-g-, не имеющее

смысла.

Однако отсюда не следует, что данная функция не имеет предела; для его нахождения нужно предвари тельно преобразовать функцию, разделив числитель и знаменатель на х, что возможно, так как до перехода к предельному значению х Ф 0 , т. е.

X2+ 2 х	X + 2
х3+ х	~~ х + і ‘	{ >

К выражению -X	' ■-г- теорема	о пределе частного при-
менима, так как	“Г	делителя не равен ну'лга.
	1
	предел его

136	ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В	[ГЛ. V

* + 2 .

Найдем

предел дроби

Л . - + I

— 2

Х - + 0

+ 1

лг

lim

I ~

Приняв во внимание равенство (2)

и следствие теоремы

I § 45, получим:

2х =

х +

2 = .

-»0

X 2 +

-»0

lim

Этот

можно

результат

подтвердить и вычислением

значении данной функции при значениях аргумента, близких к нулю, например при

* = 0, 1; 0,01; 0,001; 0,0001; . . .

Следующая		таблицаX 2 4показывает-						характер изменения
функции			!/ =	х 2	+	х	при	х -> 0 :
	X					0 , 0 1			. . . - > 0
				0 , 1			0 , 0 0 1	0 , 0 0 0 1
У =	X2+		2х	1,9		1,99	1,999	1,9999 . . .		- > 2
	X 1 +		X
	у	------					х ~__ 6Q
П р и м е р		Г	5. Найти			Х - + 3
						lim ------
Р е ш е н и е .			И в	данном			случае пределы делимого и

делителя равны нулю, поэтому функцию необходимо предварительно преобразовать, сократив ее н а * — 3, что

допустимо, так как до перехода								0к предельному значению
Итак, х2- 9			lim		{х	* — 3		.	lim (* + 3) = 3 + 3 =	6	.
Хlim- + 3	X	— 3	lim			+ 3-}-(* 3)- =			lim (* + 3) = 3 + 3 =		.
	X		je—> 3			X — ä			* -> 3
П р и м е р			6	. Найти lim			~ х		—- .
						х-> I	х		1

Р е ш е н и е . Как и в предыдущих примерах, данная функция должна подвергнуться преобразованию. Для

§ 47] П Р Е Д Е Л Ф УН КЦ И И 137

этой цели освободим числитель от иррациональности,

умножив оба члена дроби на j/ * + 3 +	2	, и сделаем не
обходимые упрощения:

У Т + з - г

_ |іт (У 7 Т з -

8)(У 7 + з + й _

х - > \

— 1

х - > \

( ; — 1)

( Ѵ х

*-|- 3 -{- 2)

х + 3 —

X —

І і т ---------

■■>=_.—-----

lim--------- .

_____ ____ г =

хI-•> 1 (х

— I

X- * - 1

(х

)(і/Гх

(У^X

—f-=3 -(—lim) —7

------—= )

—7=

3-------- )=

—.

*->I

V x + I

3 +

/ Т + 1 +

111.Разберем примеры отыскания предела функции

при

—► оо.

Х-> оо

"Г *

П р и м е р

7. Найти lim - — -

Р е ш е н и е .

Делитель

Зх +

при х —»оо

неограни

ченно

растет,

т. е. представляет

большую

бесконечно

величину; обратная же ей величина

^ -^

, — бесконечно2

малая

(§ 42).

х —> оо:

произведение

^ •

Следовательно,

стремится к нулю, если

0 .

lim

Зх

П р и м е р

Х-»оо

. , . . .

8 . Найти

lim

X —

Х-> СО

Р е ш е н и е .

Делимое и делитель данной функции при

»оо— бесконечно большие

величины,

а их отношение

не имеет смысла. Поэтому преобразуем данное выраже

ние, разделив делимое и делитель на					х:
ние, разделив делимое и делитель на
			Зх	-f- 5
	—5	I	А х	-f- 5
Но	—5	I		+ 15 4 + -
Но		и —	при х - » о о — бесконечно малые величины, а

потому пределы делимого и делителя будут соответст венно равны 3 и 4, а предел функции 0,75.

138	ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В	[ГЛ. V

Процесс нахождения предела данной функции за пишется так:

Зх +	5 ..		3		3 +			0
			т х						°’75-
X 1,m77+т- » ° °			7 T =		7 + ö =
		= i™ 7 + А
			4 + 2х3	+	Зх	2	+	X
П р и м е р 9.	Найти		lim							х2,
					4_ 4
Р е ш е н и е .			Х - > о о	лу%- г *				дроби на			по
	Разделив оба			члена

лучим:

2х3+3

Зх3 +

х +

3 + —

1+ АX 2

При

х —>оо

отношения —

стремятся

нулю,

г г

2х

неограниченно

растет; следовательно,

lim (2* +

3 +

-і) =

оо,

а вся дробь

Х lim- »

с(lо

А Л =

+ 7

Итак,

Хl-i>оа

2 3

'+ ? ■

х +

3 +

•

оо.

X 2

х + Зх + X

X 2

------- 5-7 —г —

п т

1 + 4

СлІk

Найти:

— Зх + 4).

УпражненияX

X -

П- >т2

(2х

X -

—

х1 Х

3. lim- > 0

, , .

1 — X 2

2- Пт

„

х,.- » 0

X 2х

4х

— Зх

1 +

„

X-K)X2

о.

Hill

n *

4- і ? „ Т

? '

— 1 ‘ ■ *->о 2х + 5 1 0

+ x

. Hm- > 0 *

X .

хlim-

X 2 +

X 3

\ | .

lim

X 1

2х +

Зх +

> о

*^ o

•

§ 48]

П Р Е Д Е Л

О ТН О Ш ЕН И Я

(SIN Х);Х

ПРИ

Х-+0

—

139

lim

Зл

2 л 3 +

З л 2

II.

: 3

1 2 .

1 3 .

л 2 +

X 2

—

4 а 2 —

X 2

4 л

*-»■0

2 х

х - » о

— 1

1 4 .

х->2а

2 а

1 5 .

х-*2

л2

л+ -

2 — 6

•

П т

■

X +

i m

П т

1 6 .

Х -Я

1 7 .

l i m

X 2 —

5 л + 6

. .

л 3 + 2 7

-г$—5

—

1 8 .

l i m

--------- г - ^ —

1 9

-»2

1 2 л : + 2 0 '

2 1 .х->П

-тз

х + 3

Д т з л 2 — 6 л + 9 *

Ѵ а - Ѵ а = 7

+ л — 1 Пі-

2 0 .

1і т

' 2 3 . х

-»0

у.....

->0

Ѵ і+х- ѴТ=Г

2 2 .

хl

П т

—■3

у х +

iiiii

->0

4 л

х - >

—

2 4 .

л 2 У

2 5 . хХ~>ооП т

* 2 6 .

2 7 .

-==-г

2 8 .

2 л 2

•

2 9 .

Лт ->ооX

Х~>оо \ 9 JC

лX22 +

х->оо л: — IX

» X U

+ л

Х->оэ

X4 +

3 0 .

х->°°

X 2

48.

Предел

отношения

si" *-

при

х - * 0 .

Так

как

в данном

случае

: =

то для

нахождения

предела

отношения

S1"

х-

іш а

- » 0

при х

нель

зя применить теорему о пределе

частного;

нельзя

также

сделать

никаких преобразований

для

вы

числения

предела

данного

отно

шения.

Поэтому

используем гео

метрические

соображения.

Возьмем

окружность

радиуса

центральный

угол

Mвы

раженный вANрадианной,

Aмере

(рис. 75). Проведем хорду

касательную

пересекающую

продолжение

радиуса

ОМ

в точ

А AON .

ке

Из рисунка видно:

площ. Д Л О М < п л о щ . сектора Л СШ <п лощ .

Выражая площади треугольников и сектора по фор

мулам, можем переписать:

О А - A N

О А - Р М

О А ■— A M

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4214 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб101Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб4Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб23Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб20Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб14Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб85Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб2Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб10Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб5Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб3Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб6Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf