Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4222 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

210

Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

	При условии и,	V н ш-» функции X
			и 'х
	и)х. —		7
XIX	(arccos /	------	---------

■х Ѵ \ - и2

XX(arctg и)х —

XXI

(arccfg и)х —

1 + и ,

П р о д о л ж е н и е

При условии и = Х

,	1	I	2
(arccos а*) =	______________
(arctg хУ =		- Т = Т
(arctg хУ =		і + д - 2
(arcctg л:) —		і + д - 2

Г Л А В А IX

ИЗУЧЕН И Е Ф УН КЦ И Й С ПОМ ОЩ ЬЮ

ПРО И ЗВ О Д Н Ы Х

§8 6 . Возрастание и убывание функции. Пусть нам

дана функция y — f(x ), графически представленная на рис. 94. Проследим за ходом изменения величины орди

нат

точек

изображенной

кривой

при

возрастании

их абсцисс.

что

Мы

видим,

при

возрастании

аргумента

ординаты

соответствую

щих

АточекК

на участке

МА

кривой

растут,

на

участ

ке

убывают.

При

дальнейшем

возрастании

аргумента

ординаты,

при

нимая

отрицательные

значения,

во

продолжают

убывать

всех

точках

дуги

КВ,

ординаты же то

М А, В С

чек

дуги

В С

возрастают

на

и т. д. Данную функцию для участков

зывают

возрастающей,

а для участков

—

убы

вающей.

О п р е д е л е н и е .	Функция y = f(x) называется воз

растающей в данном промежутке значений х, если при увеличении аргумента х в этом промежутке соответ ствующие значения у возрастают, и убывающей, если при увеличении х значения у убывают.

В данной^ главе будем рассматривать изменения функ ций только при возрастании аргумента. Будем также считать, что ф у н к ц и я и ее п е р в а я и в т о р а я

212 И З У Ч Е Н И Е Ф УН КЦ И И С ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х [ГЛ. IX

п р о и з в о д н ы е н е п р е р ы в н ы	при всех рассматри
ваемых значениях аргумента.
Если производная	функции y = f(x) в

§ 87. Признаки возрастания и убывания функции. Т е о р е м а .

данном промежутке значений х положительна, то функ ция возрастает в этом промежутке, а если производная отрицательна, то функция убывает.

Не доказывая этой теоремы, поясним ее геометри чески.

I. Пусть в данном промежутке значений х

В §

6 6

мы узнали, что

Г (х)>0.

(1)

k =

tga,

f'(x) =

где

— угловой коэффициент

( )

касательной,

проведенной

к графику функции

y =

f(x),

a — угол наклона этой ка

сательной

положительному

направлению

оси

Ох.

Из

равенства

(

) следует, что

‘если f' (х) > 0 , то и tg a > 0 ,


откуда а — острый угол.				y = f(x)
Таким образом, при условии (1) касательные, прове
денные к графикуОхфункции					в рассматриваемом
промежутке значений		х,	образуют с положительным на
правлением оси	о с т р ы е у г л ы				(рис. 95а и 956). Это

свидетельствует о том, что график направлен вверх, т. е. функция в о з р а с т а е т .

П Р И ЗН А К И ВО ЗРАСТАН И Я И УБЫ ВАН И Я Ф УН КЦ И И	213

II. Предположим, что в данном промежутке значе ний X

f' (х) < о.

(3)

В этом случае, как видно из равенства (2), и t g a < 0 , откуда а — тупой угол.

Итак,			при	условии		(3)		касательные, проведенные к
графику функции					y =	f (x	)	в данном промежутке значе
ний	X,	образуют с положительным направлением оси							Ох
т у п ы е			у г л ы	(рис. 96а				и 966). Это свидетельствует
о том,		что график направлен вниз, т. е. функция у б ы
вает .

214 И З У Ч Е Н И Е

Ф УН КЦ И И С

ПОМ ОЩ ЬЮ

П РО И ЗВ О Д Н Ы Х

[ГЛ. IX

П р и м е р .

Определить

промежутки

возрастания

убывания функции

у =

х2.

производную данной функции

Р е ш е н и е . Найдем

Величина

2х

имеетх

у'

= (я2)' =

2х.

всяком

положительное значение при

положительном

и отрицательное — при любом отрица

Xтельном его значении. Отсюда следует,х >

что

данная

функция

убывающая

при

возрастающая

при

(рис. 97).

Максимум

минимум

функ

88.

ции.

Рассматривая

ход

изменения

функции на рис. 94, стр. 211, мы мо

жем

отметить,

что ординаты точек

на

участках

МА

ВС

возрастают, дости

гая в точках

кривой наибольшей

величины

сравнительно со значениями

ординат

ближайших

к ним точек, и

убывают на

участ

ках

до наименьшей

величины

в точках

сравнительно со значениями ординат соседних к ним точек.

Те значения аргумента, при которых значения функ ции являются наибольшими или наименьшими, назы ваются соответственно точками максимума или мини мума функции, а значение функции при этих значениях аргумента — максимумом или минимумом ее.

Как видно, точка максимума служит границей пере хода от возрастания функции к ее убыванию, а точка

минимума — границей			перехода от убывания функции к
ее возрастанию.	1			Функция	y = f(x)	имеет макси
О п р е д е л е н и е		.
мум при X — а, если при всех х, достаточно близких к а,
выполняется неравенство
О п р е д е л е н и е 2.				f(a) >f( x ) .	y — f(x)	имеет мини
				Функция

мум при X = а, если при всех х, достаточно близких к а, выполняется неравенство

/(а) < / (*).


§ 891	П Р И ЗН А К И М А К С И М У М А						И М И Н И М У М А Ф УН К Ц И И				215
§	89.	Признаки максимума						и минимума		функции.
I.	Пусть точке			А		графика		функции	y =	f(x)	соответ
ствует максимумА,			при	х	=	а	(рис. 98).
Как видно из рисунка, во всех точках, расположен
ных	левее	касательные					образуют с положительным

направлением оси Ох острые углы. Поэтому тангенс этих углов имеет положительное значение.

Но

П * ) = tg a ( § 6 6 ),

(а)

где a — угол наклона касательной к положительному на правлению оси Ох; следовательно, согласно равенству

(а) и производная f'(x) в указанных точках положи тельна.

В точках же, лежащих правее А, касательные обра зуют с положительным направлением оси Ох тупые углы, а потому тангенс этих углов имеет отрицательное значе ние; в силу же равенства (а) и производная f'(x) также отрицательна.

Так как производная функции непрерывна, то ее зна чение должно меняться без скачков и, следовательно, при переходе от положительных значений к отрицатель ным пройдет при X = а через нуль (§ 58), т. е. в точке А

Итак,		Г(а) = 0	f'(a) = 0
	1		и	при.	х = а имеет максимум,
то2	если функция у = f(x)
	2))
		f'( x ) при	переходе	аргумента через		(1)
		X — а меняет знак с + на —.

216

И З У Ч Е Н И Е

Ф УН КЦ И Й С

ПОМ ОЩ ЬЮ

П Р О И ЗВ О Д Н Ы Х

[ГЛ. IX

II.

Положим, что точке

графика

функции

y = f{х)

соответствует

минимум

при

х — а

(рис.

99). Рассуждая

же,

так

придем

к выводу,х

что

в этом случае первая произ

водная

при

возрастании'

ме

няет

отрицательные

значения

на

положительные

и,

будучи

непрерывной,

обращается

при

в нуль,

т. е.

в точке

Таким

(«) =

справед

если

функция

у — f(x)

при

образом,

f' (а) =

ливо:

имеет минимум, то

2 )

f ' (х) при переходе аргумента

через

(2 )

)

х =

а меняет знак

с — на

+ .

Справедливы обратные утверждения.

Функция у = f{x)

при X

а имеет максимум, если ее

производная обладает свойствами

Функция у — f(x)

— а имеет минимум, если ее

при х =

(

производная обладает

свойст

вами

( ).

Признаки (1) и (2) явля

ются

необходимыми

доста

точными

признаками

максиму

ма и минимума функции, т. е.

такими

признаками,

выпол

нимость

которых

следует

из

существования

максиму

ма

или

минимума

функции

и, наоборот,

наличие

кото

рых влечет за собой или ма

ксимум, или минимум функции.

—

Как видно из равенства

f'(a)

касательная,

про

веденная в точках

графиков, параллельна оси

Ох.

III.

Может,

однако,

случиться,х

что

первая

производ

ная

функции,

обращаясь

в нуль

при

х =

а,

не

меняет

знака при переходе аргумента

через

— а.

этом слу

§90] П Р А В И Л О Н А Х О Ж Д ЕН И Я М А К СИ М УМ А И М И Н И М У М А

217

учае функцияІ(х )

не имеет ни

> 0

Ох,максимума,f'(a)ни—минимума. На

рис.

100

показано, что касательная в

точ'ке

кривой

—

параллельна оси

т. е.

—f(x)

, но tyg a i

И tg Ct2 >

f (х

х — а

у =

Следовательно, первая производная функции

при

X =

через

не меняет знака.

переходе ' аргумента

Функция

) , как показывает рисунок 100, не имеет

при

ни максимума, ни минимума.

Итак, обращение первой производной в нуль является лишь необходимым (но не достаточным!) условием мак симума или минимума.

Значения аргумента, обращающие первую производ ную в нуль, называются критическими значениями аргу мента.

§ 90. Первое правило нахождения максимума и мини мума функции. На основании изложенного в § 89 можно высказать следующее правило нахождения максимума и минимума функции y = f(x).

I.Найти производную f'(x).

II. Приравняв ее нулю, отыскать действительные*) корни полученного уравнения; пусть эти корни (критиче

ские значения аргумента) будут xt, х2, х3 и т. д.

III. Расположив значения х\, х2, х3, . . . в порядке воз растания их величин, подставить в производную любое число, меньшее Хі, а затем подставить любое число, боль

шее X1

но меньшее х2; если при этом знак производной

окажется:

затем

функция

при х =

х х имеет

,сначала

максимум,

+ , а затем—,

функция при х =

имеет

2 )

сначала

)

в обоих

—,

+ ,

минимум,

случаях одинаковый, то при х =

х1 функ

ция не имеет ни максимума, ни минимума. •

для х

Таким же образом определить знак f'{x)

и для

хг,

но для х

хг знак f

(х)

уже

определен,

х2 и Хз и>по

между

остается найти ее знак в промежутке значений х

<< х

чередованию знаков f'(x)

установить,

будет

*) При мнимых корнях функция не имеет ни максимума, ни минимума.

218

И З У Ч Е Н И Е

Ф УН К Ц И И

ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х

[ГЛ. IX

ли функция

при

X — х2

иметь максимум

или минимум

или не будет иметь ни того ни другого и т. д. *).

функции,

Найти максимальные и минимальные значения

т. е. вычислить f{x

i),

f{x2), f(x

и т. д.

IV.

Четвертый пункт этого правила нужен только в том

случае, если

необходимо

определить положение

точек

на кривой, соответствующих максимуму и минимуму

функции.

Рассмотрим несколько примеров.

П р и м е р

. Исследовать

на максимум и минимум

функцию

X2 —

производную функции:

Р е ш е н и е . I. Находим

у'

= (х

—

)' =

2х.

II. Приравниваем ее нулю:

2х = О,

откуда

х= 0 .

III. Определяем знак производной для значения х < 0 , например для х = — 1 :

У'х=-і = 2 ( I) =

Теперь находим знак производной для х > 0, напри мер для X — 1 :

У'х—\— 2 • 1 = 2 .

Изменение знака производной с минуса на плюс показы вает, что данная функция при х = 0 имеет минимум.

IV. Находим минимальное значение функции, т. е.

НО):

Длях

/(0 ) = 0 2 — 1 = — 1 .

< Xj мы подстав

определения знака

производной при

ляем

в нее

вместо

любое

число, меньшее

лщ так как при этих

значениях

производная не

обращается в нуль,

а потому ее знак

при

Хі

постоянен.

На

том же основании

производная имеет

постоянный

знак в

каждом из промежутков

значений

между

Хі

х%

между

х2

х3

и т. д., поэтому для

определения

ее знака

в каждом из указанных промежутков мы подставляем в нее вместо любое число соответствующего промежутка (§ 58).

§ SO) ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ МАКСИМУМА И МИНИМУМА 219

Теперь мы можем представить на рисунке положение

найденной

точки

Л (

; —

)

и - вид

кривой

вблизи

нее

(рис.

1 0 1

У\\

П р и м е р

. Исследовать на

макси

мум и минимум функцию

У = у * 3 — Y X2 — 4х + 6 .

ХА

Р е ш е н и е .

Согласно правилу имеем:

Рис.

101

у' —

—

X2 — Ах

х2 — Зх — 4.

л:2-

II.

Зл: — 4 = 0,

откудах \, 2:

3 + Ѵ Т + Т б

3 ± 5

х, =

—

х2

= 4.

III.

Исследуем

критическое

значение

х{

= — 1.

Берем значение

х < .

—

, например

—

; тогда

У'х=~2 ~

(

—2

) 2

—х3 (—2)1

— 4 =

4 +

х— 40=

Возьмем значение

—

, например

; тогда

У'х=0

= 0 — 3 -0 — 4 = — 4.

Перемена знака производной с плюса на минус пока зывает, что функция при X = — 1 имеет максимум.

2) Исследуем критическое значение х2= 4. Возьмем для я < 4 значение х = 0, а для х > 4 значение х — 5, имеем:

	Ух=о ~	4, у	; = 5		= 2 5 - 1 5 - 4 =	6	.
Следовательно, при		х =	4	функция имеет минимум.
IV.	Максимальное и минимальное значения функции
будут:

г/»»-, = | ( - і )3- | ( - 1 ) ! - 4 ( - 1 ) + 6 = 8 Д ,

4 * - 4 . 4 + 6 = - І 2 | .

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4222 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб101Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб4Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб23Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб20Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб14Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб85Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб2Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб10Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб5Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб3Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб6Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf