Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А

[ГЛ. IV

Если директрису параболы поместить справа от на чала координат, то парабола расположится, как пока зано на рис. 51. При этом абсциссы точек параболы бу дут удовлетворять условию х ^ 0, а потому ее уравне ние примет вид:

і/ = — 2рх.

Парабола может быть симметрична и относительно оси Оу, в этом случае фокус ее будет лежать на оси ординат, а директрисой будет прямая, параллельная оси Ох. Как видно, при этом условии координатные оси

Рис. 53.

поменяются ролями, и уравнение параболы примет вид

X2= 2ру,

(2)

парабола направлена вверх (рис. 52), и

X 2 = — 2ру,

(3)

парабола направлена вниз (рис. 53). П р и м е р 1. Дана парабола

у2 — 12*.

Найти кородинаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.

Р е ш е н и е . Данная парабола симметрична относи тельно оси Ох и расположена справа от оси Оу. Из уравнения находим:

2р = 12;

откуда

р = 6.


§ 35]	И С С Л Е Д О В А Н И Е			У Р А В Н Е Н И Я П АРАБО Л Ы							91
Расстояние фокуса от начала						координат равно
поэтому абсцисса		фокуса		будет	■——		= 3. Итак, фокус
находится в точке		F (	3;0).			параллельная			оси		Оу
Директрисой служит прямая,
и отстоящая от последней на расстоянии								'тг~3-		Сле-
довательно,	уравнение			директрисы параболы						будет

X — — 3.

П р и м е р 2. Фокус параболы с вершиной в начале координат лежит в точке /(0; —4). Написать уравнениеэтой параболы.

Р е ш е н и е . Согласно условию данная парабола симметрична относительно оси Оу и направлена вниз, поэтому искомое уравнение найдется из (3). Так как

то

Р— 8

иуравнение параболы будет:

*2 = - 16у.

Упражнения

1. Написать уравнения четырех парабол с вершиной в начале координат, зная,что координаты их фокусов равны:

	2	1) F (4; 0), 2) F (—2; 0),				3)	F (0; 3),		4 ) F ( 0 ;- 5 ) .
		.\)Определить координаты фокусов следующих парабол:у.
.		у2 —	10*,	2) у2 =	— 12х,	3)	х2 = 8у,		4 ) х » = — 10
	3. Найти				фокуса			2у
			координаты			параболы			2— 5х = 0.

4. Написать уравнение директрисы и найти координаты фокуса каждой из парабол:

1) у2 = 4х, 2) х2— — &у.

5. Написать уравнения парабол с вершиной в начале координат, для которых директрисами служат прямые:

1) X = —2, 2) * = 3, 3) у = 2,5, 4) у = —4.

Ѳ. Директрисой параболы с вершиной в начале координат слу жит прямая 2х + 5 == 0. Написать уравнение и определить коорди наты фокуса этой параболы.

92	КРИВЫЕ ВТОРОГО		ПОРЯДКА		[ГЛ. IV
7. Проверить, лежит ли				у2 — 2х,
1) точка	А (2;	—2) на	параболе		5*.
				у2 =
2) »	В ( - 1 ; У 5 )		»

8 . Из отверстия бака, находящегося на поверхности земли, вытекает вода струей, представляющей дугу параболы х2 = —6 у, если за начало координат принять отверстие бака, а ось Оу напра вить вертикально вверх. На каком расстоянии от края бака падает струя на землю, если отверстие находится на высоте 1,5 м?

9.Найти высоту арки моста длиной 24 м, если арка имеет вид параболы, уравнение которой хг = —48//.

10.Струя воды, выбрасываемая пожарным насосом, описывает параболическую траекторию с параметром р — 4. Определить вы

соту	1 1струи,			если она падает			на расстоянии	24 м от места выхода.
		. Сечение рефлектора плоскостью, проходящей через ось реф
лектора,1 2			есть парабола. Написать ее уравнение, если ширина рефлек
тора 30			см,	а глубина 20		см	(ось рефлектора совпадает с осью				Ох).
						на
		. Луч, падающий					параболическое зеркало параллельно
главной оптической оси, отразился в точке								А( 1	; 4)	зеркала. Найти
уравнение				отраженного	луча, если осевое			сечение		зеркала — пара
бола		у2	=	16*.

13.Написать уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку А (4; —2).

14.Написать уравнение параболы с вершиной в начале коор динат, симметричной относительно осп Оу и проходящей через точ ку А (—4; —2).

15.Через фокус параболы у2 — 10* проведена хорда перпенди кулярно к ее оси. Найти длину хорды.

16.Найти на параболе у2 = 5* точки, у которых абсциссы и ординаты равны.

17. Через фокус параболы у2 = 8 * и через ее точку, абсцисса которой равна 4,5, а ордината положительна, проведена секущая. Составить уравнение этой секущей.

18. Найти точки

пересечения параболы

у2

прямыми:

1) ^ =

2* +

1, 2)

2у —

3* — 3 = 0,

// =

3* + 1.

19. Найти длину общей хорды двух парабол:

у2 =

и х

—

4у.

20. Через

фокус

параболы

у2 —

—4*

проведена

прямая

под

углом 135° к положительному направлению оси

Ох.

Написать

урав

нение прямой и найти длину образовавшейся хорды.

§36. Уравнение параболы со смещенной вершиной.

I. Рассмотрим параболу, вершина которой лежит не

вначале координат, а в какой-либо другой точке плос кости, например в точке Оі(а\ Ь) (в прямоугольной си стеме координат хОу). Пусть ось симметрии этой пара

§ 36]

УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ

СО

СМЕЩЕННОЙ

ВЕРШИНОЙ

болыОх

параллельнаОу,

оси Оу, причем параболаОі(а\Ь)направлена.

вверх (рис. 54). Сделаем

параллельныйXOi Y,

перенос

осей

поместив

начало

в точку

Мы

по

лучим

новую систему

координат

относительно

которой

уравнение

рассматривае

мой

параболы

будет

иметь вид

[§ 35,

(2)]

Х 2 =

2pY.

(1)

Выразим теперь XновыеY

координаты

Х м

через

прежние

у,

с этой

целью заменим

в уравнении

(1)

их

значениями, взятыми из фор

мул

(2)

§ 8; получим:

(2)

(х

—

а)2

= 2

р{у — Ь).

направленную

Уравнение

(2)

определяетОу.параболу,

вверх, у которой вершина лежит в точке Oi(a;è), ось симметрии параллельна оси

Если парабола с вершиной в той же точке Оі на правлена вниз, то, рассуждая аналогично, найдем для

нее уравнение	(х — а)2 = — 2р(у — Ь).	(3)
Уравнения (2)	и (3) можно записать одним	равенством
в следующем виде:
	( х - а ) 2= ± 2 р ( у - Ь ) .	(4)

Уравнениям (4) можно придать также другой вид, для чего необходимо сделать следующие преобразо вания.

Из (4) находим:

(y — b ) = ± - ^ ( х — а)2.

Обозначив	±	(5)
получим:	у — b = А (х — а)2,
или	у — Ах2— 2Ла.ѵ + Аа2+ Ь.	(6)

94	КРИВЫЕ		ВТОРОГО				ПОРЯДКА		[ГЛ. IV
Положив	в уравнении		(6)			В,
		-	2Аа		=	С,			(7)
		Ла2 +		6 =					(8)
перепишем его в виде			Ах2		Вх			С .
	у	=		+			+		(9)

Мы получили другой вид уравнения пар'аболы, вер шина которой лежит в любой точке плоскости, а ось

симметрии параллельна оси Оу, причем, согласно ра венствам (5) и (4), парабола направлена

вверх,

если

О,

А >

вниз,

если

Рассмотрим частные случаи этого уравнения.

Пусть

абсцисса вершины

параболы

0; тогда и

5 = 0, как это видно

из

равенства

(7). В

этом случае

уравнение

(9) примет увид

А х2

С.

Полученное уравнение

определяет параболу, у которой

вершина лежит на оси

Оу,

являющейся в то же время

и ее осью симметрии (рис. 55).

(отличная от

Положим, что одна из точек параболы

вершины)и улежит в начале координат;С —

тогда координаты

(0; 0)

хдолжны удовлетворять

уравнению

(9). Заменив

в нем

(9)

нулями, найдем

0. В этом случае урав

нение

получит вид

у — Ах2+ Вх

§ 36]	У Р А В Н Е Н И Е П А РА Б О Л Ы СО С М Е Щ Е Н Н О Й В ЕР Ш И Н О Й	95
I-

и будет определять параболу, проходящую через начало

координат (рис. 56). Положив в				равенствах (7) и (8)
а =	0	и	Ь =	0,
получим
В =	0 и		С =	0.

При этом условии уравнение (9) преобразуется в сле дующее:

У= Ах2

ибудет представлять параболу с вершиной в начале координат.

Из сказанного следует, что парабола, у которой ось симметрии параллельна оси Оу или совпадает с ней, определяется уравнением

у= Ах2-j- Вх + С

значениях А, В и С, кроме А

Покажем на примере, что справедливо и обратное

при любых

всякое

уравнение

вида

= 0. определяет

утверждение:

(9)

параболу с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Пусть дано уравнение

—

4х

— 3.

(10)

у — 2х2

Преобразуем его следующим образом:

у = 2х2

—

4х

— 3 = (2*2 —

4х

4- 2) — 5 =

= 2 { х

или

(х2

— 2х +

1) — 5

— I)2 — 5,

у -\-5 =

2(х — I)2;

отсюда

{ х ~ \ ) 2 =

^ { у

Ъ),

или

( * - 1 ) 2= - і [ у - ( - 5 ) ] .

Мы получили уравнение вида (2); следовательно, урав нение (10) определяет параболу, вершина которой ле жит в точке (1; —5), а ось симметрии параллельна оси Оу.

II. Аналогично можно найти уравнение параболы, вершина которой лежит в любой точке плоскости

96	К Р И В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А	[ГЛ. IV
0\(а\Ь), а ось симметрии параллельна		оси Ох. Урав
{у — Ь)2= 2 р {х —а),
нение такой параболы имеет вид

(П)

если парабола направлена вправо,

у Ь)-— — 2р(х

а),

( 12)

( —

—

влево.

Объединив эти уравнения, будем иметь:

(13)

(г/ — й)2=

2р(х — а).

Преобразованиями, аналогичными тем, которые при

вели нас к уравнению

(9),

можно

придать другой вид

уравнениям (13), а именно:

(14)

x = A {t f +

B xy +

C x.

Предоставляем

учащимся самостоятельно вывести

уравнения (13) и (14).

уравнениях

(4) и

(х

у)

Заметим,

что

как

(9),

так и

в уравненияхху.

(13) и (14) одна из координат

или

входит только в первой степени и отсутствует произве

дение

1. Дано уравнение параболы

П р и м е р

я2 — 6* +

8 у —

15 =

Найти координаты вершины и фокуса, а также уравне ния ее оси симметрии и директрисы.

Р е ш е н и е .	Данное уравнение можно переписать
так:	У = ~ Т Х + т * + ~г-

Как видно, это уравнение вида (9), а потому коор динаты вершины данной параболы можно получить из равенств (7) и (8). Однако удобнее найти их методом, который был применен к уравнению (10). Выполним необходимые преобразования уравнения х2 — + —

— 15 = 0; получим:

X2 — 6х + 8у - 15 = (х2 — 6х 4- 9) — 9 4- 8у — 15 =

= ( х - 3 ) 2 + 8у — 24 = 0,

или

(X — З)2 = — 8 (г/ — 3).

5 361	У Р А В Н Е Н И Е П АРАБО Л Ы СО С М ЕЩ ЕН Н О Й В ЕРШ И Н О Й	97

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (3), на ходим для данной параболы:

координаты вершины

(3; 3),

параметр р = у = 4,

ось симметрии параллельна оси Оу, парабола направлена вниз.

Абсцисса фокуса равна 3 (фокус и вершина пара болы лежат на оси симметрии, параллельной оси Оу, поэтому их абсциссы равны между собой); ордината

же фокуса равна 3 —у = 3 — 2 = 1 ^фокус данной па раболы лежит ниже ее вершины на расстоянии, равном у (§ 34)J. Таким образом, координаты фокуса /ДЗ; 1).

Уравнение оси симметрии

3, или

— 3 =

0. Дирек

триса параллельна

оси

Ох

и расположена

выше верши

ны на

расстоянии,

равном

(§ 34). Следовательно,

уравнение директрисы

у =

3 +

у =

3 +

2 =

или

у —

5 =

у ко

П р и Fм{е р

Написать

уравнение

параболы,

торой

вершина

находится

точке

О і(3;2)

фокус

в точке

5; 2).

Ох

параболы ле

Р е ш е н и е .

Вершина и фокус данной

жат на прямой,

параллельной

оси

(так как ордина

ты у них одинаковы), парабола направлена вправо (так

как

абсцисса

фокуса больше

абсциссы

вершины), рас

стояние фокуса от вершины у

= 5 — 3 =

2, отсюда

р — 4.

Заменяя в уравнении

(11)

а, b

их значениями,

получим:

ІУ

8 (х — 3),

или

у2- 4— 2)2 =

х2

4х.

у - 8 х

28 =

П р и м е р

3. Построить

параболу

—

Р е ш е н и е .

Используем

обычный

прием,

применяе

мый

для вычерчивания

графиков

функций,

а именно:

<5 И. Л. Зайиеп

К Р И В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯД КА

[ГЛ. IV

вычислим значения координат нескольких точек, а за тем, построив эти точки, проведем через них плавную линию.

Прежде всего найдем координаты вершины парабо лы методом, который был применен в разобранных ра нее примерах:

(х2 —	4.Ѵ + 4) —		4— у,	или	(х — 2)2 = у +
	4.Ѵ + 4) —			или		у 4, откуда 0,(2; —4).
Положив		в данном уравнении				=	0 и решив полуОх.
Положив		в данном уравнении				две	0 и решив полуОх.
ченное уравнение,				будем иметь		две	точки, в которых
					парабола пересекает ось
					Координаты этих точек —
					(0; 0)	и (4;0). Трех найден
					ных	точек	достаточно для

Рис. 58.

приближенного изображения параболы. Для более точ ного ее вычерчивания нужны дополнительные точки. Составим следующую таблицу значений х и у:

X	- 1	0	1	2	3	4	5
У	5	0	- 3	- 4	- 3	0	5

Построив точки по вычисленным координатам и проведя через них плавную линию, получим искомую параболу (рис. 57).

П р и м е р 4. Построить параболу у - — ~ х 2-\-х — 1.

§ 35]

У Р А В Н Е Н И Е П АРАБО Л Ы СО С М Е Щ Е Н Н О Й В ЕР Ш И Н О Й

Р е ш е н и е . Для нахождения координат вершины О! представим данное уравнение в виде

X2— 2х + 2у ~г 2 = О

и преобразуем	его:	или	(х — I)2 = —2 [у + у ) ,
{х2 — 2х + \) +	2у 4 - 1 = 0 ,
откуда			ось	уОх, так как корни
Данная парабола не пересекает
ее уравнения мнимые. В этом случае полезно найти точ-
ки пересечения	параболы	с прямой		— — 1 (— 1 — сво

бодный член уравнения параболы).

Решая для этой цели систему уравнений

найдем:	У = —	+	1,
	У = — 1.
	J C J = 0 ,	х2 =	2.

Итак, искомые точки пересечения — (0; — 1) и (2; — I) . Присоединим к найденным трем точкам несколько

дополнительных и составим таблицу значений х и у:

X	— 2	- 1	0	1	2
	- 5	1		-0 ,5
У	- 5	-2 ,5	- 1	-0 ,5	- 1

-2 ,5 —5


График		искомой		параболыУ п р а ж н е н и япредставлен на			рис. 58.
N(2;21. Найти0		0уравнение0		параболы, проходящей через точки Лі(1; 1),
3) и		( ;	), зная, что ее ось симметрии			параллельна оси Оу.
. Найти		уравнение		параболы, проходящей		через точки Лі (2; 0)»
ТУ(2,5; —2) и і°(4; 4), зная, что ее осц,симметрии параллельна оси									Ох.
3.	Парабола		с вершиной Оі(1; I) проходит через точку				М (	2; 0),
причем	ее ось симметрии параллельна оси				Оу.	Написать уравнение

параболы.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб99Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб4Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб22Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб20Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб14Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб85Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб1Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб10Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб5Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб3Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб6Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf