Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 426 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>


50	ПРЯМАЯ ЛИНИЯ		[ГЛ. ш
	Р е ш е н и е . Через точку А проходит пучок		прямых,
среди которых находится		искомая прямая. Следователь
но,	прежде всего пишем	уравнение пучка прямых [(3)

§15], проходящих через точку А:

у— 6 = k (х +- 2).

Затем находим из данного в задаче уравнения прямой ее угловой коэффициент; применяя равенство (8) § 13, получим:

Согласно условию параллельности угловой коэффи-

цнент искомой прямой тоже равен — j .

Подставим найденное значение /г = — в уравне ние пучка:

і/ - 6 = - | ( а: + 2).

Выполнив необходимые преобразования, получим ис комое уравнение прямой:

5х +- Зу —- 8 = 0.

Упражнения

1. Параллельны ли прямые:

4 х +

б у + 9 = 0,

1) 2х + 3у — 7 = 0 и

—

2х

— 3 = 0

8х

4у

6х —■

Зх

—

5у =

10у +

5 =

Дать аналитическое уи графическое решения.

ах

2. Чему

равно

уравнении

прямой

4, которая

па

раллельна прямой 2 — Зх — 5 =

3. Написать уравнение прямой, проходящей

через точку

(2;

и параллельной прямой

= 2х +

и параллельна пря

4. Прямая проходит через точку Л(—2; — 1)

мой 2х —

у —

5. Написать ее уравнение.

5. Точка движется

по

прямой, параллельной

данной — + -з - = 1 ,

и в некоторый момент времени проходит точку Л(— 1; 8). Найти уравнение прямой, по которой движется точка.

6. Даны точки Л(3; 5) и В(—3; 4). Написать уравнение пря мой, проходящей через точку С (—2; 1) параллельно AB.

§ 19]

УСЛОВИЕ

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ

Написать

уравнение прямой, проходящей

через точку

(2;

и параллельной

прямой,

на

которой

лежат

точки

В(

—4;

С ( - 4Оу; 1).

4х

5і/

8. Прямая,

параллельная

прямой

—

— 9 =

пересекает

ось

на

расстоянии,

равном 3 единицам

масштаба

вверх от

на

чала координат. Написать

уравнение этойу

прямой.,

Ох

9. Написать уравнение прямой, отсекающей

на оси

отрезок,

- г

„

.V I

равный 5, и параллельнон прямой

-g-+

из

этого

10. Точка /4(4; —3 ) — центр

пучка

прямых. Выделить

пучка прямые, параллельные прямым:

2у

2х

Зу

— 5 =

Зд: —

+ 2 =

— 3 =

11. Дан

треугольник

вершинами

/1(6;

4),

В(

—3;

С (—2 ;—6).

Написать

уравнение

прямой,

проходящей

через

вер

шину

параллельно медиане, проведенной из вершины

В.

12.

Дан треугольник с вершинами 0(0; 0),

Л (6;

С(0;

8).

Написать уравнение прямой,

проходящей

через вершину

парал

лельно биссектрисе угла С.

§ 19. Условие перпендикулярности прямых. Так как ct gcp- t gcp=l , то формулу (1) § 17 можно записать в следующем виде:

ctgcp	1~Ь		k]k2			1
	k2	—		k\	(		)

Пусть две прямые взаимно перпендикулярны, тогда угол между ними ср = 90°. Подставив в равенстве (1) настоя щего параграфа 90° вместо ф, получим:

	ctg 90° =	0 = -‘ +		\ fe2		,
откуда	ь	k2	—		ki	’
	ь		—
	1 -j-	k\k2 0
И

Обратно, если

k2 = — - ^ , т. е. k\k2-|- 1 = 0 ,

то дробь в правой части равенства (1) настоящего пара графа равна нулю и, следовательно,

ctg ф = 0, откуда ф = 90°.

А это значит, что данные прямые взаимно перпендику лярны.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[ГЛ HI

Таким образом, если прямые взаимно перпендикуляр ны, то их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку (и наоборот).

Так, например, если у одной прямой угловой коэффи-

2 „

циент равен-g, то у перпендикулярной ей прямой он

равен — 5			•	Написать уравнение прямой,				проходящей
		2
	П р и м е р .
через точку			А ( —3-; 5)		и перпендикулярной			прямой	4х —
—	Зу	— 10 =		0.	точку	А		'
	Р е ш е н и е . Через						проходит пучок прямых,

среди которых находится и искомая прямая. Поэтому

напишем сначала уравнение этого пучка
У -	5 =	Ц х .+	3).	(3)

Чтобы выделить из него нашу прямую, нужно найти ее угловой коэффициент ku связанный с угловым коэффи

циентом ki данной прямой равенством (2). Но &2 = у ;

и	— 3
следовательно, kA =

Подставив в уравнение (3) вместо k найденное его значение ku получим:

У — 5 = — 4 (х + 3).

Это и есть искомое уравнение прямой. Преобразовав его, найдем:

4у — 20 = — Ъх — 9,

или

Зх +

4у — 1 1 = 0 .

1. Перпендикулярныу

Упражнения

ли прямые:

Зу —

1) Зх — у

—

3 = 0 и

17 = 0,

2) 2х + 5 — 6 = 0 и 5* + 2 — 3 = 0?

Дать аналитическое и графическое решения.

А (2; 7)

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

перпендикулярно к прямой

Зх

— 8 = 0.

— 2

3. Из

точки

(—2;

—3)

на

прямую

х — 2у

+ 3 = 0 опущен

перпендикуляр. Написать его уравнение.

§ 20]

Написать

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

ПРЯМЫХ

Л(

уравнение прямой,

проходящей

через данную точку

—2; — I) перпендикулярно к прямой —------ j

Оу

отрезок,

Написать

уравнение

прямой,

отсекающей

на

оси

равный 5, и перпендикулярной к прямой -д- +

6. Даны координаты вершин треугольника

АВС:

АС.

(3;

4),

(2; 5)

С(

7; 6).

Написать уравнение высоты, опущенной на сторону

середину от

Написать

уравнение

прямой,

проходящей

через

резка,

соединяющего точки

(4; 3)

В(

—2; 5),

перпендикулярно

к нему.

8. Противоположные

вершины

ромба

лежат в точках

(Б; 7)

и С(3; 3). Написать уравнения его диагоналей.

прямой

2х

Написать

уравнения

двух

перпендикуляров

—

+ 5 ■ = 0,

восставленных

точках

пересечения

ее

с осями

координат.

А,

2х

10. Построить точку

(—2;

и прямую

—

Выделить

из пучка прямых, проходящих через точку

две прямые:

1)прямую, параллельную к данной,

2)прямую, перпендикулярную к данной.


AM :11. Точки		А	(—2;	—3)	и	В (7;	9) соединены	отрезком прямой,
на котором взята				точка	М,	делящая отрезок		AB	в отношении
МВ	= 1 : 2 .		Найти уравнение перпендикуляра, восставленного
	= 1 : 2 .		Найти уравнение перпендикуляра, восставленного

кпрямой AB в точке М.

12.Вершина острого угла равнобедренного прямоугольного тре угольника лежит в начале координат, а гипотенуза совпадает с по

ложительным направлением оси Ох. Написать уравнения сторон

треугольника, если его гипотенуза равна 4.				треугольнике известны:
13. В	равнобедренном прямоугольном
уравнение	гипотенузы З х —	7у	= 20 и	вершина прямого угла

С(7 ;—4). Написать уравнения катетов.

§20. Пересечение прямых. Пусть даны две прямые, определяемые уравнениями

Ах -(- By -\|~ С =		0,
А\Х +	+ Cj =	0.

Требуется найти точку их пересечения.

Точка пересечения данных прямых есть их общая точка. Координаты этой точки удовлетворяют как пер вому, так и второму уравнению, т. е. эти координаты являются общими корнями данных уравнений.

Чтобы найти эти корни, нужно, как известно из ал гебры, решить совместно данные уравнения, рассматри вая их как систему уравнений.

54 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. nr

П р и м е р	1. Найти-\|-точку пересечения прямых
	2х	3у — 12 =		О,
Р е ш е н и е .	Решим	X — г/ — 1	=	0.	систему.
		данные	уравнения как
Умножив второе уравнение на			3	и сложив	результат
с первым уравнением, получим:

+ 2* + 3//- 12 = 0 Зх — 3у — 3 = 0

5х — 15 = 0,

откуда

X = 3.

Зная л;, находим у, например, из второго уравнения:

у — х — 1 = 3 — 1= 2.

П р и м е р 2. Найти точку пересечения прямых

2х — 5у + 8 = 0, Ах — Щ — 3 = 0.

Р е ш е н и е . Умножив все члены первого уравнения на —2 и сложив полученное уравнение со вторым, най

дем:	- А х А- 10у—	16 =		0
+	А х - 1 0 у -	16 =		0
+		3	=	0
	— 19		=	0,

что невозможно. Значит, данная система уравнений ре шений не имеет, а потому прямые, определяемые этими уравнениями, не имеют общих точек, т. е. данные пря мые параллельны.

І\ этому же заключению можно прийти, сравнивая угловые коэффициенты данных прямых.

Упражнения

1. Найти координаты точки пересечения прямой Ах — З у — 10 =

= 0:

1) с осью Ох, 2) с осью Оу.

Дать аналитическое и графическое решения.

§ 20]

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМЫХ

Найти точку пересечения двух прямых:

1) Зх —

2у —

4 =

X +

3//— 5 =

5у

Дать

х —-

7 =

15г/— Зх — 4 =

аналитическое и графическое решения.

— 20 =

3. Показать, что прямые 7х — 9

15 = 0 и 13х-f- 12

пересекаются

в точке,

лежащей на

оси

Оу.

Дать

аналитическое

графическое решения.

вершин

треугольника,

если

даны

4. Определить

координаты

уравнения его сторон:

2у

у —

2 х — 1,

—

3</+

2х — 5 =

В(Дать аналитическое и графическое решения.

точки

А (4;

5. Найти точку, в которой прямая,

соединяющая

— 1;

—4), пересекает

ось

абсцисс. Дать

аналитическое Аи

гра

фическое решения.

прямой, проходящей

через точку

(2;

уНаписать уравнение

через

точку

В,

которой

пересекаются

прямые

Зх —

у —

2х + 5

—

17 = 0.

х - \ - у =

7. Через точку пересечения прямых

2х —

— 3 =

0 и х — 3

—

— 4 =

проведена

прямая, параллельная

прямой

На

писать уравнение проведенной прямой.

х +

2і/ +

2 =

Зх +

8. Через

точку

пересечения

прямых

4у

4- 9 = 0

проведен

перпендикуляр

прямой

2х +

— 6 =

Написать уравнение этого перпендикуляра.

Найти

уравнение медианы, проведенной из вершины

тре

угольника

АВС,

образованного прямыми:

AB:

2х —

Зу +

ВС:

1= 0,

З х +

г/ — 11= 0 ,

АС:

4у

= 0.

5у—3,

х+ З і/= 7

10. Даны уравнения сторон треугольника: 2х—

и Зх —

2у

+ 1 = 0 . Написать уравнение высоты, проведенной на сто

у =

рону 2х — 5

11. Дан треугольник, уравнения сторон которого суть

Зх +

2у —

5 = 0, Зх — г/ — 1 1 = 0 , Зх +

у —

1 = 0.

стороне

Написать

уравнение

перпендикуляра,

восставленного

— 5 =

0 в ее середине.

Зх + 2

точке

Л4(5;

1). Уравнения

12. Диагонали

ромба

пересекаются

одной

из диагоналей

и одной из сторон

его

соответственно

у —

X + 4 = 0 и

Зу —

X — 6 = 0.

Найти координаты вершин ромба.

задачи

Смешанные

4у

8 с

осями

коор

1. Найти точки пересечения прямой Зх +

динат.

2. Показать,

что

прямые

4х +

— 5 =

0, Зх —

6 =

2х —

5 =

0 проходят через одну точку.

ПРЯМАЯ

ЛИНИЯ

[ГЛ. Ill

Прямая,

параллельная

оси

Ох

и проходящая

выше ее на

расстоянии, равном

4, пересекает

прямую

Зх

—

4у

5 = А0.

Найти

точку пересечения этих прямых.

(

Показать,

что

прямая,

на

которой

лежат

точки

—3; 6)

и5(2; —4), проходит через начало координат.

5.Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(3 ;—5)

иотсекающей на оси Ох отрезок, равный —2.

6. Проверить, лежат ли на одной прямой точки /4(1; 3), 5(5; 7)

иС(10; 12).

7.Найти длину отрезка прямой 4х + Зу + 12 = 0, заключенного

между осями координат.

у),

8. Какую ординату имеет

точка

(5;

лежащая

на

той же

прямой, что и точки

(—8; —6) н

В(

—3; — 1)?

через

точку

Написать уравнение

прямой,

проходящей

Л (—3;

4) и параллельной

биссектрисе

первого

координатного угла.

10.

На биссектрисе первого координатного угла найти точку,

расстояние которой от точки М (—2; 0)

равно

10.

11.

При каком

значении

прямая

тх

+ 3

проходит через

точку пересечения прямых 2х —

1 =

0 и

точках

12.

Противоположные

вершины

квадрата

лежат

А(—2; 5) и С( 2; 8). Найти длину н уравнения его диагоналей.

13.Две смежные вершины квадрата ABCD лежат в точках /4(—5; 4) н D(—3; 2), а диагональ его АС параллельна осп Ох. Определить координаты двух других вершин квадрата.

х +	14. Даны		уравнения		сторон	треугольника:	у
							х + 2 — 2 = 0,
2	У	— 13 =	0 и X —	2у	+ 6 = 0.	Показать, что	этот треугольник

прямоугольный, и определить радиус окружности, описанной около

него.

Ох

15.

Нужно провести прямую, проходящую через точку М(30; 50)

и образующую

положительным направлением

оси

угол 45’ .

На каком расстоянии от оси

Ох

нужно взять две точки, отстоящие

от оси ординат на расстоянии

1 и

3, чтобы

искомая

прямая про

ходила через них?

положительному

направлению

16. Определить углы наклона к

оси

Ох

сторон

треугольника

АВС,

вершины

которого

находятся

в точках /4(1; 3),

В(

1) и

С(

— 1; —3).

17. Две прямые пересекаются в точке /1(2; —5). Найти острый

угол между ними, если однау

из них проходит через точку 5(1; —3),

а другая — через точку С (4;

I).

2х

18. Даны две

прямые

1 и Зх — 2

— 5 =

Опреде

лить

расстояние между точками, в которых они

пересечены

прямой

—

— 3 = 0.

19.

Через точку

(—5;

проведена прямая

так,

что

ее отре

зок, заключенный между координатными осями, делится в этой точ ке пополам. Написать уравнение этой прямой.

20. Через точку А (—4; —3) проведена прямая так, что она отсекает на осях координат равные отрезки. Написать уравнение этой прямой.

21. Сторона треугольника, равная 10, лежит на оси	Ох,	а одна
из его вершин — в точке /4(4; 6). Найти уравнения		сторон

треугольника, если одна из боковых сторон его отсекает на оси абс цисс отрезок, равный —2 (два случая).

§ 201

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМЫХ

22. Дан

треугольник

ЛВС

вершинами

(8;

4),

В(

—2;

С(4; 0). Из

точки

делящей

сторону

ВС

в отношении

BD : DC

2:1,

проведена

прямая

через

середину

стороны

AB.

Найти

уравнение н длину отрезка

DE.

С,

23. Даны две точки

(—4;

—3)

0(1;

2). Написать

уравнение

прямой,

проведенной перпендикулярно к прямой

через

точку

делящую отрезок

АС : СВ

= 1 : 2 .

В(в отношении

пластинки

лежат

24. Две

вершины

треугольной

однородной

в точках /4(6; 0)

—

а ее центр тяжести

в точке Л4(1;2).

А8; —2),

Найти координаты третьей вершины этой пластинки.

25.

трех

точках

(

0),

ß (—2;

С (4;

—5)

помещены

— 1;

грузы

соответственно

в 30

кг,

кг

кг.

Найти

центр

тяжести

этой системы.

АВС

В(

26. Дан

треугольник

с вершинами

(—5;

— 1),

— 1;

С(

2). Через

вершину

проведена прямая,

параллельная

ВС,

а через

вершину

— прямая,

перпендикулярная

ВС.

Найти

коор

динаты точки пересечения проведенных прямых.

27. По какой линии должна двигаться точка, начальное поло

жение

которой

определено

координатами

(3;

8),

чтобы

дойти

крат

чайшим путем до прямой

у =

-^ - х

— 1? В

какой

точке ома достигнет

этой прямой и как велик будет пройденный путь?

на

оси

Ох,

под

28. Дие прямые пересекаются

в точке, лежащей

углом

45°

друг к

другу;

прямая

меньшим

наклоном к положи

тельному

направлению

оси

Ох

имеет

уравнение

2х

—

З у

— 6 =

2 х

Написать уравнение второй прямой.

— Зг/ -)- 11 =

29. Даны

уравнения

сторон

треугольника

3JC +

— 11 =

JC + 4I/ =

Найти

угол,

образованный

положи

тельным

направлением

оси

Ох

медианой,

проведенной

на

сторону

*+ 4(/ = 0.

30.Отрезок прямой х + 2у — 6 = 0, заключенный между осями

координат,

разделен

на три равные части,

в точках

деления вос

ставлены перпендикуляры к этой прямой до пересечения с осью

Оу.

Найти координаты точек пересечения.

31. В

треугольнике

АВС

даны середины

его

сторон ЛіДІ;

1),

М2(3; —5)

и Л43(5; —3). Составить уравнения сторон.

АВС

32. Даны две вершимы /4(3;

— 1)

и ß(5;

треугольника

и точка

пересечения

его

высот. Найти

координаты

третьей

вершины треугольника.

2х

33. Даны

уравнения

сторон треугольника:

— 3 = 0, х =

— 1 = 0 .

Найти

длину

высоты,

проведенной

на

сторону

— 3 = 0.

у = 2х — Ъ, у = х — 2,

зная

уравнения

его

34. Определить

площадь

параллелограмма,

сторон:

у —

2 х + 1 ,

площадь

ромба,

зная

і/=

х +

сторон:

35. Определить

уравнения

его

У =

„

у =

// =

у х ,

y ~ Y

-----з~-

36. Один из катетов равнобедренного прямоугольного треуголь ника параллелен оси Ох и отстоит от нее на расстоянии, равном 8, а продолжение гипотенузы проходит через начало координат. На писать уравнения сторон этого треугольника, если егокатет

треугольник

ПРЯМАЯ

ЛИНИЯ

[ГЛ. HI

равен

расположен

первом

кордииатном

угле

(два случая).

квадрат

определяются

М(

х + Зі/ +

37.

Две

стороны

уравнениями

-{- 10 =

0 и З.ѵ —

— 20 =

0, а его центр лежит в точке

— 1).

Найти уравнения диагоналей квадрата.

треугольника

3S.

Гипотенуза

равнобедренного

прямоугольного

параллельна осп

Ох.

Вершина

прямого угла лежит в точке Л (8; 20),

а одна кз вершин острого угла расположена на оси

Оу.

Написать

уравнения сторон этого треугольника

(два случая).

параллельна

39. Одна

из

сторон

правильного

треугольника

оси

Оу

и отсекает на оси

Ох

отрезок, равный —4, а противополож

ная вершина лежит в точке Л (2; 0). Найти

уравепия

высот.

оси ко

40. Гипотенуза прямоугольного треугольника пересекает

ординат

в точках Л (—5;

ß(0;

5),

а один

из

катетов — в

точ

ках

С(—2;

D(0;

1);

продолжение

же

другого

катета

отсекает

на оси

Ох

отрезок, равный 4. Найти координаты вершин.

41. Две стороны и диагональ, исходящие из одной вершины па

раллелограмма,

определяются

сответственно

уравнениями

—

+ 4 =

5 и 5х +

2у

— 15 =

Написать

уравнения двух

дру

гих сторон параллелограмма, если точка пересечения его диагоналей

лежит на оси

Ох.

С(

ABCD

42. Две

противоположные

вершины

ромба

лежат

точ

ках

Л (1;

9),

сторона

определяется

уравнением

—

2 =

Найти

координаты

двух

других

вершин

его.

43. Две

противоположные

вершины

прямоугольника

ABCD

ле

жат

точках

Л (1;

С (5;

6),

сторона

наклонена

поло

жительному

направлению

оси

Ох

под

углом

45°.

Найти

площадь

этого прямоугольника.

Ох

44. Одна из сторон ромба проходит через начало координат и

образует

положительным

направлением

оси

угол,

равный

arctg-g-, а другая сторона определяется уравнением

Найти

уравнения остальных сторон ромба, если его диагонали пересекаются

между собой в

точке,

лежащей на оси абсцисс.

В (7;

45. Дан

треугольник

АВС

вершинами

Л (4;

1),

С(—4;

7). Найти

точку пересечения биссектрисы углаВ(Л с проти

воположной стороной

ВС.

треугольника

Л(—2;

В.

—8)

46. Даны

вершины

—8),

С(3; —5). Написать уравнение биссектрисы угла

47. Из

точки Л (6;

направлен

луч света под углом 45° к по

ложительному

направлению

оси

Ох\

дойдя

до оси

Ох,

он

отра

жается

от

нее. Найти

уравнения

падающего

отраженного

лучей.

48. Луч света направлен по прямой

2х

— 12 =

0; дойдя до

— 3

оси

Ох,

он

от

нее

отражается. Определить

уравнение отраженного

луча.

Ох

49. Луч света, выйдя из точки

Л (2; 3),

отражается от

оси

и попадает в точку ß(5; 8). Найти уравнения падающего и отра

женного лучей.:

проходящий

через

точку

Л (3;

4),

отражается

50. Луч света,

от прямой д

— 2 = 0

и после

отражения

проходит

через

точку

ß(5;

2). Найти уравнения падающего и

отраженного лучей.

Г Л А В А IV

К РИ ВЫ Е ВТОРО ГО П О РЯ Д К А

§ 21. Окружность и ее уравнение. Окружностью на зывается геометрическое место точек, одинаково удален ных от одной точки, называемой центром.


Пользуясь		этим		определением,		г,выведем уравнение
окружности. Пусть радиус ее равен						а центр находится
вМ(х\у)начале координат. Возьмем на
окружности		произвольную			точку
По	(рис.	27).			между
	формуле		расстояния
двумя	точками		можем написать:
	ОМ =	г =	V J F + У ,
или, после возведения обеих частей
равенства в квадрат,				Г2.	(1)
	Л-2 + !/2 =

Так как точка М нами взята на окружности произ вольно, а радиус г — величина постоянная, то равенство

(1) справедливо для всех точек окружности, т. е. ко ординаты любой ее точки удовлетво ряют этому равенству. А если так, то равенство (1) нужно рассматривать

как	уравнение окружности радиуса г
с центром в начале координат.

Найдем уравнение окружности, центр которой лежит в любой точке плоскости, например в точке О і (а; Ь)

Рис. 28. (рис. 28). Перенесем оси координат Ох и Оу, сохранив их первоначальное направление и поместив начало координат в точке

Оі(аѣ,Ь). Мы получим новую систему координат XOiY, по отношению к которой уравнение окружности с центром

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 426 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб101Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб4Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб23Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб20Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб14Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб85Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб2Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб10Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб5Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб3Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб6Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf