Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4219 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

180	Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я	[ГЛ. VIII
180

Пусть функция и имеет производную по х * ) . Рас смотрим сначала функцию

у = и2.

Представив ее в виде произведения и применяя пра вило (IV ), получим:

Как	видно,	правая	часть равенства (2)		(2)
				исоставлена
по следующему закону: первый множитель					ее — пока
затель	данной	степени,	второй — основание		в степени

на единицу меньше данной, а третий — производная их. Чтобы убедиться, что' и производная функции ит определяется по этому же закону, применим метод мате

матической индукции.

Допустим, что справедливо равенство

(«'")' = тит~ хи'х.

(3)

Докажем, что и производная функции ит+1 подчиняется тому же закону. Для этого представим ит+і в виде произведения ити, а затем найдем производную от этого произведения по правилу (IV). Приняв во вни мание равенство (3), получим:

(ит+1У = ( и ти)' — ити'

и(ит)' = и ти'

шпит~хи'

'л

ити'х

тити'х

итих

т)

(т

ити

)

'х .

{ит)х==

тит~'и'х,■ +•

Следовательно,

если

(т

)

то

(ит+1)'х =

ити'х

Мы видели, что указанный выше закон верен для {и2)'х;

следовательно,

по

доказанному,

этот

закон

верен

для

(и3)';

если

же

он верен

для

(и3)',

то он

верен

для

(и%

т. д.

*) В дальнейшем изложении при нахождении производной от функции у = }{и) будем предполагать, что функция и дифферен цируема.

§ 76]	ПРО И ЗВО Д Н АЯ Ф УН КЦ И И	у = -и	181
	ПРО И ЗВО Д Н АЯ Ф УН КЦ И И	L

Итак, при любом целом положительном показателе т имеем:

равнаТаким

(«'")(. =

ши

(VII)

производная

степенной функции

у =

произведениюобразом,

трех множителей,

первый из кото

ит, где и — f х

а т

целое положительное число,

рых

данной

степени,

второй основание

показатель( ),

—

данной

третий

про

степени на

единицу

меньше

—

основания по х.

—

изводнаяи — X

, то

и'х =

х' =

Если

(xmY =

1и формула (VII) примет вид

mxm~ l

(VI Г)

З а м е ч а н и е . Формулу (VII) мы, начиная

со

следующего па

раграфа, будем применять для любых показателей

(дробных

и це

лых),

хотя

доказано это будет позднее, в § 80.

75.

Производная

функция

у — Y u .

Найдем

про

изводную функции

Y u

где

и =

f (х).

Представив данную функцию в виде степени с дробным

показателем и применив затем правило			(V II), получим:
Итак,	y'x = { Y u ) ' x =	( и 2)х
Итак,			(VIII)
т. е.			(VIII)
	производная	функции у = У и ,	где u = f(x),

равна производной подкоренного выражения по х, де ленной на удвоенную функцию.

При	и = х формула (VIII)	преобразуется		в сле
дующую:		-		сѵпп
§ 76.	(V x )' = W T	'у=^=^.	Пусть	(ѴІІГ)
§ 76.	Производная функции		Пусть	дана
функция	-

182	ФОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я	ІГЛ. VIII

Заменив	на и- 1	и дифференцируя полученную
функцию по правилу		(V II), получим:
	Ух =	— I • и-2«'

( IX ) V

т. е. производная функции У — -^, где u = f(x), равна

частному от деления производной по х знаменателя на квадрат знаменателя, взятому со знаком минус.

При и = х формула (IX) принимает вид

(IX*) ' /

X 2

§ 77. Применение формул дифференцирования. Рас смотрим несколько примеров на применение выведен ных правил.

П р и м е р 1. Продифференцировать функцию

у = 2х3 — 4х2 + 5х — 3.

Р е ш е н и е . По правилу (III) имеем:

у' = (2хз)' - (Ах2)' + (5*)' - (3)'.

Применяя к

первым

трем

слагаемым

правило (V), ^

а к последнему — правило

(I), получим:

у' =

(х3)' — 4

(х2)'

+ 5 •

х'

— 0.

Согласно правилам (VII*) и (II) имеем:

8х

у' =

2 • Зх

—

-2х + 5 • I =

+ 5.

П р и м е р

2. Продифференцировать

функцию

Р е ш е н и е .

г/ =

(х2+

1)(2х +

3).

По правилу

(IV)

имеем:

у' =

(X2

I) (2х + 3)' +

(2х +

(X2

1)'.

По правилу

(III):

[(X2)'

У'

(X2

1)[(2х)' +

(3)'] +

(2х +

(1)'].

П Р И М Е Н Е Н И Е

Ф ОРМ УЛ

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

183

У'

По правилам

(V),

(II), (I)

и (ѴІГ):

(X2

)

( 2

) +

(2х

+ 3)

(2х

) =

= 2*2 + 2 + 4х2 + 6х = 6х2 + 6 х + 2 .

Этот пример можно решить иначе: сначала пере множить выражения в скобках, а затем продифферен цировать полученную сумму:

.у =	(х2+		1) (2х +	3) =	2х3+	З*2 + 2х +		3,
у' =	(2х3 +		Зх2+	2х +	3)' =	6х2+	Зх +	2.
П р и м е р 3.		Продифференцировать					функцию		у —
П р и м е р 3.		Продифференцировать					функцию
хУ~х
2		Преобразуем			данную функцию следую
Р е ш е н и е .		Преобразуем			данную функцию следую
щим образом:			2х • X 2		2хх2X		3 = 2 х 6.
				X з	2хх2X		3 = 2 х 6.
				X з	(V II*), получим:
Применяя правила (V) и					(V II*), получим:

П р и м е р 4. Продифференцировать функцию

Р е ш е н и е . Представим данную функцию в следую щем виде:

у = 2 • — 3 У х + 4 • X 3.

Применяя правила (III) и (V), получим:

■І/' = 2( І ) '- 3 0 ^ У + 4 ^ ) .

184

ФОРМУЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

По правилам (IX’), (ѴІІГ) и

(VII*) имеем:-

2 ( - ^ ) - 3 - і 7 Г +

I .-- г

4 _

( 2

Ч -

X 2

2 У х

I x 2 ^ 2 у :

з/ F )'

П р и м е р

Зх3

У :

Продифференцировать функцию

2х

л + X -

(VI) имеем:

Р е ш е н и е . По правилуз

У,

2х (х2 +

х —

— (х2 + X — 3) (2х)'

Дифференцируя сумму

(2х)2

правилу

получим:

(з/|

по

(III),

У.

2х [(х2)' +

(*)' -

(X- +

X -

3) (2

Наконец,

по

4х2

(I)

(V)

найдем:

правилам (VII*), (II),

2х(2х +

1) -

(х2 +

X - 3) • 2 _

4х2 +

2х -

2х2 — 2х + 6

4х2

X2+ 3

2х2 +

4х2

2х2 -

Можно иначе продифференцировать данную функ цию, разделив в правой части данного уравнения по членно числитель на знаменатель. Получим:

	У =		X2+	X - 3						_3_
или			2х						X ’	2х ’
или			У = Т	1	х +	Т1		'
отсюда					I						+ 3
					2 \				X 2 )	2 ~ 2х2	+ 3
П р и м е р	6				2 \					2 ~ 2х2	2х2
П р и м е р		. Продифференцировать функцию
			у =		3	—	Ах		+ 1)3.
					(х	—			+ 1)3.

§ 77]

П Р И М ЕН ЕН И Е

ФОРМУЛ

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВАН И Я

185

Р е ш е н и е .

Данная

функция

степенная; основанием

степени

служит

выражение Jt3—

Ах

+ 1, зависящее от

х.

Поэтому

функцию,

подлежащую

дифференцированию,

можно

рассматривать

как

сложную

функцию.

При

меняя

правило

(VII)

при

и =

3—

Ах

+ 1

= 3,

получим:

Ах

+ I)3];

3(х3- А х +

(х3 - А х +

)' =

Iі'х

= [(JC

== 3 (х

— 4* +

I)2

П р и м е р

1) (3х — 4).

Продифференцировать

функцию

Р е ш е н и е .

у =

/2;e

3* +

х,

Подкоренное

выражение — функция

поэтому

— сложная

функция.

Согласно

правилу

(V III),

полагая

и — 2х2

—

Зх

4, имеем:

— 3 + 4

(2х2 -

Зх

4)'

4х

у' = (]/2х2- З х - { - А)'х

/ 2 х 2- З

+ + 4 ~

’

2 f 2 x 2- 3 x

Если дан корень другой степени, то его нужно предварительно преобразовать в степень с дробным показателем и затем применить правило (V II). Н а пример,

(fF+7

У х

j ( x 2+ if]l )

2х —

If2х^

) 2

1)' =

[ ( * 2 +

(X2 +

(здесь

Упражнения

Найти производные функций:

/ З . у

— хъ.

. f ( x ) =

xp^

" 1 . 0 = 3.

2 .f(x ) — ax.

*5.

5л:3.

[

s =

—374.

f (л:) =

ял:8.

8 . М *) =

п +

* п+». ~

0 =

2 л: 3

— Зл:.'

1 0

. s = у 7 4 — у

/ 2 +

27.

11.

f (х) = — g- л: 3

+ у л: 2

— 2л: +

1. Найти f

(3).

67=

дт (jf +

1).

12.

Ң х ) = Лл— р Т * 2" * 1“

2/Г*2"

а І3-

186

ФОРМУЛЫ* Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIП

14.

s =

1 -

2).

(\Q f

(л) =

2л (Зл2 -

* +

5). Найти

( -2 )

2).

16.

s = t ( t +

\)(t +

^ V

____

17.

/ (и) =

(2ц2•+

u) (4u2

1).

»18. s =

2 V ^ .

—

X 2

20.

s =

rV7~.

*21.

й .

22.

ü = - ^ r .

23. f ( r ) = - ^ - .

Найти

}'(—2).

Cj 24.

r *----

‘ 25.

Найти

(8).

«26.

(o) =

V”

'27.

У —

Y J

f (и) =

у X2

~j~ ~ '

^ J L

4 =

. y=xV Vх-

^29. s

■>30. «

/ф I Ф

btYt

}

31.

33. s =

Уф

ъ Г З Т * * ^ '

ы - у = ‘ ( Ѵ і + і ) .

t 2 -

1 + 1

2x2

+ Зл +

Зл2 —

34.

35.

y =

— 4

36.

(/ =

37.

(H) :

x +

38. / (o) =

2 л --

39.

2 —

X ’

1 + 2 л

u +

40.

) .

’

41.

l++Vx

(1 +

f (x

\ —

X 2

I — VX

функции

42. При каких значениях

производная

равна

1) 0, 2) 3?

х ь

— 2л2 — 4л — 5

43. Написать уравнения укасательной

и нормали к кривой

1 -

2л2

вточке ее с абсциссой, равной

44.Написать уравнения касательной и нормали к кривой ху = 2

вее точке А (2; 1).

45.К кривой у = Зл2 — 6л + 5 проведена касательная, парал лельная оси Ох. Найти координаты точки касания.

46.	В какой точке кривой	у =	у	2х2	— л + 1	надо провести каса
тельную, чтобы она была параллельна прямой						у —	Зл	5?
47.	Точка, двигаясь по кривой			=	л2 — 8л +	15, сорвалась с нее
в тот	момент, когда оказалась на			прямой л =		6. Найти		уравнение

дальнейшего пути точки.

48. Написать уравнения касательной и нормали к кривой

а ~ 1+ л2

вточке ее А (0; 0).

49.Доказать, что кривые

у — 2х2+ 2л — 3, у = л3 — 2л + 5

имеют общую касательную в точке .4(2; 9). Написать уравнение этой касательной.

§77]

- П Р И М Е Н Е Н И Е

Ф ОРМ УЛ

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

187

50.

уравнении

параболы

у =

х2

Ьх

опредёлить

&х и

с,

у — х

если парабола касается

прямой

точке

с абсциссой

— 2.

за

51.

Количество электричества,

протекшее

через

проводник

секунд,

определяется

по

формуле

Q — 2Р

1 (кулонов).

Найти силу тока в конце пятой секунды.

—

V t .

Найти

52.

Точка движется прямолинейно по закону 5 =

ее скорость в момент

2,25.

уравнением

S =

-f- 20. В ка

53.

Движение точки задано

2—

кой момент времени скорость точки будет равна нулю?

54.

Движение точки задано уравнением

S =

-i./4 — 4/3+

16/2.

1)В какие моменты времени точка была в начальном пункте?

2)В какие моменты времени скорость ее равна нулю?

55. Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 300 м/сек. Найти скорость пули в момент t = 10 сек и определить, сколько времени пуля поднимается вверх. Сопротивление воздуха не учи тывается.

З а м е ч а н и е . Высота S (в метрах), которую достигает за t секунд тело, брошенное вертикально вверх со скоростью ѵ0 м/сек, определяется из формулы S — v0t — 4,9t2.

56.С крыши дома, имеющего высоту, равную 50 м, брошен вертикально вверх мяч со скоростью 20 м/сек. Найти:

1)скорость подъема в конце второй секунды,

2)момент начала падения,

3)наибольшую высоту подъема относительно поверхности земли.

57.Тело, масса которого т = 3 кг, движется прямолинейно по

закону S =

1 + / + Д,

где 5

выражено в сантиметрах, a

t — в

се

кундах. Найти кинетическую

энергию

тела через

секунд

после начала движения.

58. Угол поворота шкива в зависимости от времени опреде

ляется из равенства ф =

— 5. Найти:

1) среднюю угловую скорость в

промежутке

времени

от

до

= 5, 2)

угловую скорость в момент времени

t —

угла ф

59. Тело

вращается

вокруг оси, причемзакон

изменения

зависимости от времени

задан

равенством

Ф = 0,1/2.

Найти

угловую скорость вращения тела в момент

t =

60. Угол ф, на который

поворачивается колесо через

секунд,

определяется из равенстваФ

at2 — Ы

с,

где а, & и с — постоянные величины. Найти:

1)угловую скорость вращения колеса,

2)момент его остановки.

61. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 секунд. Определить угловую скорость колеса через 32 секунды после начала вращения.

188

Ф ОРМ УЛЫ

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

Найти производные функций:

у =

f62.

(л- +

2)4.

63.

5 =

(3/ -

2)3.

64.

(х2 -

1)5

65.

(.ѵ) =

(х2 -

2.ѵ)3. tj66. S =

(t2- t

l)4. 67.

f (и) =

u2- u

4)4

5 (3

68.

S =

VT+1.

= V 2x+ 1.

70.

у = У~2рх.

71.

r/ = / F T T

2 /

1 +

2x69.- X2.

73.

г= У >

x2.

|Са3 -

л:3

72.

у =

(3 +

74. у =

75.

уо =

/ (2

2х).

76.

| / >

1. 77.

г/ =

J^ x 3 -

Зх2 + 1

78.

у =

(Зх -

1)2

(х

1)3.

79.

S =

t2 V At

80.

х V

л-

\)2Ѵ

81.

{ х -

1 ) У х 2 +

1. 82.

у =

(х

х -

83.

8 6=. ул3 j ^

84.

Ѳ =

,от2_ , \ 2

85.

5*з

Г —

- Y

(2ф2

(5х -

4)3

у= Ѵ х2х-\

87.

у-

<Р

--^=

и = У

89.

--Ѵ 2х

і-

2х

90.

91.

2х

2х2+ 1

92.

(х) =

Vа2

у- ѴТ=~х'

X2+ 1’

+ х2

93.

/ (х) =

Ѵа2

94.

у= Vi +VI.

95. у=

х = 1

ѴѴх+1

te- У - Ѵ 7 + Т

§78. Производные тригонометрических функций. I. Дана функция

у — sin и, где и = f (х).

Если аргумент х получит приращение Ах, то и и у по лучат приращения соответственно Аи и Ау.

Поступим по общему правилу дифференцирования.

й шаг:

-|-

Ay =

sin (и + Аи).

(и

и)

и.

Й шаг: А

У = {у +

у)

—

у =

sin

+ А

— sin

(1)

Согласно формуле разности синусов двух углов равен ство (1 ) преобразуется в следующее:

Ду = 2 cos[ii + -у-) sin - у •

3-й шаг:

A x

§ 78] П Р О И ЗВ О Д Н Ы Е ТРИ ГО Н О М ЕТ РИ Ч ЕС К И Х Ф УН К Ц И Я 189

Умножим

числитель и знаменатель

полученной дроби

„

в правой части равенствап I

на, Д м

\ , А н

или

ААх/ /

2 co s^ + —

JА sиi n − 2 --------- 2

( . А и \ .

Дх "~2~

Ди

Дм

Ди

Дх'

cos 1

А и

Ди

Л*

i“ + - F j s

( - ■ H r )

sin -ң-

(

т ~ Г

Ди

— •АХ

х,

Так как функция

дифференцируема по

то

Л «->0

при

А х —

>0.

Приняв это во внимание, переходим к следующему шагу, применяя при этом теорему о пределе произве дения переменных (§ 45).

4-й шаг:								.	и
Ух' =			=			2	' lim	.	д	.
ДХlim-»-0		Ах	Дкlim-»-0 cos(«V			2	' lim	— т-^— •		д*lim->-0 А х
		Ах					Аи-> 0	Ан
Но		',	А*	.>		A u - i o s i.n -		£Ли.	= 1 .	(§ 48),
Д и - > 0		',	А*	.>		A u - i o s i.n -		£Ли.	= 1 .
lim	cosj«		+ - ^ - ) = cos«,			=	lim —j± f-----
				. .	А и		,
				Дlim	—		«';»
				х > 0	Д х

поэтому		у'х =	cos и • 1 •и'х.
Итак,		(sinn)' = c o s и ■ и'х.
При	и — X	(sinn)' = c o s и ■ и'х.
При		формула	(X)	обращается
		(sin	х)' =	cos	X.
			х)' =		X.

II. Дана функция

(X) в следующую:

(X*)

у cos и, где u — f (х).

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4219 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб101Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб4Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб23Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб20Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб14Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб85Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб2Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб10Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб5Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб3Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб6Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf