Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 427 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

КРИВЫЕ

ВТОРОГО

ПОРЯДКА

[ГЛ. IV

в точке

0 1

будет иметь вид

X 2

+ У2X=

г2.

(2)

Выразим новые координаты

У через прежние

у.

С этой

целью заменим

У в уравнении (2) их

зна

чениями, взятыми из формул

(2) § 8. Получим

(х

—

а)2

{у — Ь)2 = г2.

(3)

Уравнение (3) определяет окружность, центр которой 'лежит в точке Oi(a-, b).

Если

положить

а = 0,

то уравнение

(3)

обратится

следующее:

х2

(у — Ь)2 =

г2

будет

определять

окружность

центром на

оси

Оу

(рис. 29). При

b =

0 уравнение (3)

примет вид

{х

—

а)2

у2 =

г2

будет

определять

окружность

центром на

оси

Ох

(рис. 30).

0 и

b =

0 уравнение

(3)

преобра

Наконец, при

зуется в следующее:

у2 = г2

и будет определять окружность с центром в начале ко ординат (рис. 27).

§ 22]	У Р А В Н Е Н И Е	О КР У Ж Н О СТИ	61

Построим окружность по ее уравнению. Пусть, на пример, требуется построить окружность

(х — 2)2 + (у + З)2 = 9.

Перепишем

это

уравнение в следую

щем

виде:

[у

(х

— 2)2 +

— (—З)]2 =

ви

сравнивая

это

уравнение

(3),

дим,

что

координаты

центра

окружности

суть

(2; —3) и

радиус

ее

г —

Построив точку О і(2 ;—3),

опишем

из

нее

радиусом,

рав

ным

искомую окружность (рис. 31).

Рис. 31.

§ 22. Уравнение окружности

как частный вид общего

уравнения второй степени. Раскрыв скобки в уравнении

(3) § 21, можем написать:

2ах

а2

у2

— 2

г2,

или

2 —

у2

— 2ал: — 2

а2

Ь2

—

г2 —

Умножив все члены последнего равенства на

А,

получим:

Ах2

Ау2 —

Аах

— 2

АЬу

Аа

2 4*

Ab2

—

Ar2

= 0. (1)

Положим

Ab =

Act2 +

Ab2 — Ar2 =

F-

- 2

Aa =

- 2

(2)

тогда уравнение (1) окружности примет вид.

Ах2

Ау2

Еу

(3)

Уравнение (3) является частным случаем общего урав нения второй степени с двумя переменными. В самом деле, сравним уравнение (3) с общим уравнением вто рой степени с двумя переменными, имеющим, как из вестно, следующий вид:

		Ах24- Вху + Су2 + D x +			Еу + F =	0.		(4)
у	Мы видим, что уравнение			(3)	отличается	от уравне
ния (4) только тем, что у первого коэффициенты при								х2
и	2 одинаковы		и отсутствует	член, содержащий, произ
ведение		ху.				г	•
ведение						г	•

К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯ Д К А

[ГЛ [V

Таким образом, окружность определяется общим уравнением второй степени с двумя переменными, если в нем коэффициенты при х2 и у2 равны между собой и отсутствует член с произведением ху.

Обратно, уравнение вида (3), вообще говоря, опре деляет окружность. Убедимся в этом на примере. Пусть дано уравнение

х2~Т У~ -Ь 4.Ѵ — 8у — 5 = 0.

(5)

Перепишем его в следующем виде:

(х2 + 4х) + (у2 - 8 у ) = 5

и преобразуем двучлены, стоящие в скобках, в полные квадраты суммы и разности, прибавив к первому 4, ко второму 16. Чтобы равенство при этом не нарушилось, увеличим и правую часть его на сумму 4 + 16. Получим:

(■ «2 + 4х +	4) +	(у2- 8у +		16) = 5		+ 4 +	16,
или	(X +	2)2 +	(у - 4	) 2 =	25.
Последнее равенство является уравнением окружно
сти, имеющей	радиус,		равный 5,		и	центр	в точке
О і(—2; 4).

Бывают, однако, случаи, когда уравнение (3) при не которых значениях коэффициентов не определяет окруж ности; например, уравнению х2 у2= 0 удовлетворяют координаты единственной точки (0; 0), а уравнению х2+ .

-f- у2 — —4 не удовлетворяют координаты ни одной точ-. ки, так как сумма квадратов действительных чисел не может иметь отрицательного значения.

Если уравнение окружности дано в развернутом виде, то координаты центра этой окружности и ее радиус можно найти двумя способами. По первому способу нужно сделать в данном уравнении преобразования, ана логичные тем, которые мы имели в разобранном при мере (5); по второму способу можно воспользоваться равенствами (2), из которых имеем

a = - T Ä > Ь = - - ё т г2 = а2 + Ь2- 4 - (6)‘

§ 22]

У Р А В Н Е Н И Е О К Р УЖ Н О СТИ

Зная же а, b и г, легко построить окружность. Так, на пример, для построения окружности

находим

4*2 + Ау2— 8л: +

Ау — 1 1 = 0

~ 8

ö =

___ __ ____ -

из равенств

(6)

X + у —

х2

у2 Ах + 2у

Искомая окружность представлена на рис. 32.

— 15= 0

П р и м е р. Дана окружность

—

и прямая

Найти

длину хорды, принадлежащей дан

ной прямой.

Так

как

концы

Р е ш е н и е .

хорды являются общими точками

окружности и прямой, то их ко

ординаты

удовлетворяют

как

уравнению

первой,

так

уравнению

второй

линии. По

Рис.

32.

этому,

чтобы

найти

эти

коор

динаты,

нужно решить совместно

значение

уравнения

окружности и

прямой. Подставив

У— 7 — X

вуравнение окружности, получим:

или	X2 - f (7 — х)2-				Ах + 2 (7 - *) — 15 = 0,
	X2 +	49 — 14л; +			2 — 4 + 14 — 2л: — 15 = 0,
или,	наконец,		*2-		1 0 * + 24 = 0.
Отсюда		*1,2 =	5 ± ^25 — 24 = 5 ± 1,
		* , = 5 — 1 = 4 , * 2 = 5 + 1 = 6 .
Находим значения			у:				— 4 = 3,
				7	Х\ =	7
		Уі —
		Уъ = 7
					— *2 = 7 — 6 = 1 .

64	К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О РЯД КА	[ГЛ. IV

Итак, концами хорды служат точки с координатами

(4; 3) и (6; 1).

По формуле расстояния между двумя точками мо жем определить искомую длину хорды:

d =

V (4 -

6)2 +

(3 -

I)2

У 4 +

Т = 2

Написать

уравнение

Упражнения

центром

точке

О,

с1

окружности

)

радиусом0 1 2

г, если даны:

г ^ У Т ,

3) 0 ,(0 ; 5),

,( — ;

), г =

2) О , (—2; —3).

2. Построить) 2

окружности:) 2

( х - 2

) 2

+ ( у +

)

1) (л: +

З + (і/ — 2

16,

х2 +

( у ~

) 2

25.

Дана

) 2

16. Лежат ли на ней

окружность (д: — 3

(у +

5)2 =

точки:

(3; — 1),

(х

(3; —9)(у и

С)

(0,

—3)?

Дана

окружность

+ 2)J +

— 13 и

точка

на

пей

сординатой, равной нулю. Найти ее абсциссу.

5.Написать уравнение окружности с центром в точке О ,, про

ходящей через точку А, если даны:

О , (2;

1),

А (5;

5),

О, (—3;

2),

А (—4; 0).

точ

. Написать

уравнение

окружности,

проходящей

через две

ки: Л(—5; 5) и 0(1; 3) и имеющей радиус

К іО •

7.8

Написать уравнение окружности, проходящей через две точки:

(2; 4) и

(—2; 0)

и имеющей центр на оси

Ох.

. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки:

Л (0; 2),

5(1;

С (2;

—2).

проходит

че

Окружность

касается обеих

осей

координат и

рез точку Л (2; 9). Написать уравнение этой окружности.

10.Окружность касается оси Оу в точке /4(0; —3) и имеет радиус г = 2. Написать уравнение этой окружности.

11.Составить уравнение окружности, касающейся оси Ох в на

чале координат и проходящей через точку Л(

; —

12. Найти

координаты

центра

и длину

радиуса

окружности

у2

—

х —

8у

. 13.

Построить

окружности:

у2 — \2у

У2 +

4х

бу -

4у2 —

11 =

у2

* +

7 =

4х2

16* +

8у —

14.

Даны

окружности

х2

у2

—

6х

8у

= 0

х2

у2

+ 2.ѵ

их

— 1 2 і/ + 1 = 0 .

Написать уравнение

линии

центров

(т. е. урав

нение прямой,

проходящей

через

центры

данных

окружностей).

$ 23]

Э Л Л И П С

И Е ГО У Р А В Н Е Н И Е

15. Найти расстояние между центрами окружностей

х2 +

у2=

у2

у2— \2х

1 1

х2

16. Написать

уравнение

диаметра окружности

х +

+8 (/ = 0 , параллельного оси Оу.

х2

2—

х —

4 у

— 5 =

0. Написать урав

17. Дана окружность х2

Ох

нение ее диаметра, образующего с осью

угол 45°.

18. Дана

окружность

у2 — 2х

бу

—

Написать урав

нение

ее диаметра,

перпендикулярного к

хорде

2х

—

у +

3 =

19. Найти

координаты

точек, в которых окружность

х2-\-у2 —

—

х +

(/ +

5 =

0 пересекает ось

Ох.

20. Написать уравнение радиуса, проведенного в точку Л(1; 4)

окружности

у2

— 4

— 1 =■

проведенной

окружно

21. Написать

уравнение

касательной,

сти

х2 +

2—

2у

128

= 0ув точке ее Л(9; 3).

2 2

12Xл:2

у2+

. Найти

координаты

точек

пересечения

прямой

—

с окружностью

— х — 4

— 5 =

X 2

23. Найти

точки

пересеченияу

прямой6

окружностью

у2 +

Зх

—

бу —

9 =

—

0 по отношению к окруж

24. Как расположена прямая

ности

у2

—

л: — 9 =

у2+

х2

у2

26. Написать уравнение общей хорды

окружностей

— 10х —

ІОу +

30 =

§ 23. Эллипс и его уравнение. Эллипсом называется геометрическое место то чек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, назы ваемых фокусами, есть величина постоянная (и большая, чем расстояние между фокусами).

М2, Пусть,М3,

например,

на

эллипсе

взяты

точки

М\,

/И4ит. д. (рис. 33).

F u

то согласно

дан

Если фокусы обозначить через

ному определению можно написать:

F tM,

FM ,

F,M S

FM 2

F,M 3

FM3 =

FM4

= const.

(1)

F,M 4

Геометрическое место точек, обладающих вышеуказан ным свойством (1), и есть эллипс.

На основании определения эллипса составим его урав нение. Для этого выберем систему координат следую щим образом. За ось Ох примем прямую, проходящую через фокусы F и Ft, а за ось Оу — прямую, перпендику-

3 И. Л. Зайцев

66	К РИ В Ы Е ВТО РО ГО П О Р Я Д К А	[ГЛ. IV
66

лярную к FFi и проведенную через середину отрезка F F t (рис. 34). Обозначим расстояние F f между фокусами через 2с, тогда координа

ты фокусов будут:

F(c; 0) и

F ,( —с; 0).

Возьмем

на

эллипсе про

извольную точку

М( х ; у ) .

Обозначим

постоянную

величину

суммы

2а,расстоя

ний от каждой точки до

фокусов

через

тогда

FM +

F lM = 2 a .

(2)

По формуле расстояния между двумя точками

найдем:

—

c f

(у

— О)2 =

Ѵ(х

—

c f

FM — Y (х

V(x

V( x + c f + ( y - Q f

+ c f

i f .

Теперь равенство (2) перепишется следующим обра

зом:

] f ( x - c f

+ f-

+ V(x + c f

у2 = 2 а

(3)

и будет представлять уравнение эллипса в принятой си стеме координат.

Упростим уравнение (3). Для этого перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:

Ѵ іх — с? + У2 = 2а — Ѵ (х + c f + f •

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

(х — c f +

у2=

4а2— 4а У (х +

c f +

у2 +

{х -f- c f +

у1.

Раскроем скобки:

2 —=2сл: +

с2 +

у2 =

2сх

+ с2 +

у2

х2

2сл: +

с2

у2.

У х 2

4а2 — 4а

Приведем

подобные члены:

—2

сх —

4а2 — 4а

]/ х2

+ 2сл: +

с2 +

у2

сх,

или

4а

Y X2

сх

+ с2 +

у2

4а2 +

сх.

§ 24)	И С С Л Е Д О В А Н И Е			У Р А В Н Е Н И Я				ЭЛ Л И П С А		67
Сократив на 4 и снова возведя в квадрат обе части
равенства,	получим:			с2		у2)		а	сх)2,
или	я2	(х2	+ 2с* 4-		4-		=	( 2 4-

а2х24- 2а2сх 4- а2с24- а2у2== я4+ 2а2сх 4- с2х2.

Перенесем все члены, содержащие х и у, часть равенства, остальные члены — в правую:

а2х2— с2х2+ а2у2= я4 — а2с2,

или

(я2 — с2) X24- й2у2 — а2(я2 — с2).

Но согласно определению эллипса

2с < 2а,

отсюда

с < а .

в левую

(4)

	Из	последнего неравенства				следует, что		я2 — с2> 0 ,
а потому эту разность можно обозначить через									Ь2.
Подставив это обозначение в равенство (4), найдем:
			Ь2х2	4-	а2у2 =		а2Ь2.		(5)
	Наконец, разделим все члены последнего равенства
на	а2Ь2\		окончательно получим:				1
на			окончательно получим:						(6)
				Ä - l L —
					Ь2
где							‘ »
где			Ь2 =		я2 — с2.				(7)
			Ь2 =		я2 — с2.				(7)

Уравнение (6) и есть простейший вид уравнения эл липса *).

§ 24, Исследование уравнения эллипса. Определим сначала у из уравнения (5) § 23:

а3Ь2— Ьгх3

b2( а 3— х2)

*•) Уравнение (6 ) получилось в результате двукратного возве дения в квадрат уравнения (3), вследствие чего, вообще говоря, возможно появление посторонних корней. Можно показать, что урав нение (6 ) не имеет посторонних корней, т. е. любая точка, коорди наты которой удовлетворяют уравнению (6 ), лежит на эллипсе.

68	К Р И В Ы Е ВТО РО ГО ПОРЯДКА.	[ГЛ. IV
68

откуда

( 1)

Из того же уравнения (5) найдем:

а2 (Ь2 - у2)

следовательно,

(2)

Рассмотрим	теперь равенства	(I)	и (2).
I. Пусть	! * а .	I	<

Тогда под корнем в равенстве (1) получится положи тельное число, а потому у будет иметь два значения, рав ные по абсолютной величине, но с противоположными знаками. Это значит, что каждому значению к соответ ствуют две точки эллипса, симметричные относительно оси Ох.

Пусть теперь

\ у\ <ь .

Тогда каждому значению у, как мы видим из равенства (2), отвечают два значения х, равные по абсолютной ве личине, но с разными знаками. Отсюда следует, что каждому значению у соответствуют на эллипсе две точ ки, симметричные относительно оси Оу.

Из	сказанного	заключаем:	эллипс	а2 1 Ь2	= 1	сим	-
				—«—I—
метричен относительно координатных осей.					с	осью Ох-щ
II.	Найдем	точки пересечения		эллипса
Пусть

у = 0;

.тогда из равенства (2) имеем:

х = ± у Y b 2 — ± а.

Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (—а; 0) (точки А

и Аі на рис. 35).

§ 24]

И С С Л Е Д О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Я Э Л Л И П С А

III.

Найдем

точки пересечения

эллипса

с осью Оу.

Пусть

‘ 0;

тогда из равенства

(1) имеем:

у = ± - ^ Y a 2 = ± Ь.

Отсюда

заключаем, что

эллипс пересекает

ось Оу

(0;

Ь)

(0; —

Ь)

в двух

точках

координаты которых

(точки

рис. 36).

на

IV . Пусть X принимает такие значения, что
\ х I > а;	(3)

тогда выражение под корнем в равенстве (I) будет от рицательным, и, следовательно, у будет иметь мнимые значения. А это значит, что не существует точек эллип са, абсциссы которых удовлетворяют условию (3), т. е. эллипс заключен между прямыми х — + а и х = —а (см. рис. 35, прямые KL и PQ).

Если же положить

\у\>Ь,

(4)

то из равенства (2) получим для х мнимые значения. Это говорит о том, что точки, удовлетворяющие условию (4), на эллипсе не лежат, т. е. эллипс заключен между пря мыми у — + 5 и у = —Ь (см. рис. 36, прямые РК и QL).

Из сказанного следует, что эллипс вписан в прямо угольник, стороны которого параллельны координатным

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 427 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб101Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб4Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб23Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб20Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб14Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб85Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб2Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб10Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб5Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб3Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб6Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf