книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник
.pdf160 |
|
Ф УНКЦ И Я |
И ЕЕ |
п р о с т е й ш и е |
|
с в о й с т в а |
|
|
|
[ГЛ. VI |
||||||
у = Например, |
у = |
sin * |
и |
у |
= arcsin |
х |
|
|
х |
^ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ах |
и |
y = |
\ogax |
суть |
|
попарно |
|
взаимно |
обратные |
|||||||
функции. |
|
отметить, что графики взаимно обратных |
||||||||||||||
Интересно |
||||||||||||||||
|
Уі |
|
tl |
|
|
|
|
функций |
|
симметричны |
отно |
|||||
|
|
|
/ |
|
|
|
сительно биссектрисы |
пер |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вого |
и |
третьего |
|
координат |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ных углов. Это следует из |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
самого |
определения |
обрат |
||||||
|
|
О |
|
|
|
X |
|
ной |
функции. Действитель |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
но, |
в |
приведенном |
|
выше |
|||||
/// |
/1 у / / |
|
|
|
|
|
определяют одно и то же |
|||||||||
// // |
|
|
|
|
|
|
геометрическое |
место |
|
точек, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
представля |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ются одним и тем же графи |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ком. Далее, так как функ |
||||||||
|
|
рпс |
|
|
|
|
|
ция |
(3) |
|
получаетсяу, |
из функ- |
||||
|
|
8 7 |
|
|
|
|
ции |
( )X просто |
переменой |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
и |
|
то |
|
график |
||
|
|
|
|
|
|
|
1ролей |
|
|
|
||||||
функции (3) получается симметричным отражением |
||||||||||||||||
графика |
данной функции |
( ) относительно |
биссектрисы |
|||||||||||||
первого |
и третьего |
координатных углов (см. рис. |
|
87). |
||||||||||||
П Р О И З В |
Г Л А В А VII |
|
О Д Н А Я Ф У Н К Ц И И |
§ 60. Равномерное движение и его скорость. Пусть тело движется равномерно и прямолинейно. Это значит, что в каждую единицу времени оно проходит одно и то же расстояние, называемое скоростью этого движения. Закон равномерного движения выражается формулой
s = v t + sQ, - |
(1) |
представляющей собой функцию первой степени (линей
ную функцию), а геометрически — прямую линию. |
|
и |
|
Обратно, всякая линейная функция вида |
(1), где |
ѵ |
|
S j—-постоянные величины, выражает закон |
равномер |
||
ного прямолинейного движения. Чтобы в этом убедиться,
найдем |
расстояния, |
пройденные телом |
|
к моментам |
11 |
и |
|||||||||||
|
и |
||||||||||||||||
t2. |
Подставив |
в равенство |
(1) |
вместо |
t |
значения |
ty |
іг, |
|||||||||
получим: |
|
|
|
|
S| = |
Vty |
|
Q |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-f- S , |
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
S2 = |
vt2 |
-|- SQ. |
|
|
|
|
|
||||
s |
2 |
— Si = |
(vt2 |
+ s0) — |
(üty |
-f- S0) = |
V (t2 — ty) |
|
|
|
|||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
$2 |
— Sl |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
t2 |
— |
tl |
|
|
V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначив приращение пути Sz — Sy через As, а прираще ние времени t2— ty через At, напишем:
As = |
V. |
(2) |
~Ел |
|
|
Равенство (2 ) показывает, что отношение пройденного телом пути к промежутку времени, в течение которого
6 И. Л. Зайцев
162 |
П РО И ЗВ О Д Н А Я Ф УН К Ц И И |
[ГЛ. VII |
|
путь совершен, — величина постоянная. |
Поэтому |
||
этот |
|||
As |
представляет скорость равномерного движения. |
||
-д^г |
|||
Следовательно, линейная функция s = vt + S0
выражает закон равномерного прямолинейного движе ния, причем и есть скорость этого движения.
§ 61. Неравномерное движение и его скорость. Кроме равномерного движения, в природе имеет место и нерав номерное движение. Закон его выражается уже не уравнением первой степени, а более сложным
..Q уравнением. Пусть, например, дана функция
■..ß3 |
|
|
выражающая |
|
|
|
s = |
4,9*2, |
|
|
тела. Так |
как па- |
||||||||||||||
|
|
закон |
|
падения |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Д |
|
|
денне тела4— движение неравномерное, то возни- |
||||||||||||||||||||||
|
в |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
кает |
вопрос, как |
определить |
|
его скорость в ка- |
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
кой-нибудь |
|
момент |
времени. Поступим |
следую- |
||||||||||||||||||
"fy |
|
|
щим образом. |
|
8 8 |
в |
|
начале |
|
падения |
тело было |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Допустим, |
что |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
в точке О |
(рис. |
|
|
). По истечений времени * оно |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
пройдет путь, равный |
|
|
4,9*2, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
■ ■ В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s\ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
и окажется |
|
в точке |
А,= |
|
|
|
|
времени |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а по прошествии |
||||||||||||||||||
Рис. 88. |
|
* + |
А* от начала 2движения совершит* ) |
путь |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
В. |
|
|
|
s |
|
= 4 ,9 ( * + |
|
A |
2 |
|
|
|||||||||||
и будет |
в точке |
|
|
Отрезок |
|
пути, |
пройденный телом за |
|||||||||||||||||||
время |
A*, будет: |
|
|
|
|
t f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
AB |
= |
s |
2 |
-* 2 |
s, = 4,9 (f + |
A -* ) 24,9f |
2 |
= |
|
|
= 9,8* A* + |
4,9 (A*)2. |
||||||||||||||
|
|
|
* 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
= |
4,9 |
+ |
9,8* Д* + |
4,9 (Д |
|
|
- |
|
4,9 |
|
|
||||||||||||||
Разделив пройденный путь s |
2 |
— |
su |
равный As, на время |
||||||||||||||||||||||
А*, получим: |
|
9,8/ |
At + |
4,9 (А/)2 |
= |
|
9 ,8 *+ 4,9 А*. |
|
( ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
As |
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
At |
|
|
|
|
At |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат деления — называется средней скоростью падения тела на участке пути AB — As,
§ 611 Н ЕР А В Н О М ЕР Н О Е Д В И Ж Е Н И Е И ЕГО СКО РО СТЬ 163
Однако средняя скорость движения тела не выражает истинной скорости в любой момент времени. Так, напри
мер, |
когда говорят, что поезд идет . со скоростью |
||
50 |
км/час, |
то это не значит, что он движется с этой ско |
|
|
|
||
ростью во всех точках своего пути; отходя от станции, поезд постепенно увеличивает скорость, доводит ее до наибольшей величины, затем замедляет движение, пока не остановится на следующей станции. Таким образом, на одном участке пути его скорость меньше 50 км/час, на другом — больше, в среднем же — 50 км/час.
Средняя скорость тем лучше характеризует движение, чем меньше участок пути, на котором она определена;
поэтому положим, что промежуток |
времени |
А/ падения |
|||||||
тела уменьшается, тогда и путь |
AB = As |
будет |
умень |
||||||
шаться, становясь равным |
А В и АВ2, А В 3 |
и т |
д. (рис. |
8 8 |
“), |
||||
|
At |
|
|
||||||
и для каждого нового значения |
|
отношение -^j- |
будет |
||||||
определять среднюю скорость падения тела на участке пути, все более и более коротком. Положим, что А/—► (),
As
тогда / + Д/ —► /, а отношение-^- будет стремиться к ве
личине, называемой скоростью в данный момент времени t, что соответствует скорости в точке А.
Обозначив эту скорость через ѵ, запишем:
As'
Пт А/ ' (2) д*->о
Таким образом, скорость прямолинейного движения тела в данный момент времени t есть предел средней скорости в промежутке времени от t до t + At, когда
Д / -* 0 . |
|
|
|
t: |
и (2), найдем ско |
Приняв во внимание равенства (I) |
|||||
рость паденияѵтела в момент |
|
|
|||
= |
lim- |
(9,8/-f-4,9 А/) = |
9,8/. |
||
Итак, |
Af |
> 0 |
V - - 9,8/. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||
Упражнения
1. Найти скорость тела, движущегося по закону,
s = 3t — 5.
164 |
|
|
|
|
|
|
|
П РО И ЗВ О Д Н А Я |
Ф УН К Ц И И |
|
[ГЛ. ѵ п |
||||||||||
|
|
2. Найти среднюю скорость движения |
тела, |
совершаемого |
по |
||||||||||||||||
закону s = |
2t2, |
для промежутков времени: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
от |
ti |
= 2 до |
<2 = |
4, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tt |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
от |
|
|
— |
6 до |
/2 = |
10. |
|
|
|
||
|
|
3. Закон движения тела выражается формулой: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s= < 2+ . |
|
|
|
|
|
|
||||
Найти |
среднюю скорость |
движения |
1 |
|
для |
промежутка времени |
|||||||||||||||
тела |
|||||||||||||||||||||
от |
1 |
до <2, |
если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1) у, = 2, <2= 3; |
|
|
|
3) /, = 2, /2= 2,01; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2) < , = 2 , |
<2 = |
2,І; |
|
|
4) |
<, = |
2, |
<2 = |
2,001. |
|
||||||
Результаты вычислений записать в таблицу и проследить за изме |
|||||||||||||||||||||
нением средней скорости. |
|
|
|
|
|
тела |
в момент времени < = |
2, есл |
|||||||||||||
|
|
4. |
|
Найти |
|
скорость движения |
|||||||||||||||
закон движения дан формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
= |
4<2 — 3. |
|
s = |
3<2. Найти: |
|
||||
|
|
б. Закон движения тела дан формулой |
от |
||||||||||||||||||
<і = |
1) |
среднюю |
|
скорость |
движения |
|
за |
|
промежуток времени |
||||||||||||
|
2 до <2 = 5; |
|
|
|
в моменты <і = |
2 и <2 = |
5. |
|
|||||||||||||
|
|
2) |
скорость движения |
|
|||||||||||||||||
|
|
§ 62. Скорость изменения функции. Определять ско |
|||||||||||||||||||
рости |
приходится |
не |
только в случае движения, но и |
||||||||||||||||||
при изменении |
|
любой |
переменной |
|
величины, имеющей |
||||||||||||||||
физическое содержание (скорость испарения жидкости, |
|||||||||||||||||||||
скорость |
реакции |
и т. д.). |
|
|
у, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пусть |
переменная |
величина |
характеризующая |
ка |
|||||||||||||||
кой-либо процесс изменения, есть линейная функция дру |
|||||||||||||||||||||
гой переменной |
х, |
т. е. y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
kx + |
b] |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
тогда отношение |
, |
как и в случае равномерного дви |
|||||||||||||||||||
жения (§ 60), будет постоянной величиной, равной к, т. е.
(О
Величина k, показывающая, сколько единиц прира щения линейной функции приходится на единицу при ращения аргумента, называется скоростью изменения линейной функции при любом х.
§62] СКО РО СТЬ И З М ЕН ЕН И Я Ф УН КЦ И И IC5
|
|
Если |
|
же |
величина |
у |
представляет |
функцию |
иного |
|||||||||||
вида, то отношение |
Д |
г / |
|
по аналогии с |
неравномерным |
|||||||||||||||
— ■ |
||||||||||||||||||||
движением (§ 61) |
определяет |
среднюю |
скорость |
изме |
||||||||||||||||
нения у |
|
для |
промежутка значений |
аргумента |
|
от |
х |
до |
||||||||||||
|
+ |
Ах. |
|
|
|
|||||||||||||||
X |
|
|
А х-+ 0 |
|
|
|
|
|
х |
А х - * х , |
|
|
|
|
||||||
|
|
Прискоростью |
будемизмененияиметь:функции при даннома средняях. |
|||||||||||||||||
скорость изменения функции стремится к величине, на |
||||||||||||||||||||
зываемой |
|
|
|
|
|
|
|
|
ѵ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначив эту скорость через |
|
унапишем: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
|
V |
|
ДДа |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||
|
|
|
|
Д х - > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
скорость |
|
изменения |
|
функции при |
||||||||||||||
|
|
|
до х + Ах, когда Ах |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
данном X есть предел средней скорости ее для проме |
||||||||||||||||||||
жутка аргумента от х |
|
Р |
|
|
|
|
|
-> 0. |
I |
|
|
|
||||||||
|
|
Разберем несколько примеров. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
П р и м е р |
1. |
Вес |
|
|
в |
килограммах |
однородного |
|||||||||||
стержня |
|
выражается |
формулой Р — 0,5/, |
|
где |
|
— длина |
|||||||||||||
стержня в метрах. Определить скорость изменения веса стержня с изменением его длины.
Р е ш е н и е . Так как |
Р |
— функция первой степени |
|
относительно длины /, то в данном случае имеет место
равномерное |
|
изменение. Следовательно, |
скорость |
|
из |
||||||||||
менения веса |
Р |
при любом значении длины / будет со |
|||||||||||||
гласно формуле |
( |
1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это |
значит, |
|
что при удлинении |
стержня |
на 1 |
м |
|
вес |
|||||||
его увеличивается на 0,5 |
кГ. |
|
|
|
|
его |
|||||||||
|
П р и м еТр |
|
2. При нагревании тела температура |
|
|||||||||||
Т |
изменяется |
в |
зависимости от |
времени |
нагревания |
t |
|||||||||
по закону |
= |
0,4 |
12. |
|
|
|
|
t |
|
|
|||||
|
С |
какой |
скоростью нагревается тело в |
момент |
= |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
=1 0 сек.?
Ре ш е н и е . Данная функция второй степени и вы ражает закон неравномерного изменения, а потому для решения задачи применим формулу (2 ), причем для нахождения предела поступим так же, как это мы де лали при определении скорости падающего тела (’§ 61).
В момент / = 10 температура'тела Ту = 0 ,4 • ІО2 = 40.
» |
» |
t = \0 |
At » |
» |
72 = 0, 4(10 + At)2. |
166 |
П РО И ЗВ О Д Н А Я Ф УН КЦ И И |
[ГЛ. VII |
|
|
Вычтя из Т2 значение Tlt получим приращение темпе ратуры АТ за время At:
АТ = Т2 - |
Т1 |
|
0,4 (10 + ДО |
2 |
— 40 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
отсюда |
|
|
|
= |
40 + |
8At |
+ 80,4 |
|
(At)2 — |
40 = |
|
8 |
A^ + |
0,4 |
(At)2, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Частное |
|
|
|
есть |
|
-g - = |
|
+ 0,4Af. |
|
|
|
|
|
тела |
за |
|||||||||||
ti = |
средняя |
|
скорость нагревания |
|||||||||||||||||||||||
времяt |
от |
|
|
|
|
10 до |
t2 |
= 10 -f- |
At. |
|
|
|
|
|
|
|
в |
мо |
||||||||
Чтобы определить скорость нагревания тела |
||||||||||||||||||||||||||
мент |
— 1 0 |
сек., |
найдем |
предел |
средней |
|
скорости |
на |
||||||||||||||||||
гревания при условии, что А^—► О. Получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ДlimІ-У 0 |
Щг |
|
— |
ДlimІ-У 0 |
|
( 8 |
-j- 0,4 A^) = |
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
-д г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Итак, |
в |
|
момент |
t — |
10 |
|
сек. тело |
|
нагревается |
на |
8 |
° |
||||||||||||||
в единицу |
tвремени. Это значит, |
что |
если |
бы, |
начиная |
|||||||||||||||||||||
с момента |
|
= |
8 |
1 0 |
сек., тело нагревалось |
равномерно, то |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в каждую единицу времени температура его увеличи
валась бы на |
°. |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
|
Упражнения |
|
|
у |
= |
2х |
— 1 при любом |
х. |
Найти скорость изменения функции |
|
|
|
|||||||
2. |
Объем |
V |
газа при температуре |
t |
определяется формулой |
|
||||
|
|
|
||||||||
V = 1 + 0,00751.
Определить скорость изменения объема газа при любой температуре.
2) |
3. Найти скорость изменения функции |
у = х2 |
.при |
1) |
х = \, |
||||||
л: = 3. |
|
|
|
|
в |
зависимости |
от времени |
||||
|
4. Сила ітока вР,амперах изменяется |
||||||||||
по |
закону |
= 0,2* |
где |
t |
— секунды. |
Найти скорость |
изменения |
||||
силы тока в конце четвертой секунды. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
§ 63. |
Производная |
функции. |
|
функции |
у — f(x) |
|||||
по |
О п р е д е л е н и е . |
П роизводной |
|||||||||
|
|
|
Дх-у0 |
— ■ отношения |
|||||||
|
аргументу х |
называется предел |
lim |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приращения функции Ау к приращению аргумента Ах, когда A * r » 0 .
§ 63] |
П РО И ЗВ О Д Н АЯ Ф УН КЦ И И |
167 |
Для производной функции у = /(х) приняты обо значения:
у' («игрек штрих»), .
f ' (х) («эф штрих от икс»),
^(«дэ игрек по дэ икс»),.
у' («игрек штрих по икс»).
В целях упрощения производную функции, заданной аналитически, записывают в виде скобок, заключаю щих данную функцию, со штрихом с правой стороны. Например, производную функции у — 2х2 — З х + 1 можно записать так:
|
(2 х2 - Зх + |
1)'. |
|
Из определения производной следует правило: |
|||
Для отыскания |
производной |
функции |
y = f(x) по |
аргументу х нужно найти: |
|
у А у , |
|
1) наращенное |
значение функции, т. е. |
||
2)приращение функции, т. е. Ау,
3)отношение приращения функции к приращению
аргумента, т. е. Ду
4) |
предел этого отношения при |
Д х->0, |
т. е. |
lim диф |
|||
Процесс нахождения |
производной |
|
|
Ах -> о ь х |
|||
называется |
|||||||
ференцированием функции. |
Раздел |
математического |
|||||
|
|
|
|||||
анализа, занимающийся вопросами, связанными с про |
|||
изводной, называется |
дифференциальным исчислением. |
||
П р и м е р 1. Найти производную функции |
у |
= |
|
|
|||
. = X 2 + X.
Р е ш е н и е . 1 -й таг:
УАу — (х -f- Ах) 2 -(—(X -4“ Ах).
2 -й шаг:
Ау = |
(У |
+ |
Ау) — У = (•* + А |
* ) 2 |
|
(х |
+ Ах) — (х |
2 |
-+- х) = |
|||||||||
|
|
|
+ X |
|
||||||||||||||
|
|
= |
X2 |
+ |
2х Ах 4- (Ах |
) 2 |
+ + |
Ах :— х |
2 |
— х = |
) 2 |
+ Ах. |
||||||
3-й |
шаг: |
|
2х Ах |
+ (Ах)2 + |
Ах |
— |
= 2х Ах 4- (Ах |
|
||||||||||
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
А |
|
|
|
|
2х + Ах + |
1. |
|
|
|||||||
|
|
|
Ах |
|
|
Ах |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
168 П РО И ЗВ О Д Н АЯ Ф УН КЦ И И [ГЛ. VII
4-йу'шаг: lim |
- ~ = |
П т |
( 2 * -Ь Ах + |
1) = |
2 ' - - 1. |
|
||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
і |
|
|
|||
|
|
Д х -> О |
|
|
Д х -> О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у — —. |
|||
П р и м е р 2. Продифференцировать функцию |
||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е . |
1 |
-й |
ушаг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 - |
й |
шаг: |
|
|
J + |
А// = |
X |
|
. |
■ . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
+ |
Д |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ді/ = |
О/ + Д 0 ) - 0 = |
7 ^ д 7 - 7 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3- |
й |
шаг:А / / ___ _________ 2 |
|
_ |
2 х — 2 л : — 2 А л : |
|
|
|
2 Д х |
|||||||||||
Да |
|
|
х |
( * |
+ |
|
Д х ) |
2 |
|
А ' (а + |
Д а ) " |
|||||||||
|
|
Да |
|
|
|
|
|
. Х ___ ______________ |
|
|
|
|
|
|||||||
4- |
й |
|
а (а + Да ) |
|
|
|
|
|
|
а (а + Д а ) ’ |
|
|
||||||||
шаг: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
у' |
= Дlimх->0 -Лт^х -= Дlimх -м ЛГ ------а: (,а |
+^ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Да .) J = — х ' |
|
|
|||||||||||||||
Производная |
|
функции |
|
у = |
f(x |
) |
является |
|
также |
|||||||||||
|
|
|
|
|
х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функцией— X2 +аргументаX X |
значение |
производной |
функции |
|||||||||||||||||
f (х)П р и м е р З . |
Найти |
|||||||||||||||||||
|
|
при |
|
= |
3. |
|
в |
|
|
|
|
1 |
|
х = |
3, |
|
производ |
|||
Р е ш е н и е . |
Подставив |
найденную |
уже |
|
||||||||||||||||
ную данной функции |
(см. пример |
|
|
) |
|
|
получим: |
|||||||||||||
|
|
|
|
f |
(3) = |
2 - 3 + |
|
1= |
|
7. |
|
|
|
|
|
|
||||
В связи с данным выше определением производной |
||||||||||||||||||||
можно |
сформулировать |
|
определения |
рассмотренных |
||||||||||||||||
нами |
скорости движения |
(§ |
61) |
|
и |
|
скорости |
|
изменения |
|||||||||||
функции (§ 62) следующим образом.
Скорость прямолинейного движения тела в данный момент равна производной пути по времени, вычислен ной для данного момента.
Скорость изменения функции при данном значении аргумента равна производной функции при этом зна чении аргумента.
'§ 64J |
СВЯЗЬ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РУ ЕМ О СТИ С Н ЕП РЕРЫ В Н О СТЬ Ю |
169 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Найти производные следующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|
2х. |
||||||||||||||||
|
I. |
у = |
4х — |
5. |
|
|
|
|
2. у = |
5х24 + |
|
1. |
|
|
|
|
|
3. |
fу = |
4х2 — |
|||||
f (х) |
= |
—2х2 |
+ |
х. |
|
|
|
б. о(х) = Зх2 - |
2х + |
5. |
|
|
6. |
(t) |
= |
- 2 |
t\ |
||||||||
4. V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
= |
и3 — и. |
|
|
|
|
|
|
8. |
= |
----- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Дана функция f |
|
(х) = |
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
х2 — 5х. Найти: |
|
4) |
Г (—I). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
І)Г(З), |
|
|
2) |
Г (2,5), |
3) П О ), |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция |
у = {(х) |
имеет производ |
|||||||||||||
|
§ 64. Связь дифференцируемости функции с непре |
||||||||||||||||||||||||
ную при каком -нибудь |
значении |
|
то при |
этом |
значе |
||||||||||||||||||||
рывностью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
данная функция непрерывна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
нииТXе о р е м а. £сл« |
f(x) |
|
|
|
при каком-нибудь зна |
||||||||||||||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть |
|
|||||||||||||||||||||||
чении |
|
функция |
|
= |
|
|
дифференцируема, т. е. имеет |
||||||||||||||||||
производную |
(§ 63) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
тогда по определению предела можем написать: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
где а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д х |
|
У' + а, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
|
|
О при Д х —>0. Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ау |
У' Ах |
|
а Ах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Д х - > 0 |
Аи = |
|
Д х - > и |
(у' Ах) + |
|
Д х -> -0 |
(аЛх) = |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
+ |
|
Пт |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
у'Ах) = |
0 |
, |
|
как предел |
произведения |
постоянной |
|||||||||||||||||
[lim ( |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Дх |
|
|
|
|
|
|
малую, |
и |
lim |
|
(оАх)== |
|
, как |
предел |
|||||||||||
->0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
на |
бесконечно |
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д х - > 0
произведения бесконечно малых]. Но функцию, для ко торой при данном значении аргумента выполняется ра венство
lim Ay — 0,
Д х -> 0
мы и называли непрерывной при этом значении apry^ мента (см. § 57). Теорема доказана.