Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4220 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

190

Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

Для нахождения ее производной можно применить об щее правило, однако проще поступить следующим об разом.

По формуле приведения напишем

Отсюда	у — cos и = sin ( у — иj .
Отсюда	у'х =	(cos и)'х — [sin (у	- и)		(2)
В правой	части	равенства (2)	имеем	sin	—

сложную функцию. Применяя формулу (X) для ее диф ференцирования, найдем

[s in ( I -

в ) ] ' -

cos

( I -

и) ( f

- в ) '

Таким образом,

- c o s

( f -

и)(0

- » ; ) = -sm и •их .

(cos

и)'

—sin

и - и'

(XI)

При

и =

формула

(XI)

примет вид

III.

(cos

х)' =

—sin

(ХГ)

Дана функция

где

и = f.

(х).

Представим tg

y =

igu,

в виде частного

___ sin и

Уcos и

иприменим правило (VI) для его дифференцирования. Получим

,( sin и У cos и (sin и)' — sin и (cos и)'

Но	Ух \ COS и )х	cos2 и
Но	(sin и)' — cos и • и'х	[правило (X)],

(cos и)' — —isin и. и'х [правило (XI)],

§ 78]	П Р О И ЗВ О Д Н Ы Е Т Р И ГО Н О М ЕТ Р И Ч ЕС К И Х Ф УН К Ц И Й	191
		191

поэтому

,cos и cos и - и' — sin и ( — sin и) и'

у'

= ----------------

----5----5---------- — =

(cos2

sin2

cos2

1і'х

Итак,

и) и'х

cos2

COS'1 и

Если и — х,

то

( tg

ху -

COS^

IV . Дана

функция

и,

где

u =

f [х).

= C tg

Как в предыдущемУслучае, напишем

cos и

C tg

—: .

Sin

(XII)

(ХІГ)

Применяя правила (VI), (X) и (XI), получим

___/ cos

_ _

sin

(cos

и)'

— cos

(sin

и)'

У*

и\7

\ sinи

}х

и) их

sin2

и • и'

sin

( — sin

— cos

cos

(sin2

cos2

и) их

sin*

sin2

В случае и =

( c t g

и)'х =

имеем

х)'

• sirr

П р и м е р

(ctg

функцию

1. Продифференцировать

(XIII)

(XII Г)

y = c o s ( l + i . ) .	,
Р е ш е н и е . Согласно правилу (XI), при и = 1 +	,
найдем
Й = [с6з(і + ! ) ] ' = - s in ( l + i ) ( l + 1 ) ' .

192

ФОРМ УЛЫ

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIИ

По правилам (III) и (IX*) (і +

= О —

= —“ Г > по-

этому искомая

производная

)

^ rs in (l

i/; = -

Sin (l +

) ( - ^

П р и м е р

2 Y X .

функцию

Продифференцировать

Р е ш е н и е .

sin

данную функцию

в виде

Перепишем

Мы видим,, что

i/ =

(sin

У х

от « =

sin]/A-.

у — степенная функция

Ее производную найдем по правилу (VII):

у'х

[(sin

У х

)2]' =

sin

У х

(sin

У х )'.

от

У х .

По

Но sin]/*. — тригонометрическая

функция

правилу (X) (при

и =

У х )

найдем

(sin У х ) ' — cos ]/дГ ( У 'х)'.

Наконец, по		правилу (VIIГ)					имеем			sin 2 VT
Следовательно,				( І ^ У		_ J ____			■	sin 2 VT
							2ѵт
				У Т		У X		К=
у'	=	2	sin	У Т	cos .		----				VT ’
				ѵ			гѴ х			2

Процесс дифференцирования данной функции можно записать следующей цепочкой равенств:

у'х — (sin2 У'х)' = 2 sin У х (sin У х)' =

=2 sin У х cos У х { У х ) ' =

п ■

і/—

тГ~

sin 2VX

sin

у х

cos У

—

,— .

Упражнения

Найти производные функций:

v — secu.

X —

sin

s =

2. 0 =

(pcos(p.

(/) =

sin

cos

(x) =

— ctg

= tg Ѳ — Ѳ.

5. /а

f (Ѳ) =

Ѳ = Ф +

ctg ф.

(1 — cos /).

9 .

(1- + cos Ѳ) sin 0.

§ 79]	П РО И ЗВ О Д Н АЯ Л О ГА РИ Ф М И Ч ЕС К О Й Ф УН КЦ И И	193

10.

и:

1 —

COS t

И. МѲ)'

+ tg9

12.

у =

Y sin2 .t.

13.

V —

1 +

cos / '

tg Ѳ

---- cos4co.2

14.2

(<p)=— ctg5 ф. Найти

IS. /(<p)=sin2ep,

16.

17.

= sin

я x j\.

18.

(со) = -

a cos ( 5 - / ).

C O S CD

C^.19. s — cos (1 — 2ф).

20. /s

(co)= —= V

tgt.co2.

21.

t =

у2sin(<p2 —Vicф)..

22.

) (0) = sin УІГ.

23.

cos

24.

4 tg 2

n 25.

(/ =

27. s = sin 4 - .

26.

cos — .

1 sin

30.

” 28.

у =

-r- sec2 co.

29. у =

V sec X.

у — sin3 X cos X.

31.

f (/) = 2 sin 2/ cos2 f.

32. / (Ѳ) = 2 sin2 Ѳ cos2 Ѳ.

y — c o s x

Ax.

lj 83.

— g-cos3*.

Д34.

y — — x

----- — sin

sin

3 5 . у

s i n (x

a) c o s (x - a).

3 6 . y =

V C°S* .

3 7 .

3 8 .

г/ = - i - c o s 2

з і п 2 2 ф .

3 9 . s =

s in 2 ф .

^ . 4 0 .

t/ =

7 j - t g

3 - i - .

^ - 4 1 .

i/ =

]

s i n

2x.

4 2 .

= =

V s i n 2 2co.

43.

r =

1 .

, со

л: +

lg 3 * +

— tg3—---- tg —

44.

у = ~

tgs

tg X.

‘ s

Jtt

45.

Точка движется

прямолинейно по закону S =

. Найти:

а cos —

1)скорость движения точки для любого момента времени,

2)при каких значениях t скорость точки равна нулю,

3) путь точки за время 1 — 0; 2; 4; 6.

§ 79. Производная логарифмической функции. Дана функция

Для ее

у =

ln и,

где

u = f (X).

по общему пра

дифференцирования

поступим

вилу.

Ау —

(и

Аи).

й шаг:

{и

Аи)

и,

Ау+= (у

= 1п

— In

й шаг:

+ Ау) —

или

Ау =

——

- ==

ln ^

Ч—~-) •

3-й шаг: і\х

ln ( ' + ¥ )

У_

Д*

7 И. Л. Зайцев

194	ФОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я	[ГЛ. VIII

Умножим

числитель

знаменатель

полученной

дроби в Iправой

части равенства на

Аи.

Получим

(■ +4

)

Ли

и ІП

А*

• + 4 ) - £ - о

Положим

А и

и — а.

так:

(2)

Тогда равенство

(1) перепишется(

или

после

-г - =

------- ln

Ч-а)-

-т—,

A .V

Ах

потенцирования

« ) % .

(3)

Так

как

£ и

(

по

х,

то

функция

имеет производную

Аи

при

Дх-э-О

(§ 64);

но тогда

из

— 0

равенства ( ) следует,

что

при

А х -* О

(4)

а -»-0

^ведь в дроби

знаменатель

не зависит от

Ах,

по

этому его

можно

считать

постоянным при Д х ->

4-й шаг: Найдем предел в обеих

частях

равен

ства

(3),

применяя

правило

(IV)

§ 45:

Аи

lim

lim [ln(

а)“ ] д lim* - о

A J C -»-O

Д д

. 0

Ах

(здесь постоянный — т.

е.

не

зависящий

от

— мно

житель

мы

вынесли

за

знак

предела). Принимая

во внимание

(4),

получим

У'х=

lim [ln(l + а ) “ ]

lim

***

(5)

Займемся

->0

Ах->0

выражением

а)

(в)

lim [ln

а - > 0

§ 79]

ПРО И ЗВО ДН АЯ

л о г а р и ф м и ч е с к о й

ф у н к ц и и

195

равенВ подробныхлогарифмукурсахпределаанализаэтой доказываетсяпеременной.

следую

щая теорема:

предел

логарифма переменной величины

Следова

тельно,

lim fin

( 1

ct)a ] = ln [lim

а)а ] .

( )

lim (1 - f а)а = e

(§

50);

поэтому,

а-»0

правую

часть

равенства (7)

подставив

вместо

а-і»т (

+ а ) а ,6

получим

пе =

Итак,

выражение ( ) равно единице, а потому равен

ство (5) принимает вид

Дlimх -> 0

Ди

или

-т—д *

“

(In ы)' =

— .

(XIV)

'х

производная

нату

номуПолученнаяот деленияформулапроизводнойчитается так:по

аргумента

лога

рального логарифма у — \пи, где u — f(x), равна

част

рифма на этот аргумент.

(XIV)

преобразуется

сле

При

и — X

формула

дующую:

(Іп*)' =

| .

(XIV*)

Если дан десятичный логарифм, то его нужно пред варительно выразить через натуральный. Мы знаем (§51), что

lg и = 0,4343 In и.

Дифференцируя обе части этого равенства по х, полу чим

(lg иух = (0,4343 In и)' ='0,4343 • (In и)'х = 0,4343 **Xи.

196

Ф ОРМ УЛЫ

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

ИЛИ

0,4343,

(XV)

производная десятичного

[ (х),

равна

произведению

логарифма y — \gu, где

производной

натураль

ногот. е. логарифма на постоянный множитель

0,4343.

При и =

X имеем

ж)'

= ^ -0 ,4 3 4 3 .

(XV*)

П р и м е р

функцию

Продифференцировать

у =

и ~

Р е ш е н и е .

In ( л: +

при

л:+

, по

По правилу

(XIV),

лучим

у'х

[In

(2х

)]' =

функцию

П р и м е р

Продифференцировать

у =

ln cos

— JC).

Р е ш е н и е . По правилу

(XIV) найдем

x)Y

у'

= [In cos (I

— x)Y

[cos (I — x)

cos (I —

По

правилу

(XI)

x)' =

[cos (1 —

x)\

— sin (1 — л:) (I —

—

— sin

—

•(—

) =

sin

— je).

Процесс дифференцирования данной функции можно

запирать следующей цепочкой равенств:(									=
У'х = [ln cos (I -		x)Y =	~ l" (Y - x ) ‘ tcos			1	“
=	cos ( h x )		•	sin				-	*Y =
	cos (1				:)] •		(			t g ( l — x),
П р и м е р	3.			• [— s m ( l -	A			— l) =
		Продифференцировать						функцию

у = х* Ѵ т Т 2 £ -

§ 80]	П РО И ЗВ О Д Н А Я С Т Е П Е Н И	П РИ ЛЮ БОМ П О К А ЗА ТЕЛ Е	197
Р е ш е н и е . Сначала преобразуем данную функцию,
применив правило логарифмирования корня:
	у = Т 1	~Ь 2х

Применяя для дифференцирования полученной функ

ции последовательно

правила

(V),2х (XIV),

(VI),

найдем

'/==4

[1п(-

'2х)і

2-х

_ _

-Ь 2JC) (1

+ 2 х - 2 х )

+ 2 х )

2х)г

2 х ( \

2* (1 +

Упражнения

у =

2х.

Найти производные функций:

3. f (ы) = JiL fi-.

= lg

Іп х .

Ѳ =

/ (1п /Г— 1).

f (х) = 2

lg (*

1).

Найти

i).

1).

и = 1 п -^ -.'

(0 .^6 . s =

1п(/2-

/=1п sin а. 9.

1 2 -

= 1 п 2 д г . а 1 3 . « = 1 0 1 n ^ ^ .

1 4 . f ( x ) = I n 5 _ ± ^ .

=У— ln cos /.

10.

(7)=1п (2 cos

11.

(Ѳ)=1п tg 0.

Найти

-~ j.

16. у =

ln (In х).

^ 17.

у = In2 X2.

15.

f (х) — ln ^ 1 +

19.

18.

у = ln

j" £

a .

f (//) =

ln sin у .

^20. у =

In3 sin x.

21.

f (x) =

ln sin

Ü22. s =

In tg-^-.

23.

y — \n2V~lic.

^24.

(|25.у

— tg2x

26.f (x)s == ln cos2(1V ;a 2 —x02.

у —= K ln tg

ln cosx.

27.

ln sec2 x.a28.

In sin

— — sin2

29.

30.

y = l n t g ( - J +

y ).^ 3 1 . y =

ln ( x + V T +

P ) . 32. y =

I n ( l+ x +

+ y r2x + X2).

33. у = ln ^

35. у = ln- Vx2■+l-x . 36.

V x 2+ \ + X

1 ± ± •	34. </ = 1 п \| / " \| І -	2x
		2x'

у = X [cos (ln x) + sin (ln JC)].

§ 80. Производная степени при любом показателе.

В § 74 мы вывели формулу

(итУх = тит~1и'х

для m целого положительного.

198 Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я [ГЛ. VIII

Докажем теперь справедливость этой формулы для

любого показателя. Положим, что в равенстве

(1)

и — функция

,т

постоянное значение.

а т имеет любое

Логарифмируя

это

равенство

по

основанию е, получим

In у =

т 1

х.

( 2)

Как

мы

сказали,

от

Следовательно,х

зависит

с изменением

изменяется

«, но с

изменением

в ра

венстве

(

)

изменяется

у;

таким

образом,

изменения

вызывают

изменения у, поэтому

является

функцией

х.

Отсюда

видно,

что

In у — сложная

функция. Дифферен

цируем по

обе части

равенства

(

), применяя правило

(XIV);

получим

—У =

т ■ U

отсюда

(ит)'х =

тит~1и'х при любом постоянном т.

Итак,

§ 81.

Производные

показательных

функций.

Дана

функция

(о

где

— функция

х,

— постоянная

величина. Пролога

рифмировав

равенство

(

)

по основанию

е,

получим ( 2)

Рассуждая,

как

lny =

«l na

параграфе,

придем

предыдущем

к выводу, что In у — сложная

функция от

Дифферен

цируем

равенство (2)

по

(In у — по

правилу

(XIV),

« I n a — по правилу (V));

имеем

откуда

у' = уи' In а = a“«' In а

Итак,

(а“)' = ааих In а,

(X V I)

§ 81]

П Р О И ЗВ О Д Н Ы Е

П О К АЗАТЕЛ ЬН Ы Х

Ф УН КЦ И И

199

производная

показательной функции

у — аи,

где

и — f (х

равна произведению

трех

множителей,

пер

вый

из

которых

сама функция, второй

производная

т. е.

третий

натуральный

логарифм

осно

показателя и

—

вания.

и =

(XVI)

запишется

сле

случае

формула

дующем виде:

(ах)' = ах 1па.

(ХѴГ)

Если дана показательная функция

где и — функция х, е — основание натуральных лога рифмов, то ее производная найдется по формуле (XVI ):

Итак,

(XVII)

производная

показательной

функции у

еи,

где

f (х),

равна произведению самой функции

на

про

показателя.

изводнуют. е.

При и = х

имеем

{ех)'=--ех.

(XVII*)

П р и м е р

I. Продифференцировать

функцию

Р е ш е н и е . По

правилу (XVII)

находим

П р и м е р

У'х~

ßSln * (s*n

ХУ~ ßSlnх

х’

cos

2. Продифференцировать

функцию

у- е*в2*.

Р е ш е н и е . По правилу (XVII) напишем

У'х = etg 2* (tg 2а:)'.

По правилам (XII) и (V) имеем

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4220 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб99Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб4Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб22Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб20Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб14Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб85Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб1Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб10Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб5Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб3Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб6Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf