Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4224 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

230

И ЗУ Ч ЕН И Е Ф УН КЦ И Й

С ПОМ ОЩ ЬЮ

П РО И ЗВ О Д Н Ы Х

ГГЛ. IX

Определяем максимум функции

ѵ'

nRh

2— §"я^3)

— -^ n R h

—

nil2.

h2 = -^R .

II. -g-

nRh

—

nh2 =

откуда

/г( = 0

III.

v" =

(~n,Rh

— я/i2)

~ ^ n R

— 2nh.

Подставив вместо

сначала

0, а потом

h2 =

получим:

nR’

=о

v' ^ ± R= i n R - 2 n - i R = = ~ i nR-

первом

случае

имеем

минимум,4

во-втором — ис

комый максимум.

при

h = - ^ R

конус, вписанный

Следовательно,

в шар радиуса

имеет наибольший объем.

за

З а д а ч а

Окно

имеет

форму

прямоугольника,

твершенного полукругом; периметр фигуры окна равен 6 м. Каковы должны быть его размеры, чтобы оно пропускало максимум света

(рис. 109)?	Как известно,	коли
Р е ш е н и е .
чество света,	проходящего	через
окно* тем больше, чем больше, пло
щадь окна. Обозначим:

тогда длина

полуокружности

х;

ВтС

будет равна - у - ,

АВ.

6 — AD — ВтС

R— х

— —

высота

окна

--------- ^

--------=

12 — 2х — лх_ '

}-[ЛОщ адЬ всего окна состоит из площадей

прямоугольника

ABCD

полукруга

ВтС.

По

соответ

ствующим^ A BформуламC —

найдем:4 '

12 — 2х — пх

_ 12х — 2х2 — п х г

§ 351	ЗАДАЧИ НА М АКСИ М УМ И М И Н И М УМ Ф УН КЦ И И	231

Л Л Г

ö BmC — —8~ •

Обозначив площадь окна буквой у, получим:

У	=	12л: — 2л:2 — ях2	.	ях2
	=	----------- 4-----------	+ ^	=	я.ѵ2	24л: — 4л:2 — я.ѵ2
		_	24л: — 4л:2 — 2лх2+		я.ѵ2	24л: — 4л:2 — я.ѵ2
		_		8	—	8

Мы видим, что площадь окна у в условиях нашей задачи является функцией его основания х, и задача свелась к нахождению максимума функции у.

Исследуем полученную функцию на максимум:

I-

* '= (

24л: — 4л:2 —

пх2\'

24 — 8х — 2пх

12 — 4л:—ях

4х

■

12 —

= г -

II.

— ял:

О,

откуда

у" = (

4х

III.

—

лх У

— 4 — я

4 + я

-Г

Вторая Xпроизводная

оказалась

отрицательной, зна

чит, при

4: + л■■

площадь

окна

наибольшая.

■■■,2

Для прохождения наибольшего количества света через окно с контуром в б м нужно, чтобы ширина его была равна

12	1 , 6 8	м.
4 + л

Упражнения

1.Разбить число 12 на два слагаемых, произведение которых имело бы максимальное значение.

2.Разбить число 10 на два слагаемых, чтобы сумма их квадра

тов была наименьшая.

3. Число 8 разбить на два слагаемых' так, чтобы сумма их ку бов была наименьшая.

4.Для какого числа разность между этим числом и его квад ратом наибольшая?

5.Какой из прямоугольников с периметром, равным 50 см,

имеет наибольшую площадь?

6. Прямоугольный участок земли в 10 000 лі2 нужно окопать вдоль всей границы рвом. Как выбрать размеры участка, чтобы длина рва была наименьшая?

7. Сумма основания и высоты треугольника равна 10 см. Ка ковы должны быть размеры основания, чтобы площадь треугольника была наибольшая?

232	И ЗУ Ч ЕН И Е Ф УН КЦ И И С ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х [ГЛ. IX

8.Из квадратного листа железа, сторона которого равна 30 см, нужно вырезать по углам четыре квадратика так, чтобы из остав шейся части после сгибания получить коробку наибольшей емкости. Каковы при этом размеры вырезанных квадратиков?

9.Из листа картона прямоугольной формы размером 30X50 см2 нужно вырезать по углам квадратики так, чтобы из оставшейся части после сгибания получить коробку наибольшей боковой поверх ности. Подсчитать размеры вырезанных квадратиков.

10.Окно имеет форму прямоугольника, который сверху закан чивается правильным треугольником. Периметр окна равен 3 м. Каково должно быть основание прямоугольника, чтобы окно имело наибольшую площадь?

11.Сечение шлюзового канала имеет вид прямоугольника, за канчивающегося полукругом. Периметр сечения равен 4,5 м. При ка

ком радиусе полукруга сечение будет иметь					наибольшую пло
щадь?	дм3,		изготовить ящик	с крышкой,	объем	которого
12. Требуется
равен 72		а	стороны основания	относятся,	как 1 :2.	Каковы

должны быть размеры всех сторон его, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей?

13.Объем правильной четырехугольной призмы равен 8 дм3. Какова должна быть сторона основания призмы, чтобы полная по верхность ее была наименьшей?

14.Резервуар емкостью в 4 м3 с квадратным основанием, от крытый сверху, нужно выложить оловом. Каковы должны быть

размеры резервуара, чтобы израсходовать для этого минимальное количество олова?

15.Найти величину радиуса основания и высоту цилиндра, имеющего объем 27я см3, у которого полная поверхность наи меньшая.

16.Какими нужно взять размеры цилиндрического сосуда емкостью в 1 л, открытого сверху, чтобы на его изготовление по требовалось наименьшее количество материала?

17.В равнобедренный треугольник с основанием 20 см и высо той 8 см вписан прямоугольник. Какова должна быть высота прямо угольника, чтобы он имел наибольшую площадь?

18.Из проволоки длиной 120 см нужно сделать модель прямо угольного параллелепипеда с квадратным основанием. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность парал лелепипеда была наибольшей?

19. Из проволоки длиной 90 см нужно сделать модель призмы с правильным треугольником в основании. Какова должна быть сторона основания призмы, чтобы боковая поверхность ее была наибольшей?

20.Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольший?

21.Найти высоту цилиндра с наибольшим объемом, вписанного

вшар радиуса R.

22.В конус, радиус основания которого 6 см и высота 15 см, требуется вписать цилиндр, имеющий наибольшую полную поверх ность. Определить радиус цилиндра.

§ 95]

ЗАДАЧИ Н А М АКСИ М УМ И М И Н И М УМ Ф УНКЦ И И

233

23. На параболе iß = 2* найти точку, ближайшую к точке

А(3; 0 ).

24.Электрическая лампочка висит над центром круглого стола. На какую высоту нужно ее поднять, чтобы она наиболее ярко освещала предмет, лежащий на столе на расстоянии 1 м от центра? (Яркость освещения прямо пропорциональна синусу угла, образо ванного лучом, падающим на предмет, с крышкой стола, и обратно пропорциональна квадрату расстояния предмета от источника света,

25. Картина в		1,4 л*	высотой висит на стене	так, что ее ниж
ний край на 1,8	м	выше	глаза наблюдателя. На	каком расстоянии

от стены должен стать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятным для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения' был наибольший)?

26. Тело движется по закону, данному уравнением

s = 1 0 / + 18/2 — 2 t 3. -

Найти максимальную скорость движения тела.

27.	Путь, пройденный			телом,		брошенным вертикально вверх
с начальной скоростью		ѵ0,	определяется из равенства
			s =	ѵ0і —	J	g t 2.
Определить высоту наибольшего подъема тела.
28.	Энергия, отдаваемая электрическим элементом, определяется
из равенства

P (R + r)2’

где Е н г — постоянные величины. При каком соотношении между R

иг величина Р имеет максимум?

29.Прочность прямоугольной балки пропорциональна произве

дению ширины ее на квадрат высоты. Найти размеры наиболее прочной балки, которую можно вырезать из цилиндрического бревна диаметром в а см.

30.Из круглого бревна диаметром d нужно вырезать балку одинакового по всей длине прямоугольного сечения. Зная, что со противление на сжатие пропорционально площади сечения, опре делить, каковы должны быть стороны прямоугольного сечения, чтобы сопротивление на сжатие было наибольшим.

31.Для балки, лежащей на двух опорах, с равномерно распре деленной нагрузкой по всей длине I момент изгиба в какой-либо точке А балки определяется из равенства

M = ~2 q l x - J qx~'

где X — расстояние точки А от одной из опор, а q — нагрузка на единицу длины балки. Показать, что максимальный изгибающий момент находится в центре балки. Определить величину максималь ного изгибающего момента.

234	И З У Ч Е Н И Е Ф УН КЦ И Й С ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х (ГЛ. IX

§ 96. Построение графиков функций. В настоящей гла ве мы познакомились с тем, как изучаются свойства функции с помощью ее производных. Знание этих свойств позволяет нам получить представление о функ ции, а также построить ее график.


	П р и м е р .				Построить график функций				у	х3—х2+
	Р е ш е н и е .				Исследуем			данную функцию		на	макси
мум и минимум.
	1у'=(I3- 2+т)'=т2- 2-								откуда		хх — О
и	х2II. у х 2 — 2х — 0, или							X 2 — 4.ѵ = 0,	откуда		хх — О
и	=	4.		( у * 2-			2х)' =	х - 2 ,
	III.	І/" =		( у * 2-
	y ' U =			0 - 2		=	- 2 .
	У"=4		=	0 - 2		=	- 2 .
			=	4 - 2		=	+ 2.

При X = 0 функция имеет максимум, при х = 4 — минимум.

IV. Найдем ординаты точек, соответствующих мак симуму и минимуму функции:

^ = о = т - ° 3		- °	2	+*	!2= 4 -		■		- 4
	3		2
__ 1	л о		j 9		32	• /ч		2		•	2
0*=4=-б	•4	- 4 - +			т = ^ - - 1 6		+ т =				т .

Координаты искомых точек суть

Исследуем теперь данную функцию на точку пере гиба; для этого найденную вторую производную при равняем нулю:

откуда	X — 2 =	0,
откуда	X = 2.	х — 2	имеет	место	хпере
Чтобы убедиться,	что при		имеет	место	хпере
гиб, определим знаки второй		производной		для	<С
					2

§ 561	П О С ТРО ЕН И Е ГРАФ И КО В Ф УНКЦ И И	235
		235

— 2

и для >

; в результате

1получим:

X — 2

y'U

з=

3 - 2

------ 1.

= + .

Смена знаков второй производной показывает, что ар

гументу

соответствует

точка

перегиба.

Найдем

ее ординату:

0 = Т - 23- 2! + Т - 24 - 2 4 + Т = - 2:

координаты точки перегиба

( ; — ).

Чтобы

яснеех

— — 2

функции,

представить

график .данной

вычислим координаты еще нескольких точек*). Поло

!/х

) 3

—

, получим:

жив, например,

} =

— 4 } ,

— 5 = У ’ (— 2

— (— 2)* +

! - = — }

— 4 +

ä ,^ = 1 . 6» - 6 4 -1— 3 6 - 3 6 + 4 = } .

точек

суть

2 ; —

Координаты дополнительных

^ ; J - j . Составим

таблицу

найденных значений коорди

нат точек:

'- 2
1	Ы
	3

0	2	4	6
2	—2	- 4 - \|	2
3	—2	- 4 - \|	3
3		3	3

Построим все эти точки и проведем через них плав ную линию (рис. ПО).

Для построения графика функции следует:

1.Найти значения х , при которых данная функция имеет максимум или минимум.

2.Найти значения х, при которых график функции имеет точки перегиба.

*) Часто бывает полезно найти точки пересечения кривой с осями координат, однако это нередко связано с большими труд ностями при решении уравнений высших степеней или трансцендент ных уравнений.

236	И З У Ч ЕН И Е Ф У Н К Ц И И С ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х [ГЛ. IX

3. Вычислить значения ординат точек, соответствую щие найденным значениям абсцисс; присоединив к этим точкам еще несколько дополнительных, записать най денные значения х и у в таблицу.

Рис. ПО.

4. Построить найденные точки и провести через них плавную линию.

Упражнения

Построить графики функций:

4х.

1. у =

2. у

= 2л2

6л.

= -

2л2у

X 4.

4. у =

X2— 6л + у

X 3

X.5.

— хгѵ-2+ 4х — 3,5.

6 .

Л.7.

X 3

— 3*.

10. у =

4О - X3 — 4.

у==

л5.- -I X38.+ 2Х2 —1.+

у =

13. у = ± х 3- х

+ 3.

12.

у =

-і- я3 - За- +

14.

у =

2л-3 -

9-ѵ2 +

!2 л +

15.

у =

-і-л4 — 8х.

16.

у =

л4 -

2л3 +

Г Л А В А X

ДИФ ФЕРЕНЦИАЛ

§ 97. Сравнение бесконечно малых величин между со бой. Понятие о дифференциале. I. В § 44 мы рассмот рели действия над бесконечно малыми величинами и показали, что в результате сложения, вычитания и умножения их получаются также бесконечно малые величины. Однако частное от деления двух бесконечно малых друг на друга может быть не только бесконечно

малой величиной,					но и	бесконечно большой и		ко
нечной.		2		2	пусть, например,		а — бесконечно	ма
В	самом	деле,
лая,	тогда	а	и		а будут	также	бесконечно малыми.

При делении их друг на друга возможны следующие случаи:

1) отношение — =

а - - бесконечно малая

величина,

отношение Д -= = -—

бесконечно

большая

вели-

чина,7

а.

— конечная

величина.

3) отношение— =

ма

Первое

отношение

показывает,

что

бесконечно

лая

составляет ничтожно малую

часть от

и,

сле

довательно,

стремится

нулю

значительно

быстрее,

чем

а.

отношение

указывает

на

то,

что а,

неогра

Второе

ниченно уменьшаясь, остается значительно больше, чем а 2, т. е. стремится к нулю медленнее величины а 2.

238

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

[ГЛ. X

Сказанное можно иллюстрировать следующей табли

цей:

0 .1

0 ,0 1

0 , 0 0 1

0 , 0 0 0 1

. . . - > 0

а 2

0 ,0 1

0 ,0 0 0 1

0 , 0 0 0 0 0 1

0 ,0 0 0 0 0 0 0 1

. . . - > 0

0 ,1

0 ,0 1

0 ,0 0 1

0 ,0 0 0 1

. . . ^ - 0

1 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0 0

. , . —> о о

Принято бесконечно

малую а

по отношениюпорядка.к

называть

бесконечно

малой

высшего

порядка

малой

низшего , а а по

отношению к

— бесконечно

Что касается третьего отношения, то из него сле

дует, что

бесконечно

малые

а и

стремятся к нулю

с одинаковойа

скоростью, так как при их изменении от

ношение

—

остается

постоянным.

Такие

бесконечно

малые

имеют,

как

говорят,

одинаковый порядок ма

бесконечно

лости.

•Таким образом, частное от деления двух

малых величин позволяет сравнивать их между собой. Это сравнение особенно полезно в приближенных вы числениях, где отбрасывание бесконечно малых выс шего порядка приводит к значительному упрощению

вычислений.

Сравнить

порядок

малости х

П р и м е р

если

X —

>0.

Найдем

Р е ш е н и е .х

X2)

0 -f 0 = 0.

Нт

* =

lim ('jc -f-

х - > 0

Х -> 0

х2-\-х

Следовательно,

бесконечно

малая

г — высшего

порядка, -чем* 0 .

х.

Зх-\-х3

РПершихемнеире .

Сравнить

порядок

малости

если

lim

3 + 0 = 3.

- х

X х- — х

X2)

lim (3 -f-

*->о

§ Щ	С Р А В Н Е Н И Е Б ЕС К О Н ЕЧ Н О М АЛЫ Х В ЕЛ И Ч И Н	239

Как видно, бесконечно малые Зх-}-х3 и х имеют оди

наковый порядок малости.

малости

]/х

х,

П р и м0е р

Сравнить порядок

если л: —»- .

Р е ш е н и е .

—

Нт

VX ■ Ух

— lim

—~ o o .

*lim-

хѴхі

Ух

»■ 0

x - > 0

* - » 0

Итак,2tg2x, бесконечно

малая

]/х

— низшего порядка,

чем

х.

П р и м е р

Сравнить порядок

малости

3sin3x и

если х - >

Р е ш е н и е .

х В

было

показано, что sinx

и tgx

эквивалентны

при

х - > , а

потому

sinx и t gx можно

заменить на х. Приняв это во внимание, найдем:

3sin3

- »

, .

З 3

1 - 3

—

3 ( s i n А ')3

х -> 0

-2^аXг-

— х - ^ 0 г

lim 2 tg2 л

lim

2 (tg х)2

lim

*->о

Отсюда видно, что бесконечно малая 3sin3x более вы

сокого порядка

малости, чем

П р и м е р

Показать,

что

при

х —>-0

бесконечно

малые

tg2x + 3 sin3x и х

имеют

одинаковый

порядок

малости.

Зная, что

при х —>0

tgx

и sinx

эквива

Р е ш е н и е .

лентны X , найдем:

lim ------^—

!im

( 2

Зх) =

lim —----------------=

А - » 0

х->0

Х - + 0

2t g2x +

3sin3x

Таким

образом,

бесконечно

малые

X 2 — одинакового порядка малости.

Решение данного примера можно немного упро стить, если отбросить 3sin3x как бесконечно малую

более	высокого порядка,			чем		tg2x (см..			пример 4):
	-0	2 tg2	А	А -		> 0А 2
	lim		А	Пт		2	а 2	2
	А-Э	А 2						2
	А-Э	А 2
Результат получился тот же.
II.	Возьмем функцию			у =	х2; ее приращение
	l x y = 2 x k x +			{l±xY			[(3) § 55].
							[(3) § 55].

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4224 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб101Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб4Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб23Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб20Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб14Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб85Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб2Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб10Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб5Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб3Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб6Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf