книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

взятого. Выберем, например, дробь 1QQQ . При п = 10 по­

ное значение —а. В этом случае при сс->-0 абсолютная

заны функциональной зависимостью

где с = const. Как видно, с увеличением объема ѵ дав­ ление р уменьшается. Если объем ѵ увеличивать не­ ограниченно, то давление р будет неограниченно умень­ шаться. Какое бы малое положительное число е мы ни взяли, можно подобрать величину ѵ настолько боль­

число, абсолютная величина которого больше 1000, причем абсолютные величины последующих членов также больше 1000.

—Ю -8 - Б -4 -2 0 2 4 6 в Ю

Рис. 6 6 .

Геометрически изменение величины у можно пред­ ставить изменением абсциссы точки, удаляющейся в бесконечность по координатной оси (рис. 66):

вать с очень большим числом, так как последнее по­ стоянно, бесконечно большая же величина — пере­ менная.

•Если у — бесконечно большая величина, то услови­ лись записывать

у- + о о

ичитать: «игрек стремится к бесконечности». Необходимо помнить, что символ бесконечности не

выражает определенного числа, а указывает только на

принимает соответственно значения: 1; 2; 3; 4; 5; . , ,

Если X неограниченно уменьшается ( х —»-О), то у не­ ограниченно возрастает, т. е. будет бесконечно боль­ шой величиной, так как, какое бы большое положи­ тельное число N мы ни взяли, найдется такое малое

1 тогда — примет соответственно значения:

1; 10; 100; 1000; ... ->оо,

т. е. будет бесконечно большой величиной.

Ѵ^' § 43. Понятие о пределе переменной. Пусть перемен­ ная X , изменяясь, неограниченно приближается к числу 3 и при этом принимает значения:'

3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; . . .

или

2,9; 2,99; 2,999; 2,9999; . . .

В этих случаях абсолютная величина разности х — 3 стремится к нулю. В самом деле, при указанных выше значениях переменной х

|д: — 3 1= 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ...->0,

т. е. разность х — 3 есть величина бесконечно малая. Число 3 в нашем примере называется пределом пе­

ременной X.

Предел обозначается символом lim (от француз­ ского слова limite, что значит предел). Таким образом, в нашем случае можно написать:

Отсюда следует, что предел бесконечно малой вели­ чины равен нулю, т. е.

1іша = 0.

Если переменная х неограниченно возрастает, то говорят, что она стремится к бесконечности: в этом случае условились писать:

lim X = оо.

Если вершина В движется равномерно и безостано­ вочно по прямой, параллельной AD, то углы х н а ста­ новятся переменными, причем а будет бесконечно ма­ лой. Таким образом, в равенстве (2) разность между

Будем неограниченно увеличивать число п сторон этого многоугольника. Тогда hn и ~~ станут переменными

Произведение —8а также является бесконечно малой величиной, так как, какое бы малое положительное' число е мы ни взяли, в последовательности (1) най­ дется дробь, абсолютное значение которой меньше е. Например, абсолютная величина —8а может сделать­

малых можно распространить и на случай произведе­ ния ограниченной переменной величины на бесконечно малую.

Это следствие справедливо и для произведения двух бесконечно малых величин, а также для произведения нуля на бесконечно малую, так как бесконечно малые величины относятся к ограниченным переменным (при­

Возьмем произвольное положительное число е. Так как а и ß — величины бесконечно малые, то |а| и |ß| каждая в отдельности с некоторого момента сделается и будет оставаться меньше любого положительного числа

Но на основании § 38, п. 1,

"|a + ß | < | a | + |ß|. Поэтому, начиная с некоторого момента, будет

величина, так как, какое бы малое положительное чис­ ло е мы ни взяли, среди членов последовательности

(2) найдется дробь, абсолютная величина которой меньше е; например, |a + ß| может сделаться меньше 0,0001; 0,00001; 0,000001 и т. д.

Пользуясь методом математической индукции, лег­ ко доказать, что:

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Нужно помнить, что конечность числа слагаемых в формулировке этого свойства существенна. Если нужно сложить бесконечно большое число бесконечно малых величин, то указанное свойство может оказаться неверным. Пусть, например, дана сумма п слагаемых

— + — + — + ••• + - •

п п п п

Если число этих слагаемых неограниченно растет, т. е.

оо, то каждое слагаемое - — бесконечно малая вели-

П

чина, т. е. -^•-»•0; однако сумма таких бесконечно малых

равна ~ • п — 1, т. е. не есть бесконечно малая величина.