книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

140

ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В

[ГЛ. V

РМ

.A M

AN

( 1)

R

< -

R

< R

или

,К.

- s i n

<

1

X

( 2)

1

>

.

------ > c o s x .

Положим теперь, что х —>-0; тогда

Но так ках отношение

C O S X —>-1.

sm *

согласно неравенствам (2)

заключено

между единицей

и cosx,

то оно и подавно

стремится к единице.

-Л-----------1--------- 1-----3»-

О

cosjo

76.

sing7

7

-+-

Рис.

X

Это стремление отношения

к единице хорошо

§ 49]

Э К В И В А Л ЕН Т Н Ы Е Б ЕС К О Н ЕЧ Н О М АЛ Ы Е В ЕЛ И Ч И Н Ы 141

Итак,

* - > 0

X X

1 .

sin

lim

нечно

малых

величин

sin

х

и

х,

0 причем

этот предел

оказался равным единице; поэтому sinx и

х — эквива­

лентные бесконечно малые при х - >

.

х

х

0

Можно указать и на другие эквивалентные беско­

нечно

малые

величины,

например

tg x

и

при

->■ .

В самом деле,

sin

X

lim - ^ - = lim

X

-»0

Xsin

X

1

COS

X

X

COS

X

lim

COS

X

x

sin

=

.

:-> 0

X - + 0

c o s

-

lim

X

•lim — !— =

1 - 1

1

л

П р и м е р

1.

Найти

Xlim0-----х ^— .

что

sinx и х

при

X

Р0е ш е н и е .

Мы уже

показали,

► — эквивалентные бесконечно малые

величины;

по­

этому в данном выражении можно

sin у

заменить

его

аргументом

у .

Сделав это, получим:

,.

sin2f

-

(іТ

\_

lim

-

х

= хlim —-г -

4 ’

*->о

2

-*о

х

П р и м е р

2.

Найти

lim. ,

■ .

:

')х- .

Ьх—

к

г

Ьх

д

^ 0

sin

Р е ш е н и е .

При

х —>0

также а х —>0 и

*0; по­

этому

sin ах

й

sin

— бесконечно

малые

величины.

§ 51]

Н А ТУ РА Л Ь Н Ы Е Л О ГАРИ Ф М Ы

143

Предел

(l + -jj-j

при

n ->

oo, равный прибли­

женно 2,718, принято обозначать буквой

е.

Итак,

П->оо \

+

-ПТ)

= <?~ 2,718.

lim (l

Можно также доказать, что для любой бесконечно

малой величины а

(1

_і_

е.

lim

а)а =

вания числа

1 0

и

е:

N = I Q X

и

х

—

N =

ey,

а

у

—

натуральный

десятичный,

где, как известно, N.

логарифмы

числа

Из написанных

равенств следует:

1 0

* =

ев.

ванию

1 0

, получим:

x \ g 1 0 = у lg в,

ИЛИ

x = y \ g e ,

откуда

у

~

X е '

Заменяя

х

и

у

___

lg

N

и In А/, напишем:

соответственно через lg

lg в

В таблице логарифмов найдем:

Поэтому

lg е =

0,4343.

•-р!— ’= lg A /

0,4343

I g A / - 2, 303, (1)

\п N =

\g N

десятичный

lg

N =

ln

N

-0,4343,

т.

е. 0,4343.

логарифм

числа

равен произведению

натурального логарифма этого числа на множитель, рае- .

ный

In 2.

П р и м е р . Найти

0,3010-2,303 « 0,693.

Р е ш е н и е .

In 2 =

lg2-2,303 =

8

.

Найти:0 1

In 3. 2.

ln 12.

Упражнения

6

. ln 0,16. 7. ln 0,84.

ln1.

, .

3. ln 4,5.

4. ln 10,5. 5. ln 0,2.

Ф УН КЦИ Я

Г Л А В А

VI

И ЕЕ П РО СТЕЙ Ш И Е СВО Й СТВА

§ 52. Символика

функциональной зависимости. Как

указывалось (§

6

),

переменная

у

называется

функцией

переменной

х,

если

каждому допустимому значению

х

соответствует вполне определенное значение

у.

Задать

рые нужно произвести над аргументом

х,

чтобы получить

соответствующее значение

у.

Пусть, например, функция задана уравнением

у =

л + 2 / 7 - 1

2

------------------- .

над

аргументом, а

только факт, что yодна

переменная

величина зависит

от другой

переменной

величины.

В этом случае

также принято

писать

= f(x),

разумея

под

символом

f{x)

неизвестную совокупность действий

над аргументом

х.

ких

Если в одном и том же вопросе речь идет о несколь­

различных

функциях, то,

чтобы не смешивать их,

146

Ф УНКЦИЯ И Е Е П РО СТЕЙ Ш И Е с в о й с т в а

[ГЛ. VI

УгДадим=

X

ряд

у =

х2 — х. ху =

1,

х%—

3,

Хз ( 1)

уз

значений, например

= 5

и т. д.; тогда

у

получит соответствующие значения

уу —

О,

6

х и Хг, xs

У2 , Уз,

Уи

Числа

называются

а

1

Если совокупность действий над аргументом функции

(

)

обозначить символом

f(x),

то можно написать:

f(x) =

x2 — x.

так:

/ (3) =

6

f

20.

f (1) = 0,

f, (х) =(5) =

П р и м е р . Дана

функция

2x2-j-x —

3)

/(2),

4)

f(a).1. Найти:

1) / ( — О.

2) /(0),

3)

/(2) =

2 -2

2

+a

2 — 1 = 9 ,

4)

f (a) =

2 a2

+

— 1 .

II.

Как видно, функция в разобранном примере имеет

действительные

значения

при

любых

действительных

значениях

х.

Однако

часты

случаи, когда функцияне сущест­при

некоторых действительных значениях аргумента не имеет

действительных значений, или, как говорят,

вует.

Например,

функция

у

=

~

при

х

= 0 не суще­

ствует, так как

не выражается никаким числом; функ­

§ 54]

ГЕО М ЕТР И Ч ЕС К О Е И ЗО Б Р А Ж ЕН И Е Ф У Н К Ц И Я

147

Например, областью определения функции у =

хг

х, яв­

ляется совокупность всех действительных значений

т. е.

— ОО

< х <

оо;

для

функции

у

=

V

X12

—

1

область определения состоит

из действительных значений

х,

абсолютная величина ко­

торых не меньше единицы, т. е.

f(x) =

Упражнения

1. Дана функция

2х —

1. Определить

),

)

f

l ) ff (

2

2

( ), 3)

f

(—

).

2. Дана функция

(х) =

Зл:4-)- 1.f Определить

—

1) /(—2),

2) / (5),

(2d),

44)

j

(а

1).

3)f (х) =

*

2х2

+

3. Показать, что для функции

х.

З

—

1 справедливо

равенство f (—3) = f (3).

} ( —x) =

— f(x).

4. Дана функция

!( х ) — х г —

Доказать,

что

65. Как записать, что числа 2 и —3 служат корнями уравнения

/(*) =

0

?

определения функций:

. Найти область

1

4)

у =

Ѵ

X]

1

У

у — ln 1 —

2 )

1 + х

5)6

х;

у

2

у =

ех;

3))

К --

)

у

=

arcsin

X.

у—Ѵх—1;

7)

Пусть

§

54.

Геометрическое

изображение

функций.

у — f (х)y. =

f(x),

дана функция

Из аналитической геометрии мы

знаем,

что уравнение

вообще

говоря, опреде­

ляет

некоторую

линию,

которую

называют

графиком

§ 5-1]

ГЕО М ЕТР И Ч ЕС К О Е И ЗО Б РА Ж ЕН И Е

Ф УН КЦ И И

149

Мы видим, что уравнением

у2 — х3

заданы две функции:

у

=

У х 2,

и

у —

—

У х3,

х

Составим следую­

область определения которых

^

0.

щую таблицу значений

х н у ,

вычисляя

У х 3.

0,5

X

0

1

2

и

0

±0.35

± 1

± 2 , 8

X,

если

X

0

У = —X,

X

^ 0 ,

Р е ш е н и е .

если

< .

Здесь функция задана двумя уравнени­

ями:

у =

X,

где

X

имеет только положительные значения