Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1268 вузов, 4650 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf
Скачиваний:
85
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
16.43 Mб
Скачать
☆

240

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

[ГЛ. X

 

Множитель при Ах есть производная данной функ­ ции, а потому последнее равенство можно переписать так:

А у = і/ Ах + (Ах)2.

(1)

Сравним изменение величины обоих слагаемых пра­ вой части равенства (1) с уменьшением Ах. Положив, например, х = 2 и, следовательно, у' — 4, составим сле­ дующую таблицу значений этих слагаемых:

Ах

1

0 .1

0 ,0 1

0 , 0 0 1

у'Ах

4

0 . 4

0 , 0 4

0 , 0 0 4

( Д * ) !

1

0 ,0 1

0 , 0 0 0 1

0 , 0 0 0 0 0 1

Как видно из таблицы, слагаемые у'Ах и (Ах)3 уменьшаются с уменьшением Ах, причем первое — про­ порционально Ах, второе же значительно быстрее.

Покажем, что то же самое справедливо для любой дифференцируемой функции f(x).

Пусть дана функция y = f(x). Ее производная

 

 

 

 

y' —

lim

М .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.x

 

 

 

 

 

 

 

Согласно

 

 

Д х-J-O

 

 

 

переменной

 

 

 

 

 

определению

предела

 

 

(§ 43)

имеем:

 

 

У_

у' +

а,

 

 

 

 

 

 

6х =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где а — бесконечно малая

величина при

А х —

 

 

 

 

► О. Отсюда

 

 

 

 

 

Ах

 

 

 

 

 

y'

(2)

. И здесь

 

 

Ау = у'Ах-\-а Ах.

слагаемоеа Ах

 

 

при уменьшении-

 

первое

 

Ах

уменьшается

 

пропорционально

Ах,

второе же слагаемое

а Ах

уменьшается

быстрее, так

как

отношение

 

 

=

— -^т — бесконечно

малая

величина

при

у' ф 0

, т. е. по

У

 

к

 

величина

 

 

— бесконечно

малая

отношению

у'Ах

ос

Ах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 37]

 

 

С Р А В Н Е Н И Е

БЕС К О Н ЕЧ Н О МАЛЫХ В ЕЛ И Ч И Н

 

 

 

241

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у'Ах

 

 

 

 

высшего порядка. ПоэтомуГлавнаявыражениечасть у'Ах приращенияназывают

 

главной частью приращения

 

 

 

 

 

 

 

y =

f(x).

 

 

 

 

функции у

 

f(x)

 

называетсяфункции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е .

 

 

 

дифференциалом функции.

 

 

 

 

 

=

 

dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции

 

y =

f(х)

 

принято

обозна­

 

Дифференциал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чать символом

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциал

 

 

dy

=

у' Ах.

 

принимают

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

аргумента

 

 

равным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дат, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приращению аргумента dx = Ах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому равенство (3) можно переписать в следующем

 

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d y = y ' d x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дифференциал

функции

 

равен

 

произведению

про­

 

т. е.

 

 

 

(4)

 

изводной функции на дифференциал .аргумента.

 

 

 

 

Из формулы

(4)

следует:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

 

циалуРавенствоаргумента.(5) показывает, что

производная функции

 

есть отношение

дифференциала

функции

к

дифферен­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На

этом основании производную функ-

 

ции часто выражают в виде

 

dy

 

и

 

 

читают: «дэ игрек

 

по дэ

икс».

Заменив

в

равенстве

(2)

 

у'Ах

символом

 

dy,

на­

III.

 

 

 

 

 

 

 

пишем:

 

 

 

 

 

 

Ay — dy +

aAx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

Как

 

было

показано

выше,

 

а Ах

— бесконечно

 

 

( )

 

 

 

 

 

малая

 

высшего

порядка по отношению

к

у'Ах — dy,

а потому,

 

отбросив

в

равенстве

6

 

 

 

 

 

 

 

а

Ах,

получим:

 

 

 

( )У слагаемое

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

«

 

dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

 

В

 

практических

 

 

 

часто

 

используют

 

 

 

 

вопросах

 

 

форму­

 

лу (7),

т. е.

берут

дифференциал

 

функции

вместо

ее

 

приращения,

делая при

этом

незначительную

ошибку

 

и тем меньшую, чем меньше

Ах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

242

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

[ГЛ. X

 

Пр и м е ч а л

=dy. В самом ние будет:

и е. В случае линейной функции Ау = деле, для функции y = kx-\-b прираще­

Ау

=

k (х

+ Ах) +

b —

(kx Ь) —

 

b

 

kx

 

b = k

 

 

 

 

—+kx

-f

k Ах

+

—

—

Ал-.

 

Множитель

k

есть

 

 

 

 

 

 

 

производная

 

линейной

функции;

поэтому правая часть последнего равенства выражает

дифференциал данной функции, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

k Ах

---

dy.

 

 

 

Итак, в случае линейной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

А

У

=

dy.

 

 

 

 

1. Показать, что

при

х

Упражнения

 

 

х;

 

 

- >0

 

 

 

 

 

 

а) 5.V3 — бесконечно

малая

величина высшего

порядка,

чем

х;

б)

Зл:

»

»

 

»

 

 

одинакового

»

с

х.

в)

У X 2

»

»

 

»

 

 

 

низшего

»,

чем

 

 

 

 

 

 

 

2.Показать, что при л -> 0 2х3+ 4х — бесконечно малая ве­ личина одинакового порядка с х.

3.Показать, что при х -> 0 2лг3 + 4,ѵ2 — бесконечно малая ве­ личина высшего порядка, чем х.

4.Показать, что при х -> 0

а) 2 sin

X

— бесконечно

 

малая

величина

одинакового

порядка с

х\

б)

sin2

X

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

»

 

 

 

»

2х

высшего

»,

 

чем

х\

в)

tgf

Зх

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

»

 

 

 

»

 

одинакового

»

 

 

с

х.

 

5. Сравнить порядок малости sin

+ tg

Зх

 

и

х

при х -> 0 .

 

 

а)

6. Сравнить

порядок малости:

 

г)

tg3

 

и

 

 

 

 

 

если

 

—> 0;

I — cos

X

и

X,

если

 

х ->

0;

 

 

 

X

 

X s,

 

 

X

б)

1 — cos

X

и

X

2,

 

»

 

 

X —>

0;

 

 

 

д)

1— cos

2х

 

и х , »

 

X

-> 0.

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

V

1 — cos

X

X,

»

 

 

X ->

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

7. Сравнить порядокх малости:

г) cos 2л: и ctg

2х,

если

 

 

 

JT

1 —X

 

 

и

1 —

X 2,

если

->

I;

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

X

и

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

д) cos2 X

 

и

sin 2х,

»

X -> -2-,

cosX

 

 

sin 2дг,

X.

 

 

X —>

 

 

в)

sin

 

 

 

и

 

 

1— cos

 

 

»

 

л->-0;

 

х 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Показать, что tg л — sinx

и

— бесконечно

 

 

малые величины

одинакового

порядка,

если

х

-> 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 98. Геометрическое изображение дифференциала.

Возьмем функцию y = f{x), график которой изображен на.рис. 111. Пусть абсцисса точки М

ОР — х ;

§ 9S] ГЕО М ЕТР И Ч ЕС К О Е И ЗО Б Р А Ж ЕН И Е Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л А 243

тогда ордината ее

х

PM — y — f (х).

 

 

 

 

Дадим

аргументуMQ\\Ox.

приращение

РР\ = dx

и

восставим

 

 

Ох,

в точке

Р 1

перпендикуляр

Р\МХ

к оси

а из точки

М

проведем

 

Тогда, как известно

(§ 56),

 

 

QM, = Ау.

Проведем в точке М касательную к кривой; полученный при этом отрезок QN, равный приращению ординаты

точки М, движущейся по касательной, называется при­ ращением ординаты касательной. Из прямоугольного треугольника MNQ имеем:

QN = MQtg Z. NMQ.

Но

MQ = РР\ = dx,

а вспомнив геометрический смысл производной (§ 6 6 ), запишем:

Поэтому

tg Z

NMQ =

tg а — y'.

 

 

97)

QN - tf dx.

 

 

Согласно (4) (§

y' dx =

dy,

 

 

следовательно,

 

QN =

dy.

 

 

Таким образом,

если

в точке Л4 кривой

y — f(x

) прове­

сти касательную, то

дифференциал функции

y — f(x)

 

 

 

 

244

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

ІГЛ. X

 

в этой точке изобразится приращением ординаты каса­ тельной, соответствующим приращению ее абсциссы на dx.

- Дифференциал функции в данной точке может быть как меньше приращения ее (рис. 1 1 1 ), так и больше (рис. 1 1 2 ).

dy

§ 99. Дифференциал второго порядка. Дифференциал

функции

у =

\{х),

называемый

первым дифферен­

циалом

или

дифференциалом первого

порядка,

 

 

 

 

 

х,

 

 

 

 

вторымпред­

дифференциаломставляет собой также дифференциаломфункцию а потомувторогои

порядка.от него

можно найти дифференциал, который называют

 

 

 

 

 

или

d(dy)

 

 

d2y

 

 

 

В этом

случае

пишут

или короче

и

 

читают:

«дэ два

игрек».

 

дифференциала второго

 

порядка

 

Найдем выражениеX

 

от функции через ее производную. Для этого продиффе­

ренцируем по

 

равенство

 

 

 

 

 

 

dy — tf dx,

считая dx постоянным множителем (так как dx не за­ висит от X):

d2y = d (у' dx) = d (у') dx.

d {у') — у')' dx — у" dx.

 

Но согласно формуле (4) § 97

 

Поэтому

(

О)

d2y =

у" dx •dx — у" dx2,

т. е. дифференциал второго порядка равен произведению второй производной функции на квадрат дифференциа­ ла аргумента.

Из равенства (1) следует

Это дает основание для выражения второй производ­ ной функции в виде отношения которое читают так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат».

§ 100]

П Р И Л О Ж ЕН И Е Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л А

245

 

§ 100. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Рассмотрим несколько примеров использо­

вания

дифференциала

в

приближенных вычислениях,

а) Н а х о ж д е н и е п р и р а щ е н и я ф у н к ц и и .

П р и м е р

1

. Найти

приближенно приращение функ­

ции

у — 2х2

-)- 3 при

X —

2 и

Ах

= 0,001.

Р е ш е н и е .

 

Так как

 

 

приращение аргумента — вели­

чина малая, то согласно формуле (7) § 97 можем при­ ращение функции заменить ее дифференциалом.

Дифференциал же данной функции

 

 

 

 

dy

=

(2х2

+ 3)'

dx — Ах dx.

(

1

)

Заменив

в равенстве (1)

х

и

dx

их значениями,

по­

лучим:

dy =

4 • 2 •0,001 = 0,00 8 .

 

 

 

Следовательно,

Ау я* 0,008.

Посмотрим, какую ошибку мы делаем, беря диффе­ ренциал вместо приращения. Для этого найдем точное значение приращения функции (см. пример 1, § 55):

Ау = 4х кх 4- 2 (Ах) 2 =

=4 • 2 ■ 0,001 + 2 (0,001) 2 = 0,008 4 0,000002 = 0,008002.

Сравнивая полученное точное значение Ау с приближен­ ным, видим, что допущенная ошибка равна 0 ,0 0 0 0 0 2 . Выражая ее в процентах, найдем:

 

0,000002

0,00025

= 0,025%.

 

 

 

0,008002

 

 

 

 

см. см

 

 

Ошибка оказалась очень малой.

R

=

был

нагрет,

П р и м е р

2. Шар

радиуса

 

20

отчего радиус его удлинился на 0,01

Насколько уве­

личился при этом объем шара?

 

 

 

по

формуле

Р е ш е н и е .

Объем

шара

определяется

 

 

V —

JT/?3.

 

 

 

 

Каждому значению R по закону, заданному этой формулой, отвечает одно определенное значение ѵ, т. е. V есть функция от R. Следовательно, наша задача

24R

 

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

 

 

 

 

 

 

[ГЛ. X

сводится к определению(AR = dRприращения= Qfil),

функции

ѵ

при за­

данном приращении

аргумента

R.

Так

как

приращение

аргумента

мало

заменить ее

 

то

мы

можем

при­

ращение

функции

дифференциалом

[(7)

§ 97].

 

 

 

 

ѵ:

 

 

 

 

 

Находим дифференциал функции

 

 

 

 

 

 

Но

Поэтому

d v = j nt- 3 R 2 dR =

4я/ ? 2 dR.

R =

20•

и•

rfi? =

0,01.

 

d v = 4л 20

0,01

=

16л см3.

 

 

2

 

 

 

б)

Н а х о ж д е н и е

 

 

 

 

ч и с л о в о г о

 

 

з н а ч е н и я

ф у н к ц и и .

 

Пусть требуется

 

найти приближенное

зна­

чение функции

 

 

/(*) = 2х

2

+

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при *і =

2

,

0 0 1

 

 

 

 

 

 

2

,

0 0 1

).

 

 

 

 

 

 

 

 

, т. е. найти

величину /(

 

 

 

 

 

 

 

Представим

 

 

в виде суммы

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

0 , 0 0 1

 

будем

 

*] =

2

+

0

 

,

0 0 1

 

 

приращение

аргу­

 

 

рассматривать

как

 

мента.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из формулы для приращения функции

 

 

 

 

 

найдем:

 

 

 

 

 

 

 

A y = f { x +

 

Ах) — f{x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ах

 

f(x +

 

 

Ax) =

 

f(x) +

 

Ay.

 

 

А

у

заменить

 

Полагаяdy\

 

 

малой

 

 

величиной,

 

можем

 

 

' величиной

 

 

 

 

 

тогда

последнее

равенство

перепишется

в виде

 

 

 

 

 

 

 

f(x +

 

 

A x ) ~ f ( x ) +

 

dy.

 

 

 

 

 

(2)

 

Применив равенство (2) к данному примеру, можем

написать:

 

 

 

 

 

 

/ ( 2

+

0

 

,

0 0 1

 

 

 

 

 

 

2

) +

dy.

 

 

 

 

 

Но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) *« /(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy — 4х dx

=

4 • 2 • 0,001 =

 

0,008,

 

 

 

Поэтому/ (

 

 

 

 

 

 

 

/(2) =

 

2 • 2

2

+

 

 

3 =

 

11.

 

 

 

 

 

 

+

 

 

,

 

 

 

) = / (

 

 

,

 

 

) я*

 

 

 

 

+

 

0,008 =

 

11,008.

 

 

2

 

0

0 0 1

2

0 0 1

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 100]

П Р И Л О Ж ЕН И Е Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л А

2 4 7

Равенство (2) может служить формулой для прибли­

женного вычисления значения функции.

 

в)

В ы ч и с л е н и е по п р и б л и ж е н н ы м ф о р ­

м у л а м .

Пользуясь формулой (2),

выведем прибли­

женные

формулы для вычисления

некоторых

выра­

жений.

 

 

 

1) Возьмем функцию

Г/ = sin JC

и положим, что угол малое приращение а. в ней X = 0 и dx = а.

X, равный нулю, получает весьма Применим формулу (2), полагая Получим:

Но

f ( 0 +

а)

/ (0 ) + dy.

dy —- (sin х)' dx =

cos X ■ dx — cos 0 • а = а

и

/(0 ) = sin 0 = 0 .

Поэтому

f (0 —(—а)

0 -f- а,

или

sin а « а .

Отсюда следует, что синус очень малого угла при­ ближенно равен самому углу; при этом нужно помнить, что угол должен быть выражен в радианной мере. Так, например, sin 0,003 да 0,003. В самом деле, выразив данный угол в градусной мере, найдем:

а

 

 

180°-0,003

0,17° ~ КГ,

 

 

 

 

 

 

3,14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 10' ~у0,003.

 

 

 

 

х,

 

2)1

Возьмем&х — а.функцию

=

хп

и положим, что

рав­

ный

, получает весьма малое по сравнению с единицей

приращение

 

 

 

Тогда

согласно формуле (2) имеем:

Но

 

 

/

(1

+

а) г» f (

1

) +

dy.

 

 

 

 

(лЛ/

 

 

 

 

л_|

 

 

 

dy —

dx =

пхп~ ] dx = n • 1

• а — па

 

 

 

 

 

 

f(l) =

r =

 

l .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

248

 

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

[ГЛ. X

Поэтому

 

f (1

"Ь о) ^

1 +

 

tia,

(3)

или

 

(1 “(- сх)” «ä

1

 

 

па.

Точно так же можно

 

вывести равенство

 

 

 

(1

—

а)п

я*

1

—

па.

(4)

По формулам (3) и (4) молено быстро найти при-

ближенную степень числа,) 2

близкого к единице; например:

1,0152 =

(1 +

O.OIS) 3

«

1 +

2 •0,015 =

1,03,

0,9883 =

(1 -

0,012

~

1 -

 

3 • 0,012 =

0,964.

3)Выведем формулу для приближенного вычисления

П_______

выражения

У

1 4- а,

 

где

а

имеет

малое значение по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

_______

сравнению

с единицей.

Для

этого

представим

У

1-|- а

в виде степени

 

У і

 

 

 

(1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

_________

 

 

 

+

 

_і_

 

 

Но по формуле

(3) 1

 

+

а =

 

 

а)" .

 

 

 

+ o F

*

 

1

+

4

-а.

 

 

или

 

 

(

 

 

 

4

 

(5)

 

 

У

 

і +

а

«

1 +

а-

 

Аналогично

выводится

формула

 

 

 

(6 )

 

 

 

Ѵ г = ^ Г ~ 1 - 4 а.

 

По формулам (5) и (6 ) можно легко найти прибли­ женное значение корня из числа, близкого к единице; например:

У ІД )3 =

/ 1

+ 0,03 «

1 - ф у

• 0 ,0 3 =

1,015,

0Д64 =

f 1 -

0,036 «

1 — у

• 0,036 -

- 0,988.

§ m il

к р и в и з н а к р и в о й

249

 

 

 

 

Упражнения

 

 

 

Найтиу = хпервыйѴ х . 2.дифференциалs \ .

функции:

 

4.

f/ = sin2y r;t .

I.

= I

 

t

3. t/ =

-|-cos — .

 

 

1 -J-

 

 

's.

CD

 

 

5. н = 1 п 2у .

6. у = \п~\/

 

 

7. у =

arctg —

 

•

 

8.Найти дифференциал пути, выраженного уравнением s= 5 / 2, если / — 4 и Af = 0,01.

9.Вычислить приближенно приращение функции у = х ъ—5х2+80 при переходе аргумента от х = 4 к х — 4,001.

10.Сторона квадрата равна 5 см. Найти приближенное прира­ щение площади его при увеличении его стороны на 0,0! см.

II. Найти приближенное приращение площади круга, если ра­ диус его изменяется с 50 см на 50,1 см.

12. Сторона

куба,

равная

 

 

1 м,

удлинилась

на

10 см. Насколько

при этом увеличился объем куба?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

В прямоугольном параллелепипеде с квадратным основанием

сторона

основания равна

20

 

см,

а

высота

равна

10

см.

Насколько

увеличится его объем, если сторону основания

удлинить на 0,02

см}

14.

В конусе радиус основания равен

15

см,

а

высота содер­

жит 20

см.

Насколько

увеличится его объем, если радиус основания

удлинить на 0,04

см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

R

 

 

см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

Шар

радиуса

=

9

был нагрет,

вследствие

 

чего объем

его увеличился

на 32,4л сиі3. Узнать удлинение радиуса

шара.

 

16.

Куб

 

со

стороной

а =

 

10

см

при

нагревании

 

увеличился

на 0,06 своего объема. Узнать удлинение ребра куба.

 

 

 

 

17. Объем шара при нагревании увеличился на 0,0024 своей

величины. На

сколько

процентов

 

увеличилась

длина

его радиуса?

18.

Какой

процент

будет

 

составлять

ошибка,

полученная при

вычислении площади круга, если при измерении радиуса его сде­ лана ошибка в 1%?

19. Объем куба увеличился на 6% своей величины. На сколько процентов увеличилось при этом его ребро?

Найти приближенное значение следующих функций:

 

20.

у =

х 2 +

х

 

при х =

 

3,01.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

у —

ЗУ- +

 

2 х

— 1 при

X

=

2,03.

 

 

 

 

 

 

 

22.

у =

X 3

+

X 2

—

2х

при

 

л: =

2,01.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,1.

 

 

 

 

 

 

23.

 

=

-^- л:3 — 5л:2 +

X

— 1 при

х =

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

 

=

х 3 — 2х +

1 при

X —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у —

X 3 —

 

 

 

 

 

х —0,02.

 

 

 

 

 

 

 

25.

у

 

 

Х4л:2 +

1 при

 

 

 

 

2,03.

 

 

 

 

 

 

 

26.

 

=

 

 

 

 

 

 

при

 

X —

4,2.

 

 

кривая,

определяемая

 

§ 101.

Кривизна

 

кривой.

 

Пусть дана

уравнением

у — f(x)

 

(рис.

 

113). Возьмем на

ней две

точки

А

и

В

и проведем

в них касательные к кривой. При переходе от точки

А

к

точке

В

касательная меняет угол наклона к положительному

направлению оси

 

абсцисс

 

на

 

некоторую

величину. Если обозначим
Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности