Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

120		ТЕО РИ Я П РЕД ЕЛ О В				[ГЛ. V
двух§ 45.различныхТеоремыпределов.о пределах.
	Т е о р е м а 1.	Переменная величина не может иметь
						что переменная	х
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим,
имеет два разных предела			А	и	В.	В этом случае со

гласно определению предела (§ 43) разность между переменной и ее пределом должна быть бесконечно

малой, т. е.					X — А		=	а,
					X — В
где а							= ß ,
	и ß — бесконечно малые величины.
Вычитая		из первого				равенства				второе, получим:
или		X	—	А	—	X +	В — а		— ß,
	часть	этого		а — ß =			В — А.			разность двух бес
Левая				равенства,				как

конечно малых величин, есть величина бесконечно ма


лая; правая же		часть — величина постоянная. Но				бес
конечно	малая	величинаВ —можетА		равняться	А постояннойВ,
только	в том случае,		если эта постоянная		равна	нулю
(§ 40);		Если две переменные величины, име
	следовательно,		=	0, отсюда	=	т. е.

переменная величина имеет один предел. С л е д с т в и е .

ющие пределы, при всех своих изменениях равны ме жду собой, то равны и их пределы.

В самом деле, каждая из переменных по доказанному имеет по одному пределу, но так как переменные равны между собой при всех изменениях, то они и стремятся

менныхк одинаковойвеличин,постоянной,имеющих пределы,т. е. имеютравенравныесуммепределы.преде
		Предел суммы конечного числа пере
ловТэтихе о р епеременных.м а II.
Д охкиа з а т е л ь с т в о . Возьмем две переменные вели
чины	у,	имеющие пределами соответственно				А	и	В,
т. е.		lim	X — А,					(1)
		lim	у	=	В.			(1)
		lim		=

§ 451	ТЕО РЕМ Ы О П Р ЕД ЕЛ А Х	121

у	Согласно определению предела (§ 43) разности			х	—	А
и	—	В	суть бесконечно малые величины, т. е.
и	—		суть бесконечно малые величины, т. е.

X — А — а,

у — В = & ,

где а и ß — бесконечно малые величины. Сложив эти равенства, получим:

{х + у ) - ( А + В ) = . а + $.

В левой части последнего равенства имеем разность ме жду переменной х -J- у и постоянной А -f- В, в правой же части — бесконечно малую величину (см. второе свойство в § 44).- Следовательно, согласно определению предела имеем:

lim (а: + у) = А + В.

Учитывая равенства (1), можем написать:

lim (х + у) — lim X + lim у.

Точно так же можно доказать эту теорему для трех, четырех и любого конечного числа переменных.

Те о р е м а III. Предел разности переменных, имею щих пределы, равен разности пределов этих переменных.

Как известно, разность можно рассматривать как ал гебраическую сумму, а потому теорему II можно распро странить и на разность.

Те о р е м а IV. Предел произведения конечного числа переменных, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем две переменные вели чины X и у, имеющие пределами соответственно А и В, т. е.

1ітх = Л, Пт у — В.

По определению предела [(1) § 43], можем написать:

X = А -|- и,

У = В + ß,

где а и ß — бесконечно малые величины.

122

ТЕО РИ Я П РЕД ЕЛ О В

[ГЛ. V

Перемножив эти равенства, получим:

ху = AB -f- ß/1 -|- ctВ -(- aß,

откуда

ху — AB = ß/1 -f- aß -)- aß.

В левой части последнего равенства имеем разность между переменной ху и постоянной A B , в правой же части каждое слагаемое — бесконечно малая величина (см. первое свойство в § 44), а потому сумма их — также величина бесконечно малая (следствие второго свойства §44) . Таким образом, разность ху — A B — бесконечно малая величина, а потому, по определению предела,

. или	lirn.vy =	AB,
. или	lim ху =	lim.v lim у.

Эту теорему можно доказать для любого конечного

величинычисла переменныхна переменную,сомножителей.имеющую предел, равен произ

С л е д с т в и е

Предел

произведения постоянной

ведению постоянной на предел переменной, т. е.

где а

постоянная,

lim

ах

lim

х,

—

а х

—

переменная.

Если

— постоянная величина, то, очевидно,

lim

а =

а.

Поэтому согласно теореме IV получим:

х.

lim

ах

lim

х = а

lim

ной,С лт.ее.д с т в и е

Предел

степени

переменной, имею

той же степени предела перемен

щей

предел,

равен

lim x"1=

(litnx)m.

ние

Втсамом

деле,

хт

можно представить' как произведе

одинаковых сомножителей; тогда

lim

хт =

lim

(х • X • х

. . .

х) =

. . . lim х = (lim x)m.

= lim x lim xlim х

Выведенное следствие, как доказывается в подробном курсе анализа, справедливо для любого действительного значения т.

. § 43]	Т ЕО РЕМ Ы О П Р ЕД ЕЛ А Х	123

Пользуясь этим, можно показать, что предел корня из переменной, имеющей предел, равен корню этой же

степени из предела переменной, т. е.
		ш			m	-------
			у ---			-------
		lim	X	=	У	уlimxх .					т,
					m		в	виде степени			х_L
Действительно, представив							в	виде степени
получим:		у х — Umxm					x)m =	у		x .
		m	_L				-L	т	--------
	lim			=	(lim			т	lim
	lim			=	(lim				lim

Т е о р е м а V. Предел частного от деления двух пере менных, имеющих пределы, равен частному от деления пределов делимого и делителя при условии, что предел делителя не равен нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть
			X	=	А,
		lim у
причем	В ФО.	lim		= В,		(2)

		Примем	без	доказательства существова

ние предела — ввиду сложности этого вопроса; докажем

только, что он равен частному от деления пределов			х	и	у*
Положим	7	= г ’		(3)
откуда
	x =	yz.

Приняв во внимание, что х, у и г имеют пределы, приме ним теорему о пределе произведения:

lim л: = lim # lim д:,

или

А — В lim г,

откуда

lim z = -g-.

Согласно равенствам (2)	и (3) имеем:
lim	_х	l i m X
при условии	у	limy
при условии

lim у ф 0.

124	ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В	\|ГЛ. V
	§ 46. Приложение теории пределов	к вычислению

длины окружности, площади круга и суммы членов бес конечно убывающей геометрической прогрессии. Впишем

в окружность		какой-нибудь	правильный многоугольник
A B C D E F	(рис.	71) и удвоим	число его сторон. Восполь

зуемся теоремой о том, что если выпуклый многоуголь ник лежит внутри другого, то периметр первого меньше

	и	А
	Рис. 71.	А
	Рис. 71.	Рис. 72.

периметра второго; значит, периметр полученного много

угольника	A K B L C M D N E R F S			станет	больше, так	как
		при
первый многоугольник лежит внутри второго.						пра
Таким	образом,		увеличении		числа сторон

вильного вписанного многоугольника периметр его уве личивается.

Опишем теперь около окружности правильный много

угольник	A B C D E F		(рис. 72)	и удвоим число его сторон;
мы получим		правильный		описанный	многоугольник
K LM NR S TU V WJ G ,			периметр которого		станет меньше,
	при
так как он лежит внутри первого.
Итак,		увеличении числа сторон правильного опи
санного многоугольника периметр его уменьшается.
Д л и н а о к р у ж н о с т и .				Можно найти только при

ближенное значение длины окружности. Покажем, как это делается.


Впишем в окружность радиуса				R	правильный много
				K
угольник		A B C D E F	и опишем около		нееп	одноименный,
тоже	правильный		многоугольник		LM N R S		(рис.	73).
				числа
При	неограниченном увеличении					сторон		этих

§ 16]	П Р И Л О Ж Е Н И Е Т Е О Р И И	П Р ЕД ЕЛ О В К В Ы Ч И СЛ ЕН И Ю	125
многоугольников периметр		Р п вписанного многоугольQn
ника будет расти, оставаясь все время меньше периметра
любого описанного многоугольника, а периметр			опи

санного многоугольника при том же условии будет убы вать, оставаясь больше периметра любого вписанного

				Р п			можно		N
многоугольника. Иначе
сказать,		что				— монотонно
возрастающая						ограниченная
переменная,			а		Qn — монотонно
убывающая ограниченная пере
менная		(см. §			39). В		подроб
ных	курсах		анализа				доказы
вается, что такие переменныеР п Q n
имеют пределы. Покажем								что
пределы		переменных					и	на
одинаковы.			Изображенные
рис.	73 многоугольники подоб								Рис.	73.
ны. Мы		знаем,			что периметры
подобных многоугольников								от
носятсяhn		между			собой,		как	их	R
апофемы. Обозначив апофему вписанного многоугольника
через		и приняв во внимание, что радиус								окружности

служит апофемой описанного многоугольника, согласно вышеуказанной теореме напишем:

Q n	__	R
Рп	__	Ап ‘
	_	Ап ‘

Перейдем к пределу в обеих частях этого равенства при

п —+ оо;

		1 іт \|	: =	1і г а г <			(!)
		П->ОО * ft		/;-»оо	,1п		(1), находим:
Применяя теорему V § 45 к равенству							(1), находим:
		lim	Qn	n-*°o R
		lim	Pn ~	lim	hn		W
		Л->со		n -> oo		*	,n.
		lim		lim		*
		n -* o o
Ho Пlim-	R — R	(как предел		постоянной величины) и
>оо

lim hn — R (см. пример 2 § 43). Д~>°о

126

ТЕО РИ Я

П Р ЕД ЕЛ О В

так:

ІГЛ, V

Поэтому равенство И(2)-> ооперепишется,

lim Рп ~ ~ R ~

■’

lim

отсюда

га->со

ГІ -> оо

Рп.

П - > со

Р п

lim Q(l= lim

Общий предел периметров правиль

ныхИтак,многоугольников,и имеютвписанныхобщий предел.в окружность и описан

около нее, при неограниченном увеличении числа их

ныхО п р е д е л е н и е .

длиной

окружности,

т.

Qn —

сторон называется

Рп =

С,

> с о

П - > со

е. П -lim

= lim

где

отношение длины

окружности

— длина окружности.

к ее диаметру есть величина одна и та же для любой
окружности.Докажем						теперь, что
		г			две окружности, радиусы которых равны
R	Возьмем
	и			рп,
			Рип впишем в них одноименные правильные много
угольники. Обозначим периметры этих многоугольников
через			и			а длины окружностей через С и с. Приняв

во внимание, что периметры правильных одноименных многоугольников относятся между собой, как радиусы описанных около них окружностей, получаем:

При неограниченном увеличении числа сторон данных многоугольников их периметры Р п и рп становятся пере менными величинами, радиусы же R и г — постоянные. Перейдем к пределу в обеих-частях равенства (3) при п —> оо; получим:

Ііш —^-=	lim	,
Д - » о о Рп	П-><х>	Г

или, согласно теореме о пределе частного (§ 45),

ііш	Рп	г
ііш	Рп	г
П-> ОО		R	(4)
іітп			(4)
П->
ОО

§ 46] П Р И Л О Ж Е Н И Е Т ЕО Р И И П Р ЕД ЕЛ О В К ВЫ Ч И СЛ ЕН И Ю 127

Но, как было указано выше,			рп = с.
lim	Рп = С	Пlim
		->
		ОО

Поэтому равенство (4) перепишется так:

— =	Л .	С _	2R
с	г	с	2г

Поменяв местами средние •члены полученной пропорции, будем иметь:

	С	с
	2R	2г — const,
что и требовалось доказать.							я,
Постоянную величину отношения длины окружности
к ее диаметру	принято	обозначать		греческой	буквой
т. е.		2R ~	л’
откуда		С
откуда		С	nR,				(5)
или		С = 2					(5)
		— nD,					(6)
где D = 2R — диаметр окружности.					п		(6)
Равенства	(5) и (6)	служат формулами для				опреде
ления длины	окружности. В		этих	формулах		— число

иррациональное, т. е- такое число, которое может быть выражено только бесконечной десятичной непериодиче ской дробью. С точностью до 0,0001

я»3,1416.

Впрактических приложениях часто используют значение

яс точностью до 0,01, т. е.

я«3,14.

Д л и н а		д у г и		о к р у ж н о с т и . Так			как длина окру
жности радиуса			R	равна 2	nR,
					и	10	nR	л	R
то	длина						2
		ее дуги, содержащей				Г , равна - щ - ==- щ ,
а	»	» »,		»		оп ,	TiRn	-jgg- »
							равна

128

Т ЕО Р И Я П Р ЕД ЕЛ О В

[ГЛ. V

Обозначив длину дуги через /, будем иметь:

L, ~__	nRn	•	(7)
	180
			Площадью


круга называется предел, к которому стремится площадь
правильногоП л о щ а д		вписанногоь к р у г а . илиО пописанногор е д е л е н имногоугольникае .
при неограниченном удвоении числа их сторон.
Впишем в окружность радиуса					R		правильный много
угольник	A B C D E F		(рис.	74). Как			известно,	площадь
			правильного			многоугольника рав
			на	половине			произведения			его
			_ периметра на				апофему.	Обозна
			чив	площадь данного многоуголь
			ника, его периметр и апофему
			соответственно через •5л)					Р п	и	h	п,
			запишем: S n					Р п		h
			запишем: S n			=	Y p n h n -			(8)

Будем неограниченно удваивать число сторон этого многоуголь ника и перейдем к пределу в ра

венстве (8 ) при п -*о о . Применяя теорему IV и след ствие I этой теоремы (§ 45), получим:

lim

= Y

lim

Рп

lim

hn.

(9)

Д->со

П~+оо

П-> oo

Но, как мы знаем,

lim

Pn =

(длина окружности),

П->°о

lim hn — R.

По определению

lim

S n

— площадь круга; обозначив

ее

К,

оо

.через

будем иметь: П->оо S n — К .

lim

Учитывая сказанное, равенство (9) перепишем так:

§ 46] П Р И Л О Ж Е Н И Е ТЕО Р И И П Р Е Д Е Л О В К ВЫ Ч И С Л ЕН И Ю 129

Но		С = 2л/?.
Следовательно,	K = ± 2 n R -R = nR2.			(Ю)
Заменив радиус	R	половиной диаметра	- у ,	получим:
	R		- у ,

(И)

Равенства (10) и (11) служат формулами для определе

ния площади круга.

два круга с

радиусами,

С л е д с т в и е .

Пусть даны

равными

, или с диаметрами,

равными

D і

D->.

и і?

nÖ\и

Площадь первого

круга

K i — nRi,

или

г =

\iLJ<y

второго

nR2

Кі

- у - •

Разделив первую площадь на вторую, получим:

T. e.

/С,

nR\

Кі

nDl

*R i

/С2

как

площади двух кругов относятся между

собой

квадраты радиусов или квадраты диаметров.

П л о щ а д ь с е к т о р а .

Площадь сектора, дуга которого содержит 1°, равна у г у

»	»				»	»	nR2n
»	»				»	»	360 ’
Обозначив площадь сектора через s, получим:							( 12)
		S ~	nR2n
		S ~	360		•
Правую часть формулы__ лRn(12)				Rразобьем на два множи
теля,	а именно:	S ~~	180 ‘ Т		'		( 13)

Но

Ксм - Ф °РМУЛУ (7)].

Б И. Л, Зайцев

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб101Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб4Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб23Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб20Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб14Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб85Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб2Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб10Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб5Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб3Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб6Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf