книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

§ 91. Выпуклость и вогнутость кривой. Рассмотрим кривую, изображенную на рис. 103. Проведя касатель­ ную, например AB, мы видим, что точки кривой, смежные с точкой касания А и лежащие по обе стороны от нее, располагаются ниже касательной. В таком случае говот рят, что кривая выпукла в точке А\ если часть кривой между точками М и N удовлетворяет этому условию, то эту часть кривой называют выпуклой.

Возьмем кривую, изображенную на рис. 104. Здесь мы наблюдаем другое явление, а-щменно: точки кривой, близкие к точке касания С и расположенные по разным сторонам от нее, лежат выше касательной CD.

Вэтом случае говорят, что кривая в точке С вогнута,

ичасть кривой между точками Р и Q, удовлетворяющую этому условию, называют вогнутой.

Бывают случаи, когда кривая в одной своей части вы­ пукла, а в другой вогнута; так, например, синусоида (рис. 105) имеет и выпуклость (выше оси Ох) и вогну­ тость (ниже оси Ох), причем точка А служит границей между ними.

Касательная, проведен­ ная к кривой в этой точке, является общей для выпуклой и вогну­ той части ее; эта каса-

Рис. 105. тельная в то же время пересекает кривую в точке касания; поэтому синусоида в точке А ни выпукла,

ни вогнута. Эта точка носит название точки перегиба.

§ 92. Признаки выпуклости и вогнутости кривой.

Называя для удобства f'(x) просто функцией, а f"(x) — ее первой производной, применим к функции f'(x) при­ знак возрастания и убывания (§ 87); так как по условию (1 ) f"(x) в данном промежутке значений к положитель­ на, то функция f'(x) в этом промежутке возрастает.

Мы знаем (§ 6 6 ), что

наблюдается только в случае, когда касательные про­ ведены в точках, лежащих на вогнутом участке кривой (рис. 106).

первой производной, применимопять к функции f'(x) признак возрастания и убывания; так как по условию

место только в случае, когда касательные проведены на выпуклом участке кривой (рис. 107).

нельзя установить, что имеет функция: максимум или минимум. В этом случае для решения вопроса нужно

если в результате подстановки одного из них 'вторая производная будет отрицательной, то при этом значе­ нии аргумента функция имеет максимум, если положи­ тельной, — то минимум, а если вторая производная об­ ращается в нуль, то для решения вопроса нужно об­ ратиться к первому правилу.

Рассмотрим несколько примеров.

П р и м е р 1. Исследовать на максимум и минимум функцию

у = х2— 4х + 9.

Вторая производная оказалась равной нулю, по­ этому указанным способом установить максимум и ми­ нимум нельзя. Обратившись к первому правилу, най­ дем:

рия максимума и минимума функции имеет большое применение как и в самой математике, так и в техни­ ческих дисциплинах. Решим несколько задач.

у = х( 20 — х).

Мы получили функцию, выражающую зависимость произведения у от величины слагаемого х. В задаче требуется найти такое х, при котором у принимает наибольшее значение, т. е. задача свелась- к нахожде­

нию максимума функции. Поступим по правилу, изло­

мум.

Число 20 нужно разбить на два равных слагаемых,

перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу):

А 0 2 = ВО ■ D O,

или

г2 — h (2R — h).

Подставив значение г2 в формулу объема конуса, по­ лучим:

v = j n h 2( 2 R - h ) .

Мы видим, что объем ѵ конуса, вписанного в шар радиуса R, есть функция от высоты этого конуса h. Найти высоту, при которой вписанный конус имеет наибольший объем, — это значит найти такое Л, при котором функция V имеет максимум.