Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4218 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

170	П РО И ЗВ О Д Н АЯ Ф УН КЦ И И	(ГЛ. ѵ п

Обратное же утверждение не всегда бывает верно, так как существуют функции, всюду непрерывные, но при некоторых значениях х не имеющие производной.

§ 65. Касательная. Касательную к окружности мы определили как прямую, имеющую с ней одну общую точку. Такое определение годится не для любой кри вой линии. Например, прямая M N касается кривой в точке А (рис. 89), но имеет с этой кривой не одну, а две общие точки. С другой стороны, прямая LR имеет с

кривой одну общую точку С, однако не является каса

тельной кМкривой (рис. 89).

данной

кривой

Мі Чтобы

определить

касательную

в точкеМі

(рис. 90),

возьмем на ней-еще одну точку

Ми,

проведем

секущую

ММ[.

Если

будем

перемещать

точку

по

кривой

так, чтобы

онач приближалась

стремясьMсN,ней

слиться,

то секущая

ММ\

будет

поворачиваться

вокруг

точки

М,

стремясь

занять поло

касательной.

положе

вжениеданнойпрямойее точке называемойМ называется предельное

ниеО п р е д е л е н и е .

Касательной

данной

кривой

секущей М М и когда точка М и двигаясь по кривой,

неограниченно приближается к точке М.

В математике и в технических дисциплинах часто приходится рассматривать прямую, проходящую через точку касания М перпендикулярно касательной; эта прямая называется нормалью к кривой в точке М.

§ 6 6 . Геометрический смысл производной. Пусть дана непрерывная функция y = f(x), график которой пред-

§ G6] г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л п р о и з в о д н о й 171

ставлен на рис. 91. Возьмем на нем точку М (х ;у ); тогда

OP = X и РМ = у.

Дадим X приращение

РР, = Ах; в этом случае наращенному значению абсциссы

О Рх— X + Ах

будет соответствовать наращенное значение ординаты

P lM l = f ( x + Ах)

точки М 1 кривой. Проведем из точки М прямую M Q, параллельную оси Ох, а также секущую через точки

М и М\. В полученном прямоугольном треугольнике

MiMQ

MQ = Ад:,

QMi = Р,М , — PM = f(x + Ах) - f (х) = Ау.

Обозначим угол наклона секущей ЛДР к положитель ному направлению оси Од: через ß; тогда

Z M XM Q = Z M R P = ß.

Из треугольника	M XMQ			, .
		MQимеем:
QM, =		t	g Z M xMQ

172

П РО И ЗВ О Д Н АЯ Ф УН КЦ И И

[ГЛ. VII

или

А// =

Дл: tg ß,

откуда

- f

t g ß .

(1)

Из равенства (1)M\Rвидно,

что отношение

приращения

функцииОх.

к приращению аргумента равно тангенсу угла

наклона

секущей

положительному

направлению

оси

Ад; —*- 0,

тогда

М\

Пусть

Ді/—>0, так как данная функ

ция

непрерывна

(§

57). Вследствие

этого

точка

бу

дет

неограниченно

приближатьсяNL

М ,

секущая

Л ІіР — вращаться

вокруг

точки

М,

стремясь

занять

положение касательной

(§ 65).

Найдем предел обеих частей равенства (1) при

условии А х —> ; получим:

( 2)

lim

limОtgß.

А х -> 0

Так

как

наклон секущей

к оси

при

ее повороте

из

меняется,

то NLß

становится

переменной

величиной

в пределе стремится к величине угла, образованного

касательной

положительным

направлением

оси

Ох;

поэтому, ^обозначив

/1NLP

буквой

а, можем

на

писать:

Д * - > 0

tgß =

tga.

lim

Равенство (2) можно теперь переписать так:

( )

Дlim

ÈL

tga.

Ьх

х - > 0

Левая часть равенства (3) есть производная данной функции (§ 63), а правая часть — угловой коэффи циент k касательной NL (§ 1 1 ):

y' = k.

(4)

Обозначив абсциссу точки М через а, можно равен ство (4) сформулировать так.

Производная функции y = f(x) при х = а равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой

X = а.

§ 66]

ГЕО М ЕТР И Ч ЕС К И Й

СМ Ы СЛ

ПРО И ЗВ О Д Н О Й

173

Написать

уравнение

касательной,

прове

З а д а ч а .

денной к

кривой г/ = х

в точке

ее

с абсциссой,

равной .

У =

точки

кривой

Р е ш е н и е . Найдем

ординату

Искомая

2 = .

пучке прямых,

касательная Мнаходится

проходящих

через точку

(2; )

и определяемых

урав

нением

у — 6

/г (х — 2 ).

Остается определить угловой коэффициент каса тельной, для чего следует найти производную данной

функции. Эта производная нами была	уже найдена:
она равна 2 х + 1 (см. § 63, пример 1)	и определяет

угловой коэффициент касательной, проведенной в лю

бой точке данной кривой. Чтобы иметь				угловой	коэф
фициент касательной, проведенной в				данной	точке
М	(2;	6	), нужно в выражение
	(2;		), нужно в выражение

У' = 2 x 4 1

вместо а: подставить его значение, равное 2 . Получим:

6 = 2 - 2 + 1= 5 .

Искомое уравнение касательной напишется в сле дующем виде:

У — 6 =

5 (х — 2)

Упражнения

1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кри

вой

З :2

точке ее, абсцисса которой

равна: 1)

х — 1,

2) x = 0 .

угол

наклона

положительному направлению

2. Определить

оси

Ох

касательной

к кривой // =

2лг2 в

точке

ее с

абсциссой, рав-

Под

каким

углом

положительному

направлению

оси

Ох

проведена касательная к кривой

у =

-^ х2

в точке

ее с

абсциссой,

р авн ой- ---- з—?э

ууравнение

касательной,

проведенной

кривой

4. Написать

у — X 2

— 2 в точке ее с абсциссой, равной 2.

х =

кривой

Здс2 +

в точке

ее

с абсциссой

— 1 про

ведены касательная и нормаль. Написать их уравнения.

ГЛАВА VITT

ФОРМУЛЫ ДИ Ф ФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

В § 63 было дано основное правило нахождения производной. Однако применение его занимает много времени, а во многих случаях представляет большие трудности. Поэтому выгодно иметь такие правила, ко торые позволяли бы находить производные проще, с минимальной затратой времени. Действительно, та кие правила имеются, причем они выводятся из основ ного правила дифференцирования.

§ 67. Производная постоянной. Пусть С — постоянная величина; тогда равенство

У = С

можно рассматривать как выражение функции, не ме

няющей своего

значения

изменением

аргумента.

справедливости

этого

У = С

можно убедиться,

пред

____

ставив это равенство гра-

Â-

фически,

т. е. в

виде пря

мой

линии

AB,

парал

лельной

оси

Ох

(рис. 92).

9 2

Действительно,

изме-

____________________________________ нением

абсциссы

точек

рис. .

этой прямой ординатыу = С

их

Для

остаются

постоянными.

нахождения производной

функции

при

меним

основное

правило дифференцирования:

-й

шаг:

£/-(-Аг/ =

С.

У — С — С

шаг:Дг/Дх— (уДх+

Дг/) —

=» 0.

й шаг:

—

X L==T ^ = 0 -

4-й

шаг:

у ' =

lim

АУ

lim 0 = 0.

Ах

Дх->0

§69]

П РО И ЗВ О Д Н АЯ

А Л ГЕБ РА И Ч ЕС К О Й

СУМ М Ы

Ф УН КЦ И И

175

Таким образом,

(С)' = 0,

(I)

производная

т. е. 6 8

постоянной равна нулю.

. Производная функции у — х. Применяя

основ

ное правило дифференцирования, получим:

1-й шаг:

Ay =

Ау

д: +

Ах.

{y-j- 4-

Ах

х =

Ах.

й шаг: у

A y

) — j/ =

x -j-

—

äx

Ах

3-й шаг:: у ' =

Ах

4-й

шаг

Ах

lim

= .

lim

(И)

Итак,

■> О

т. е. производная функции у = х равна единице, или производная независимой переменной равна единице.

§ 69. Производная алгебраической суммы функций. Возьмем функцию

и,

у = и

—

гдеX.и,

и w

— функции

от

х,

имеющие производные

по

Если

аргументу

дать приращение

Ах,

то и функ

ции

у.

получат

приращения,

соответственно рав

ные Ди,

Аѵ

Aw,

а потому

также

получит прираще

ние Д

По основному правилу находим:

1-й шаг:

Ау

(и

Ди) +

{ѵ

Aw) —

Аш).

(у=

(ѵ

2-й шаг:

- f

Ay)

—

= (и +

Ди) +

До) —

—

Aw)—(и

о — до) =

и +

A« +

и + Aö —

—

Aw —

— u — v + w — Au-^-Av — Aw.

		у	и	, Др			Aw
3-й	шаг:	Д	Д	, Др					I Аи
		Ах	Ах	"т"	Ах		Ах
. . .	шаг:	у',	Д*lim-> О	"т"						,
. . .		у',		ЬХ		&х->0			Л х	,
4-и		=				lim			\ л 7 +
			—		lim	А	и	+	lim
			—		lim	А		+	lim
					д*->о	Ах			д*->о
					д*->о				д*->о

йДо		Aw \
йДо
л7 — "лГ НAw
х		й х )
Др	—	Д х - > 0
Ах	—	lim	Ах
Ах			Ах

176	Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я	[ГЛ. VIII
176

Слагаемые правой части последнего равенства яв ляются производными функций и, V и ад. Получаем:

у' = и' + ѵ' — ад', или

(и 4- ѵ — ад)' = и' + ѵ' — ад'.

(Ill)

т. e. производная алгебраической суммы конечного числа функций равна алгебраической сумме производ ных каждой из них.

§ 70. Производная произведения двух функций. Пусть дана функция

у — иѵ,

х.

где

— функции

от

х,

имеющие производные

по

Дадим

аргументу

приращение

Ах\

тогда

согласно

основному правилу имеем:

(и

Аи)(ѵ

-f- Ди).

шаг:Ау =

+{уДг/=Ау)

- f

u v =

й шаг: и Au

Au+Av

—у — (и

(ѵ

Au)—

uv — и

-j- Аи)

= uv

и Av

+х

Д х

-f-

Ах

—

v Au

Au Av.

Дд-+-

3-й шаг: Д

« A D

нА«

j Au Av

До

Да

Ах

-U —— \-ѵ т—.

ЬАМт--

4-й

шаг:

Ау_

Дл;

I1 Ал: I

Дл:

уи' — lim

Д х - > 0

Ах

Л lim

х Д

Но а и а не зависят

(Aw

т)-

х - > 0

от Д-т, а потому их нужно счи

тать постоянными*) при Ах->-0; согласно

следствию

Это

можно

проиллюстрировать

на

рис.

93.

Здесь

ОР =

х,

РР, = Ах, РМ = и. Если Дх 0, то РМ = « не меняется.

§ 71] П РО И ЗВ О Д Н АЯ П Р О И ЗВ ЕД ЕН И Я П О СТО ЯН Н О Й НА Ф УНКЦИЮ 177

теоремы IV § 45 можем написать:

lim

(и -^ -] =

Аа.

Аи /

Дlim

Аи

’

Дл; -> 0

д ;- > 0

Ах

Приращение

lim

Ах

lim

Т х '

А л - > 0

Дл: -> О

же

функции

Лгл

меняется с измене

нием Д,ѵ, поэтому согласно теореме IV § 45 имеем:

Таким

lim

(д'

~ ) =

lim Л«Д limл -

^-.

А х -> 0

А Х

J Д л -> 0

> 0

образом

-Г Т +

Аѵ

у ' — и

lim

Д.ѵ

lim

Ах

Д л - > О

Д л - > 0

Д л -> О

Но

Ар

Д л - > 0

Ах

Д ..л -> О & х

lim

Аѵ

lim

Аи

—-

и .

Далее, так как функция к дифференцируема, то она непрерывна (§ 64), следовательно,

Поэтому	lim	hu	=	0	.

	Д л - > 0
	у' = uv' - f VU' r\- 0 • v' = uv' +					vu'.
Итак,	(uv)' =	uv' +		vu',		(IV)

T. e. производная произведения двух функций равна сумме произведений первой функции на производную второй и второй функции на производную первой.

§ 71. Производная произведения постоянной на функ цию. Возьмем функцию

у = Си,

где

С = const,

и = f (х),

причем функция и имеет производную по х. Применяя правило (IV ), получим:

у'

(Си)'

Си'

иС' — Си'

и ■

0 =

Си',

Си'.

(Си)'

( V )

178

Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

т. е. производная произведения постоянной на функ цию равна произведению постоянной на производную функции.

§ 72. Производная частного. Возьмем функцию

где и и V — функции от х, имеющие производные по х, причем »т^ О при значении х, при котором находится производная. Применим основное правило дифферен цирования.

1	-й шаг:	У +	Ау		и - f - А и		-	у
					(уо + А	Ау)р
2-й шаг:			А	=	+				=	- £

		иу +	о	Аи —
3-й шаг:				о ( о	+
	А у	о А »	—	и Д	о
	Ах	р ( о	+	А о )

4-шаг: применяя теоремы V, теоремы IV § 45, находим:

иѵ —		и Д о	о А	и— и ко
Д	о )		о ( о	+	Л о ) ’
		А и		Д	о
.	д	А д :		U Ах

’Х у ( о - f - Д о )

III, II' и следствие 1

А»

П т

(о

Ах

и Д о

->■ 0

Ах±о\

Ах )

y'—

Ах

П т

( о ( о

А о ) ]

Н т Дл->0

Аи

−>0

Д о

л7

А х - > 0

Ах

Д .г - М )

Г П т

- ( -

П т

Д о ]

L Д д с - >

П т

А*->-0

П т [ о ( о 4 - Д о ) ]

Дл:->0
уи'— иѵ'	ои'— иѵ'
o(o-t-O)	о2

Здесь,		как	и при выводе	формулыд * - > о(IV ), нужно			счи
тать	и	и о не зависящими от		Ах,	а	lim Да = 0 .
Итак,			(и_)Ѵ___ ѵи' —		2	’	(VI)
			\ о		н о	'
			\ о	о

т. е. производная частного равна дроби, знаменатель которой есть квадрат делителя, а числитель есть раз ность между произведением делителя на производную делимого ■ и произведением делимого на производную делителя.

§ 74]	П РО И ЗВ О Д Н А Я С Т Е П Е Н И		С	Ц ЕЛ Ы М П О К А ЗА ТЕЛ ЕМ		179
§ 73. Понятие о сложной функции. Пусть даны две
тригонометрические функции						(	1	) -
и	г/ =		sin дг
	у	=	sin	(х2	— х).		2
						( )

В функции (1) аргументом служит х, а в функции (2) аргументом является выражение х21 — х, зависящее от X, т. е. функция X. Функция, аргументом которой слу жит функция, называется сложной функцией.

Обозначим

и — х2— X,

тогда функцию (2 ) можно записать так:

у — sin ц, где и = f {х) — X2— х.

Возьмем еще несколько функций:

1)	у — {Ах —			I)34,	4)	у =		а3*-1,	X2.
	У					у
2)		=	1^1 +	X2,	5)		=	arctg
3)	y =		ln(2* + 3),

Все эти функции имеют аргумент, зависящий от х, по этому являются сложными функциями. Обозначив каждый из аргументов написанных функций через и, представим эти функции в следующем виде:

1	у =		и5,		где
2 )	У =		]/“и,.
)	у —				где
3)	у — In				где
4)			аа,		где
	у	=	arctg	и,
5)					где

u =	f(x) =	4х — 1,
и	f (х) =	1	+	X2,
u =		1
= f {х) — 2х
u =	f(x) =	З х -г 3,
			— 1		,
и =	f {х) =	X2.			,

§ 74. Производная степени с целым положительным показателем. Дана функция

у = и т, где u=f(x), т — целое 'положительное число. (1 )

Как видно, функция (1) является сложной функцией. Требуется найти ее производную.

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4218 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб101Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб4Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб23Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб20Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб14Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб85Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб2Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб10Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб5Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб3Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб6Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf