книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

Но угловой коэффициентt

L O A = ~ =

~ .

ft = ь

О А

а

g Z

/е найденным его значением,

Заменив в уравнении (1)

получим уравнение прямой

LR

в следующем виде:

„ =

^ х .

(2)

ft = t g

Z ^ O S = tg (180° -

Z SCM ,) =

tg et =

=

tg (180°

et) =

Таким

образом, уравнение прямой

QS

будет:

(3)

, у =

— ^ х .

Обычно уравнения (2)

и (3)

записывают следующим

образом:

0 =

±

7 *.

(4)

Между прямыми, представленными уравнениями (4),

и гиперболой существует связь; выясним ее.

из

Решим способом подстановки систему, состоящую

уравнений (4) и уравнения гиперболы

%2

гі2

------^ - = 1 .

Будем иметь:

а2

а2Ь2

— ,

ИЛИ

X2

Ь2х 2

X2— X2= а2,

а Ф

0. Таким

образом, прямые

что невозможно, так каку2

(4) и

гипербола

~

-fr — 1

не

имеют

общих

точек,

т. е. прямые (4) не пересекают гиперболу.

М

N,

Возьмем на прямой

LR

и на гиперболеМточки

и

расположенные в первом координатном угле и имеющие

одну и ту же абсциссу. Ординатой точки

служит

РМ\

обозначим ее через

У в отличие от ординаты точки

N,

написать:

У =

аЬ X.

Из уравнения гиперболы имеем:-*2

2

Составим разность

У—~

V

-

а .

а к

'

Y — у — — X — — У X2 — а2 — ~ { х — У X2 — а2

)

J а

а г

последнего равенства на выражение* +

У х 2 — а2 ;

полу­

чим:

Ь(х — У х 2—

а2) (х +

У х г— а2 )

___

У - у

а (х +

V X 2 —

а2)

___ b X2

X2

— а2)]

Ь (х2—

X2+

а2)

[

— (

а

V х 2— а2 )

а {х +

V X 2— а2 )

( . t +

___

а(х +

Ьа2

___ _________ ab_________

Итак,

V X 2 — а2 )

X + V X 2 — а2

Y — У =

+

ab

(5)

Пусть величина

X

V X2 —

а2

* в равенстве

(5) бесконечно возра­

образом, гипотенуза

NM

и, следовательно, катет

NT

в прямоугольном треугольнике

MNT

стремится к нулю.

ИзLR каксказанногоугодно близко,делаем

при

неограниченном воз­

нигдевывод:ее не пересекая.

растании абсциссы

X

гипербола приближается к прямой

Так как прямые

LR

и

Q S,

а также точки гиперболы

симметричны относительно оси

Ох,

то можно сказать,

к асимптотам.

ѵ2

(,2

П р и м е р . Дана гипербола

1.

Узнать, ле­

-j^-— -^- =

жит ли точка Л (2; 1,5)

на

какой-либо

ее

асимптоте.

Р е ш е н и е . Из данного уравнения имеем:

а =

ѴТб <=

4,

Ь =

У

9" = 3.

§ 32]

РА В Н О С ТО РО Н Н Я Я ГИ П ЕР Б О Л А

85

§ 31. Сопряженные гиперболы. Если в уравнении ги­

перболы

а2

У

1

( I )

Ь

поменять

местами

х

и

у,

2

а

и 6,

то

получим

а также

уравнение

_ .

У*

хг

Ъ

а2

ИЛИ

2

1

J L

— 1.

(2)

Уравнение

ь2

(2)

определяетОу;

гиперболу,

вершины

кото­

рой лежат

на оси

следо­

Рис.

45.

вательно,

ВВ\ ~

ее вещественной

осью

является

2а.

26,

а мнимой

ААі =

Гипербола,

определяемаясопряженными.уравне­

нием

(2),

изображена на

рис.

45

пунктирной

линией.

Гиперболы (1) и (2) называются

Со­

пряженные гиперболы имеют общие асимптоты.

§ 32. Равносторонняя гипербола. Если в уравнении

гиперболы

а-

Ь2 ~

1

положим

а — Ь,

то это уравнение примет вид

я2

У2

_ _

1

или

я2 —

*2 —

у2 ■■

г-

( )

1

, у — ± х ,

Уравнения асимптот в этом случае будут

так как отношение

(2)

Іа— 1.

84

К Р И В Ы Е

ВТО РО ГО П О РЯ Д К А

[ГЛ. IV

Как

видно из уравнения (2), угловые коэффициенты

асимптот равны - f l

и — 1. Если обозначить углы, обра-

зуемые

асимптотами

с

положительным

направлением

УІ

оси

Ох,

соответственно

через

а и аі

(рис. 46), то

tg а =

1

и

tg а, =

— 1,

откуда

и

(Х| =

135°.

о

=

45°

Следовательно, угол ме­

жду

асимптотами будет:

а.

■ а = 135° - 4 5 ° =

90°.

ней

Отсюда

заключаем:

Рис. 46.

асимптоты

равносторон­

гиперболы взаимно

перпендикулярны.

х2 — у2 = а2.

(1)

Примем теперь за оси ко­

ординат

асимптоты гипербо­

XOY,

лы:

О Х

— за ось абсцисс,

0 Y

— за ось

ординат. Мы

§ 33]

У Р А В Н Е Н И Е РА В Н О С ТО Р О Н Н ЕЙ ГИ П ЕРБ О Л Ы

85

X

—

X

cos (—45°) +

у

sin (—45°) =

i/ö"

(х — у),

— xcos45° —

у sin 45° — —

(2)

У =

— л: sin (—45°) +

у

cos (—45°) =

~ х

sin 45° +

у

cos 45° =

+

у)-

(3)

Х У =

| ( * 2- г

0)= у а 2.

(4)

Положив для краткости

перепишем равенство

(4) в следующем виде:

где

X Y

=

т,

(5)

т

— постоянная величина.

если

Таково уравнение

равносторонней гиперболы,

за оси координат принять ее асимптоты.

X

Как видно из уравнения

(5), переменные

и

У —

21) а =

6

,

6

= 2; 2) а = 4, с = 5; 3)

6

= 5, с = 13.

X

у

^

®

. Дана гипербола-д-----Определить ее оси и рас­

стояние между фокусами.

------1^-=!.

3.

Найти координаты вершин и фокусов гиперболы

4.

6 Написать уравнение гиперболы, у которой:

1)

фокусы имеют координаты (±4; 0) и вещественная ось

равна

;

86

2)

8 фокусы

К Р И В Ы Е

ВТО РО ГО П О РЯД КА

[ГЛ. IV

имеют координаты

(0;

±5) и

вещественная ось

равна .

5. Определить координаты фокусов, длину осей и эксцентри­

ситет гиперболы:

600;

61)

24л:2 — 25м2 =

2)

16і/2 — 9 -2 =

144.

а

простейший вид уравнения гиперболы, фокусы ко­

. Написать

торой лежат на оси

Ох,

если даны

I)

с = 7,

е

=

7

J-Уб"; 2)

6

= 9,

е =

1,25.

-J

гиперболы с фоку-

7.

Написать

простейший вид

уравнения

сами, лежащими

на

их,

если

а

—

15.

— =

оси „

3 и с =

8

8

.6

Лежат

ли

на гиперболе

_ _

JlL

1

Следующие

точки:

------

36

А

(

;

Ѵ Т ),

В

(б;А3 І^Г) и

С (З;

16

а

2 / б -)?

щей

9. Написать простейший вид уравнения

гиперболы, проходя­

через точку

(9; —4),

если

ее вещественная полуось

= 3.

10. Две точки

Л(4;

У 5

) и

В

{—4

5)

принадлежат

гипер­

боле, фокусы которой лежат на оси

Ох.

Написать простейшее урав­

нение этой гиперболы.

11. Написать уравнение равносторонней гиперболы, проходящей

через

точку:

ч

1)

А

(10; —

8

),

2)

1 ) .

ственная ось равна

8

, а расстояние

между фокусами, лежащими на

оси

Ох,

равно

1 0

.

Ох,

1

0

2

14.

Написать уравнения гиперболы, если расстояние между фо­

кусами, расположенными на оси

равно

^

,

а уравнения

у

3

X.

асимптот

=

± —

гиперболы, асимптотами

которой

слу-

15.

Написать уравнение

жат

0прямые

у = ± - ^ х

и

фокусы которой

имеют

координаты

3

(=4=2;

).Ох,

В(

16. Точка

Л(10; 4,5) лежит на гиперболе, имеющей вершины

на оси

а

одна из ее асимптот проходит

через

точку

4;

3).

Написать простейшее уравнение этой гиперболы.

у2 =

17. Найти

точку

пересечения

гиперболы

: 2

18

с

пря­

л — 2

мой

X =■

6

.

у2

18.

Найти

точку

пересечения

гиперболы

х

2

=

4 с

прямой2

Зх —

— 2

4у =

2 .

острый

угол

между

асимптотами

гиперболы

4х —■

19.2

Найти0 0

5у

=

, .

§ 3-1]

П А РА Б О Л А И Е Е П Р О С Т Е Й Ш Е Е У Р А В Н Е Н И Е

87

AB

Пусть точки М I,

М2,

М3, М 4

лежат на

параболе

F

(рис. 48). Если точка

изображает фокус,

а прямая

— директрису, то

согласно данному выше

определе­

нию можем написать:

FMl = M lNi,

FM2

M2N2,

FM3 =

M3N3,

FM4=

MANa.

=

K F — р]

oj.

.тогда координаты фокуса

F

будут

Возьмем

на

параболе

М{х\у)\

расстояния

ее

произвольную FMточкуMN.

от фокуса

F

и от директрисы

AB

будут

выражаться

со­

ответственно отрезками

и

Согласно определению

§ 351

И С С Л Е Д О В А Н И Е

У Р А В Н Е Н И Я

ПАРАБО Л Ы

89

I. Положим

х = 0

;

тогда

у =

±

\f2p

0.

парабола

• 0 =

проходит

через

Отсюда

следует:X

у

у

2 =

2рх

начало координат.

0,

то

— мнимое

число. А

это значит,

что

II.

Если <

Рис. 50.

Рис. 51.

абсциссами

и,

следовательно,

расположена

справа от

оси Оу.

X >

0, то у имеет два действительных

зна­

III. Если

чения,

Xравных по абсолютной величине, но с разными

знаками. Это значит,

что каждому положительномуОх.

зна­

чению

на параболепараболасоответствуюту2 = 2 рхдвесимметричнаточки, располо­от­

женные симметрично относительно оси

Следовательно,

возрастает, тогда и \у\

носительно оси Ох.

IV . Пусть X неограниченноОу

будет неограничено Ох.расти, т. е. точки параболы

с пере­

мещением вправо от

оси

неограниченно

удаляются

вверх и вниз от оси

позволяет представить

параболу,

Вышеизложенное

как показанофокальнымна рис.радиусом50

точки М

параболы,

отрезок

О

вершиной

параболы,

FMТочкаОх

называетсяосью симметрии.

а

пря­

мая —

является ее