Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 423 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

20	ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. и
	Каждому значению г в этом равенстве соответствует

определенное значение 5; следовательно, площадь круга есть функция радиуса, а само равенство выражает функ

циональную		зависимость		между этими Vпеременными.,
П р и м е р		2.	Путь, пройденный телом в прямолиней
ном движении с постоянной скоростью
Здесьt.				S	=	vt.
	путь 5 получает определенное значение, соот
ветствующее		значению		/;	поэтому		S — функция вре
мени	р		ѵ			закону	Бойля — Мариотта
П р и м е р		3. Согласно
давление	и объем газа связаны формулой:

где с — постоянная величина для данной массы и тем пературы газа. С изменением объема ѵ изменяется и давление р\ следовательно, давление р газа есть функ ция его объема ѵ.

	§ 7. Линии и их уравнения.графикомИз курсафункции.алгебры изве
стно, что по уравнению, определяющему									=функцию, можно
построитьу			линию, называемуюх.					у	х2,
	Пусть,		например, дано уравнение							х определяю
щее		как функцию		у:			значений				и соответ
	Составим таблицу некоторых
ствующих значений				—2	—1	0		1	2		3
		X	- 3
		У	9	4	I	0		I	4		9
и	уКаждой полученной в этой таблице								паре значений лг
		соответствуету = X2.точка			плоскости. Построив						эти точки
(рис. 8) и соединив их плавной линией, мы получим гра
фик функции				Этот график, как					видно, представ

ляет линию, все точки которой обладают одинаковым свойством, а именно: ордината каждой из них равна квадрату соответствующей абсциссы.

§ 7]

ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ

Совокупность всех точек плоскости, обладающих од ним и тем же свойством, называется геометрическим ме стом точек.

Маш пример показывает, что

уравнению с переменными х и у со ответствует на плоскости некоторая линия как геометрическое место то чек, координаты, которых удовле творяют этому уравнению. Задачи на построение графиков функций можно рассматривать как примеры общей задачи, состоящей, в нахо ждении линии, соответствующей данному уравнению.

Часто приходится решать обрат ную задачу: по данной линии на плоскости находить соответствую щее ей уравнение с переменными

х и у.

0 7 2 3

Рис. 8.

Пусть,	например,	дана на	плоскости окружность
с центром	в начале	координат	и радиусом, равным 5

(рис. 9). Из элементарного курса геометрии известно, что эта окружность есть геометрическое место точек, удален ных от центра на о еди ниц. Возьмем на окруж ности произвольную точ ку М(х\у). По условию ОМ = 5; с другой сторо ны, по формуле (5) § 3

ОМ = У х 2 + у2.

Следовательно, для лю бой точки нашей окруж ности должно быть

V X2 + у2 = 5,

или

X2+ у2= 25. О)

Итак, окружности с радиусом, равным 5, н с центром в начале координат соответствует уравнение (1).

Уравнение (1) вполне определяет данную окружность, а потому оно называется уравнением этой окружности.

ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ

[ГЛ. II

Имея уравнение (1) окружности, можно узнать, ле жат ли на ней какие-нибудь данные точки, например А (—3; 4) и В ( — 1; 3). Для этого нужно проверить, удов летворяют ли координаты точек А и В уравнению (1). Подставив их в уравнение (1) на место х и у, получим: для точки А:

(—3)2 + 42 = 9 + 16 = 25,

для точки В:


		( - 1) 2 +А	3 2 = 1 +	9 += 25.
КоординатыА точкиВ			удовлетворяют уравнению (1),
значит, точка		В лежит	на данной окружности; коорди
наты же	точки	не удовлетворяют этому				уравнению,
значит, точка		на этойУравнениемокружностилиниине				лежитназывается(см.
О п р е д е л е н и е .				которому		удовлетво
уравнениерис. 9).	с переменными к и у
ряют координаты любой			точки этой,		линии и не удовле

творяют координаты любой точки, не лежащей на линии.

Таким образом, мы установили, что между линиями и их уравнениями существует связь, поэтому принято говорить:

«дана линия» вместо «дано уравнение линии», «найти линию» вместо «найти уравнение линии». Установленная выше связь между линиями и их

уравнениями позволяет изучать свойства линий путем

анализаская геометрия.уравнений, соответствующих этим линиям. От

сюда и название изучаемого нами предмета —

П р и м е р

Лежит ли точка

(—2; 4) на линии

у =

= х2?

(

Р е ш е н и е .

ПодставивАвместо

в данное урав

нение координаты точки

—2; 4),

получим тождество:

4А=

(—2)а =

Следовательно, точка

лежит на данной линии.

П р и м е р

2. Дана

линия

у — —

1 и точка

на

Зх +

ней с абсциссой, равной

— 1. Определить ординату

точ

аналитиче

ки А.

Р е ш е н и е . Так как точка А лежит на данной линии, то ее координаты должны удовлетворять данному урав нению. Одна координата х = — 1. Чтобы найти вторую,

§ 8] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ 23

т. е. у, мы подставим в уравнение вместо х его значение.

Получим:			У =		— 3(— 1) + 1 = 4.
Итак, ордината точки					А		равна 4.
1. Дана линия		y =		- j X			Упражнения		ли на		ней точки
							+ 2. Узнать, лежат
4 (2; 3), 0(3; 3) и		С (4;		4).				у)		В(х\
'2. На линии	Ах	—	5у	=		8 лежат точки 4(2;			и		4). Найти

неизвестную координату каждой точки.

3. Написать уравнение линии, все точки которой одинаково удалены от осей координат. Построить эту линию.

'4. Ординаты любой точки некоторой линии в 4 раза больше ее абсциссы. Написать уравнение этой линии и построить ее.

5. Написать уравнение линии, все точки которой удалены от точки 0(0; 0) на одинаковое расстояние, равное 2. Какой вид имеет

эта линия?

уравнение

линии,

все

точки которой

удалены от

6. Написать

точки

(2; —3) на одинаковое расстояние, равное 4.

от

двух

точек

7. Точки

некоторой

линии одинаково

удалены

4 ( —2;

1) и

В(

— 1; —3). Написать уравнение этой линии.

точка

Написать

уравнение

линии,

по

которой движется

М (х; у)

так,

что

Ох

остается

все

время рав

ее расстояние от осиМ(х;

ным расстоянию ее от точки

0; —2).

у),

9. Определить

траекторию точки

которая

при

своем

движении остается

вдвое бли

же от

точки

4(1;

0),

чем

от

точки

В(

4; 0).

§ 8. Формулы преобра зования прямоугольных координат.

I.П а р а л л е л ь н ы й

п е рМе н о с о с е й к о о р
д и н а т .	Пусть дана хОуточ
ка	в системе прямо


угольных координат
(рис. 10). Если перенести						Оі(а;Ь),
начало	О	этой системыХ О і У,			в другую точку			сохраN
нив при этом направление осей, то получим новую си
стему	координат			М	относительно которойхОу		точка
будетXOiYиметь.			другие координаты. Найдем связь между
координатами точки					в прежней системе			и в но

вой

ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ

[ГЛ. [[

Из рис. 10 имеем:

x = OP = Q P + O Q ^ O i P t + O Q ^ X + а,

у = РМ =	Р ,М + РРі =		РіМ -1- QO, = Y + b.
Итак,	X =	X	+	а,	I
	y =	Y
Отсюда			+ b.		J
	X	X	—	а,
	Y =				1
	=	у — Ь. )

(1)

(2)

Формулы (1) служат для нахождения координат точ

ки в прежней системе		хОу	по координатам этой точки
в новой системе	Х О {У,	а формулы (2) — для вычисления

координат точки в новой системе по координатам этой точки в прежней системе. Эти формулы справедливы для

любого положения нахОу,плоскости точек

М.

Если взять уравнение какой-либо линии относительно

системы

координат

то

при параллельном

переносе

осей

Ох

Оу

изменятся

не только

координаты

каждой

точки этой

линии, но

ее

уравнение. Пусть, например,

дано

уравнение линии

у =

2х2 — 4х

относительно

систе

мы

координат

хОу.

Перенесем

начало

точку

O t(1; —2),

сохранив

первоначальное направление

осей.

Используя формулы (1),

получим:

АХ

—

2 =

2(Х

I)2 — 4 (X +

1) =

2Х2

-f- 4Х +

2 —

— 4,

откуда

Y — 2Х- (в новой системе XO iF).

Как видно из этого примера, параллельный перенос осей координат изменил (и даже упростил) уравнение линии. Нужно, однако, заметить, что такое упрощение возможно только при некоторых подобранных для этого


числовых значениях		а	и	b	формул		(1).		Возьмем в си
II. П о в о р о т о с е й					к о о р д и н а т .
стеме координат	хОу		(рис. 11)			точку		М	с координатами
	х =		ОР		и	у =	РМ.

Повернем систему координат около начала О на угол а. Этот угол а имеет положительное значение, если он образован поворотом осей координат в направлении,

§ 8] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ 25

противоположном движению часовой стрелки, и отрица

тельное—XOв Y,направлении движения

часовой

стрелки.

В результате поворота осей получится новаяМсистема ко

ординат

относительно которой

точка

имеет ко

ординаты

—

Р,М.

X =

OPt

Найдем

соотношения

между

координатами

точки

в преж

ней и новой системах. Прове

дем прямые

РхА ± . О х .

Р\В\\ О х

Приняв

во внимание,

что

ВМ Р{

РхОА =

как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами, имеем из рис. 11:

х = ОР = О А - Р А = 0 А - В Р { =

		РМ		ВМ	—	OP, cos а — Р,/И sin а =			X	cos а — 7 sin а,
у
	=	Р [ М	=		+	РВ = ВМ	+	А Р Х
								=
=			cos а+ О Р \| sin а = У cos а + Х s in a = X s in a + 7 cos а.

Итак,

х= X cos a — 7 sin а,

у— 7 sin a + 7 cos a.

Таковы формулы, позволяющие найти прежние коор динаты точки, зная ее новые координаты. Решив систему уравнений (3) относительно X и 7, мы получим фор мулы:

X =	X cos a + у sin a,
7 =	— xsi na + i/cosa,

с помощью которых находятся новые координаты точки по известным ее прежним координатам. Предоставляем учащимся вывести формулы (4) самостоятельно.

П р и м е р . Дано уравнение линии

5JC2 — Qxy -f- by2 — 32.

ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ

[ГЛ. II

Повернув оси координат на 45°, найти уравнение этой линии в полученной системе координат.

Р е ш е н и е . Используем формулы (3). Предваритель но упростим их, положив а = 45°; получим:

(5)

Заменив в данном уравнении х и у их значениями из равенств (5), получим:

После упрощений окончательно найдем: *2 _|_4у2= 16і

Как видно, данное уравнение линии приобрело дру гой вид, и притом более простой. Упрощение произошло благодаря выбору угла поворота а = 45°.

Мы увидели, что преобразование координат позво ляет упрощать уравнения линий.

Г Л А В А III

ПРЯМАЯ л и н и я

§ 9. Уравнения прямых, параллельных осям коор динат. Возьмем прямую линию, параллельную оси Оу и отсекающую на оси Ох отрезок величины а (рис. 12).

Все точки этой прямой одинаково удалены от оси ординат. Следовательно, для каждой точки прямой AM абсцисса одна и та же, а именно:

х = а,

(1)

ординаты же различны. Таким образом, уравнение (1) вполне определяет прямую, параллельную оси Оу, а по тому оно является ее уравнением. При этом, если а по ложительно, то прямая расположена справа от оси Оу, а если а отрицательно, то слева.

Рис. 12.

Рис. 13.

Возьмем прямую, параллельную оси Ох и отсекаю щую на оси Оу отрезок величины b (рис. 13). Все точки этой прямой одинаково удалены от оси Ох, т. е. точки прямой ВМ имеют постоянную ординату

У = Ь,

(2)

абсциссы же различны. Как видно, уравнение (2.) вполне

ПРЯМАЯ линия

[ГЛ. Ul

определяет

прямую, параллельную

оси

Ох,

Оах, потому

оно является

ее

уравнением.

При этом если

положи

тельно, то прямая расположена вверх от оси

а если

отрицательно, то вниз.

соответ

По уравнениям (1) и (2) можно построить

ствующие им прямые. Пусть,=

например,

прямая задана

уравнением

= —4. Отложив на Аоси

Ох

отрезок

ОА —

14)

—4

(рис.

и проведя че

рез

точку Оу,

прямую, параллель

ную

оси

получим

искомую

прямую.

§ 10. Уравнения осей коорди

нат. Рассмотрим

уравнение

прямой, параллельной оси Оу, будем уменьшать абсолютную величину а; тогда прямая, опре деляемая этим уравнением,будет приближаться к оси Оу, оста

ваясь все время ей параллельной, и при а — 0 сольется с ней. Уравнение

х = 0

является уравнением оси Оу.

Если же в уравнении

прямой, параллельной оси Ох, будем уменьшать абсо лютную величину Ь, то эта прямая станет приближаться к оси Ох, оставаясь ей параллельной, и при b — О с ней совпадет. Таким образом, уравнение

У*= о

будет уравнением оси Ох.

Упражнения

1. Построить прямые: 1) х = 3, 2) х *= —5, 3) (/=3, 4) у = —2.

2.Написать уравнение прямой, параллельной оси Ох и отсекаю щей на оси Оу отрезок, равный —5.

3.Написать уравнение прямой, параллельной оси Оу и отсе

кающей на оси Ох отрезок, равный —2.

§ U]

ПРЯМАЯ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ НАЧАЛО КООРДИНАТ

4.Написать уравнение прямой, параллельной оси Ох и пере секающей ось Оу в точке А (0; —4).

5.Написать уравнение прямой, параллельной оси Оу и пересе

кающей ось Ох в точке /4(3; 0).

оси

Ох,

проходит

через

точку

Прямая,

параллельная

Оу,

/4(—3; 2). Написать уравнение этой прямой и построить ее.

точку

Прямая,

параллельная

оси

проходит

через;

/1(5;

— 1). Написать уравнение

этой

прямой и

построить

eè.

Ох

Прямая

проходит

через

точку

/1(4; —6),

образуя с

осью

Ох

угол

а —

0°. Написать уравнение этой прямой и построить ее.

Прямая

проходит

через

точку

/1(2; —5), образуя с осью

угол

= 90°.

Написать

уравнение этой

прямой

и построить

ее.

10.Сторона квадрата равна 12. Написать уравнения его сторон, если за оси координат принять прямые, параллельные его сторонам

ипроходящие через центр квадрата.

11.Стороны прямоугольника, равные 6 и 8, совпадают с осями

координат.									случая, когда
		Написать уравнения сторон прямоугольника для
он расположен в первом координатном угле.									~
		§ 11. Уравнение прямой, проходящей через начало
координат.				аПроведем прямую через начало					координат
Ох
под углом				(а =£90°) к оси
		(рис. 15). Принято по
ложительный угол					а	отсчи
тывать			от	положительного
направления оси абсцисс							в
сторону,				противоположную
движению				часовой	стрелки
(см. рис.			15), а отрицатель
ный— по				часовой	стрелке.
		Возьмем на проведенной
прямойМпроизвольнуюР Ох,						точку
М		у)
	(х;ОМ.Р,Опустив перпенди
куляр				на ось		получим прямоугольный треуголь
ник				из которого найдем:				tg а.	(1)
					РМ		O P
				ОР — х =			и
								РМ = у,
поэтому			равенство		(1)
						перепишется так:
Положим						y =	xtga.
						tga = k,
тогда получим:									(2)

						у = ІІХ.			(3)

<<< < Предыдущая 1 23 / 423 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб99Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб4Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб22Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб20Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб14Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб85Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб1Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб10Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб5Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб3Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб6Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf