Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 425 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[ГЛ. ш

Ох. Если прямая не параллельна ни одной из координат ных осей и не проходит через начало координат, то ее положение может быть определено и другими данными, например отрезками, которые она отсекает на осях.

Действительно, прямая отсекает на обеих координат ных осях ненулевые отрезки лишь в том случае, если все коэффициенты общего уравнения прямой отличны от нуля. Следовательно, ее уравнение

Ах -|- By -j- С = 0

можно переписать так:

или

Положив

получим уравнение нашей прямой в виде:

( 1)

Легко выяснить геометрический смысл величин а и Ь:

при

а,

а прии Ь

у =

ОМ

= Ь.

Следовательно,

— это

величины

отрезков

ON,

отсекаемых прямой на

осях

Ох

Оу

(рис.

21).

Уравнение

(1)

называется

уравнением, прямой

в от

резках.

например, дана

прямая

(рис.

22). Здесь

Пусть,

—

—2,

—3;

следовательно,

уравнение

прямой

запишется

в таком

виде:

§ М]

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ

ИЛИ

X _______У

2 3

По уравнению вида (1) очень просто строится пря мая. Для этого нужно только отложить на осях отрезки

а и Ь, взятые из уравнения (с учетом их знаков!), и че рез их концы провести прямую.

Упражнения

1.Построить прямые:

1> т + т = 1’

- —

3 Т+ ^4-

4)’

—------— =

Прямая

Л(0;2), 6(4; 0),

проходит

через точки

Л(—2; 0),

6 (0 ;— 1),

Л(0;

3),

б ( —2;

0). Написать

уравнение

прямой в отрезках.

= 1,

заключен

3. Определить длину отрезка прямой

осями

ного между точками пересечения прямой с

координат.

4. Преобразовать следующие

уравнения прямой в форму урав

нения

прямой

отрезках:

2х

Зу — 6 = 0, 2)

— бу + 6 = 0,

2х — у

Бх —

Зх — 2у— 1 = 0.

отсекаемые

на

координат

прямыми:

Найти

отрезки,

осях

— 12 =

0, 2)

уX=

2 — Зх, 3)

4у = 0.

6. Определить

площадь

треугольника, заключенного между ося-

ми координат и прямой

-g--r~g- =

7. Диагонали ромба совпадают с осями координат. Определить

площадь ромба, если одна

из сторон его задана уравнением

л _

2Д +

42	ПРЯМАЯ ЛИНИЯ	[ГЛ. Ill
8. Две	смежные вершины ромба лежат	в точках Л (5; 0) и

5(0; 8). Написать уравнения в отрезках для всех его сторон, если диагонали ромба совпадают с осями координат.

	}	9.	Отрезок прямой, заключенный между осями координат, равен
3		г2	и наклонен к положительному направлению оси			Ох	под
углом			135°.	Написать уравнение этой прямой в отрезках (два
случая).					ОА
		10. Даны		точки 0(0; 0) и Л(—3; 0). На отрезке		построен

параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке ß(0; 2), Написать уравнения сторон параллелограмма.

§ 15. Уравнение пучка прямых.		В § 11 было выве
дено уравнение	y = kx,	(1)

определяющее прямую, проходящую через начало ко ординат. Это уравнение представляет одну прямую, если в нем угловой коэффициент /г имеет одно, определенное значение. Если же величине k давать разные значения, то уравнение (1) будет определять множество прямых, проходящих через начало координат.

Совокупность всех прямых, проходящих через одну точку, называется пучком прямых с центром в этой точ

	ке.		Таким образом,				уравнение			(1),
	k
	в		котором		угловой			коэффициент
		— переменная				величина,			можно
	рассматривать как уравнениеОупучка
	прямых,			проходящих				через	начало
	координат,				исключая			ось		(так
	как		tg 90°		числового			значения не
	имеет).				теперь		уравнение			пуч
			Выведем
	ка прямых с ОхцентромОу, в любой точке
				0\{хр,у{).			Для этого			сде
плоскости, например, в точке0\{х\\у{).						и
лаем параллельный	XпереносO iY			осей				поместив на
чало координат в точке						Мы	получим		новую
систему координат			(рис. 23),			относительно				кото

рой уравнение пучка прямых с центром в точке О і имеет


вид:	Y =	kX .						(2)у.
Перейдем от новых координат			X	и	У к прежним		х	(2)у.
Перейдем от новых координат				и	У к прежним			и
С этой целью	подставим	вместо			X	и У их значения,
С этой целью	подставим	вместо				и У их значения,

§ 15]	УРАВНЕНИЕ				ПУЧКА ПРЯМЫХ				43
взятые из формул		(2) § 8, в которых				а	и	b	заменим со
ответственно на	х х	и	у	\|.	k (X — л:,).				(3)
Получим:		i j — ij\ =			k (X — л:,).				(3)

Уравнение (3) представляет собой уравнение пучка пря


мых		с	центром в точке		Оі(хі\у\),			исключается только
прямая,			параллельная	оси		Оу	(так как /г = tg 90° не
имеет числового значения)Ох .
	Чтобы выделить из этого пучка прямую, образующую
заданный угол с осью					, нужно			в уравнение (3) вме
сто	k	подставить его числовое значение. Пусть, например,

центр пучка прямых находится в точке М (2; —5), тогда

уравнение этого пучка прямых имеет вид:
У	4- 5 =	k {х —	2).	(4)

Выделим из этого пучка одну прямую, которая на клонена к положительному направлению оси Ох под углом а = 45°; тогда

А— tg 45° = 1,

иуравнение (4) обратится в следующее:

у-\- Ъ = х — 2,

или	X — у — 7 =				0.
1.		Упражнения				2 — k(x	— 6). Найти ко
	Дано уравнение пучка прямых (/+
ординаты центра этого пучка прямых.				у
2.	Дано уравнение пучка прямых				— 4 = А(л: -f- 3). Проходят
ли эти прямые через точку		М(	—3; 4)?			проходящих через точку
3.	Написать уравнение	пучка прямых,

М(—6; —9).

4.Из пучка прямых, проходящих через точку Л1(2; —7), одна


прямая образует		с положительным направлением оси Ох угол 60°,
а другая — угол		150°. Написать уравнения этих прямых.						Ох
5.	Написать	уравнение	прямой,		проходящей	через	точку
Л4(— 1;	8) и образующей с		положительным направлением				оси
один из углов: 45°. 30°, 135°, 180'1.					проходящей	через		Ох
угол,6.	Написать	уравнение	прямой,				точку
М(10; —2) и образующей с положительным направлением оси
равный		1) atctg3,		2)	arctg (—2).

4 4

Высота

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

совпадает

[ГЛ. ш

равнобедренного

треугольника

положи

тельным направлением оси

Оу,

а основание — с

осью

Ох.

Написать

из

уравнения боковых сторон

треугольника, если

одна

них

обра

зует с положительным направлением оси

Ох

угол в

135°, а

высота

его

равна 5.

равностороннего

Оу,

равная

совпа

Ох.

Высота

треугольника,

6 К з ,

дает с положительным направлением осп

основание — с

осью

Написать уравнения боковых сторон треугольника.

зная,

Написать уравнения

сторон равнобедренной трапеции,

что основания ее равны 10 и 6, а боковые стороны образуют с осно

ванием угол			в	60°. За оси	координат	взяты		большее основание
(ось	Ох)	и	ось	симметрии	трапеции	(ось	Оу).		Рассмотреть два

случая.

§ 16. Уравнение прямой, проходящей через две дан ные точки. Пусть даны две точки /4(A',; г/,) и В (х2; г/г); требуется найти уравнение прямом, проходящем через эти точки.

Предположим сначала, что а'і ф х2, Ц іФ у і. Если взять, например, точку А, то через нее можно провести пучок прямых, уравне

ние которого будет:

У — У\ = к (х — Х|), (1)

где каждому значению k отвечает одна пря мая.

Выделим из этого пучка прямую, которая проходит и через вто рую точку В (рис. 24). Чтобы найти ее урав

нение, необходимо определить угловой коэффициент. Но так как точка В лежит на искомой прямой, то ее коорди наты должны обращать уравнение (1) в тождество при А?,..равном угловому коэффициенту этой прямой. Подста вка в уравнение (1) вместо текущих координат х н у координаты точки В, получим:

У 2 ~ У і = Ь (хо — д:,);

отсюда находим угловой коэффициент искомой прямой:

k ^ Уз —Уі

Хц — Х ,

§ 16]

ПРЯМАЯ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ ДВЕ ДАННЫЕ ТОЧКИ

Заменим в уравнении (1) k найденным его значе нием:

у — и I X 2 — Х\ •(*-*■ )•

Преобразуем это уравнение, разделив обе части его на уг— Уй получим:

у — УI _	х — хі	/	2	\
Уг — Уі	Х 2 — Х і '	'	2	'

Равенство (2) является уравнением прямой, проходящей через две данные точки. Это — частный случай общего уравнения прямой.

Если Xi == х2 или Уі = yz, то формула (2) теряет смысл, так как делить на нуль нельзя. В этих случаях точки А и В лежат либо на прямой, параллельной оси Оу, либо на прямой, параллельной оси Ох. В первом слу чае уравнение прямой запишется в виде

а во втором — в виде		X	= х х,
		У =		У\-		прямой, проходя
П р и м е р	1. Написать		уравнение
щей через две точки:			и	В (2;	-	3).
	А ( - 4 ; 6)
Р е ш е н и е. Имеем:		—4,		х2 =	2
и	Хі =					3 .
	Уі — 5,			Уг—

Подставим эти значения в уравнение (2), получим:

	у -	6		х + і
или	- 3	- 6	___	2 +	4 '
или	У — 6		___	X +	4
	— 9		~	6	*

Умножение обеих частей последнего уравнения на — 18 дает

2у — 12 = — Зх — 12,

откуда

Зх + 2у = 0.


п р я м а я	л и т і я		[ГЛ. ш
46 П р и м е р 2. Через две точки		/1(3; 2) и	ß(5;2) про
ходит прямая. Написать ее уравнение.				Ох,
Р е ш е н и е . Так как ординатыу		данных	точек равны,
то заключаем, что искомая прямая параллельна оси
а потому ее уравнение будет	= 2.

Упражнения

1. Написать уравнение прямой, проходящей через две данные точки, если дано:

А (1; 2)

и 5(4; 3),

4 )А (3 ;0 )

5 (0; —5),

А (—2; 3)

(5; —3),

(—2; —3)

(—2; 5),

(0; 6)

ß ( 4 ;— 1),

А (8;

(—

I).

2. Даны

вершины

треугольника

АВС:

Л (3;

— 1),

5(4;

2) и

С (—2; 0). Написать уравнения его сторон.

направлением

А3. Найти

угол,

образованный с положительным

осп

Ох

каждой

из

прямых,

проходящих

через

точки

В:

1) (2; —5)

и 5(4;

1), 2)

(—3; — 1)

и 5(3;

2).

4. На план участка нанесено положение двух вех, координаты

которых М|(30; 40)

и Л42(50; 80). Найти угол наклона

прямой Л4)Л42

к положительному направлению оси абсцисс плана.

на

одной

прямой

Найти

абсциссу

точки

А (.г; 4),

лежащей

с точками 5(1; 1)

С (—3; —5). Дать

аналитическое и графическое

решения.

6. Точка, двигаясь прямолинейно, в некоторые моменты зани

мала

положения

Л (5;

5 (— 1;

—2).

Определить

положение

этой точки в момент нахождения ее на оси

Ох.

Дать

аналитическое

играфическое решения.

7.Определить отрезки, отсекаемые на координатных осях пря

мой, проходящей через две точки

(2; 3) и 5(4;

1).

8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

(3; —2)

и отсекающей на оси

Ох

отрезок, равный 5.

АВС: А(

9. Даны координаты вершин треугольника

2; 4), 5(0; 2)

п С (4; —2). Написать уравнение

прямой, проходящей

через

сере

дины сторон АС и

ВС

треугольника.

АВС:

10. Даны координаты вершин

треугольника

А (4;

—2),

5 ( — 1; 5) и С (—5; —3). Написать уравнения медианы, проведенной из вершины А.


11. Даны			координаты трех	вершин		параллелограмма			ABCD:
А (— 1; 2),	б (—2; —2) и С(5; —2). Написать уравнения							его диаго
налей АС	и	BD.
12. Проверить аналитически и графически, лежат ли на одной
прямой точки А (—4; 0), 5 (—8; 3)				и С (4; —6).
13. Даны			вершины треугольника		АВС:		А (2; — 1),	5(4; 5) и

С (—3; 2). Написать уравнение прямой, соединяющей центр тяжести этого треугольника с началом координат.

§ 17!			УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ					4 7
	§ 17. Угол между двумя прямыми. Пусть даны урав
нения двух прямых:					tj =	kyx	bi,
					У =	k2x	- f b2,
где	ki, k2, bi	и	b2				+
где		и		имеют вполне определенные значения.

Выведем формулу для определения угла между этими прямыми.

ОбозначимОх,			искомый угол через ср, а углы, образуе
мые данными прямыми с положительным направлением
оси		через		ccj	и а2
(рис. 25).		а2,	как		В С,
Угол				Авнешний
угол	треугольника					бу
дет	равен сумме внутренних,
с ним не		смежных,			т. е.
	а2 = а, +			ср,
откуда

Ф = а2 — а,.

Если углы равны между собой, то и тангенсы их равны, поэтому

tgr Ф = tgf (а2 — а,).

Применяя формулу для тангенса разности двух углов, получим:

Но	tg а, = ki		tg tt2 — lg g\|
			1 + tg а, tg a 2
			и tg <x2 = k2,
поэтому				— fei	П)
	tg Ф		1-f*
	Определив tgф по формуле (1), можно найти и са
мый угол ф.
	П р и м е р . Определить угол между прямыми:
и	2х	—	Ъу	+ 6 =	О
	X + 5# — 2 =				0.

48	Р е ш е н и е .	Из	ПРЯМАЯ		ЛИНИЯ			[ГЛ. ш
			данных		уравнений			найдем угловые
коэффициенты этих прямых [(8) § 13]:
		, 2		и	,	—	1
		= -д			/г2 =
	Согласно формуле (1)			имеем:		13
откуда			1	2
		Ф =	acrtg (— 1) =			135°.
	Полученный угол между прямыми тупой. Но если
принять		г			к ,
			1д		И , 2		д	,
		Я]

то, вычисляя t g фі но той же формуле (1), получим:

откуда фі = 45°. Получился угол острый, смежный

с ранее найденным тупым углом (рис. 26). Первое и второе значение угла будет ответом на вопрос задачи.

18]

УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

ПРЯМЫХ

Упражнения

1. Определить острый угол между прямыми:

” ’ ’

1) </ = 2х + 3 н / =

— 2,

3)х — —

= 1 и

З.ѵ- — у +

= 0

4 = 0,

5 = За и

З у

у +

у — 2 —

2. Найти угол между прямой

— у +

6 =

прохо

2а —

0 и прямой,

дящей через точки /4(4; —5) и

В(

—3; 2).

3. Под каким углом пересекаются прямые:

X + 3,

1) а — 2 у — 2 = 0

и у = j

2) З + у — 2 = 0

— Зу + 1= 0?

4. Две прямые пересекаются в точке

(2;

— 1). Одна

из

них

проходит через начало координат, другая же через точку ß(5;

1).

Найти острый угол между этими прямыми.

координат

под

углом

5. Две

прямые

проходят через начало

Ф = 45° друг к другу. Их угловые коэффициенты

относятся

между

собой, как 6:1. Написать уравнения этих прямых.

§ 18. Условие параллельности прямых. Если прямые параллельны между собой, то угол ф между ними равен 0° или 180°. В этом случае в формуле (1) § 17 t g 9 = 0 и мы имеем

Л^2 —

1+ ft|*2 '

Дробь же равна нулю, если ее										числитель равен нулю,
т. е.	kz	—	ki	=	0, откуда
								k\z:=z k%.
Обратно,					если			k\ — &2>
то числитель					дроби в			правой части формулы (1) § 17
обращается в нуль; в этом случае t g ф = 0, откуда
					Ф	=	0°		или	180°.
А это значит, что данные прямые параллельны.
Итак,			прямые параллельны тогда и только тогда ко
										,

гда угловые коэффициенты равны.

П р и м е р . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 5х + 3г/ — 7 = 0 и проходящей через точку Л (—2; 6).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 425 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб236Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб7Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб46Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб31Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб20Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб267Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб15Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб46Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб10Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб11Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб10Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf