Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 424 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[ГЛ. ш

Координаты любой точки прямой ОМ удовлетворяют полученному уравнению; можно показать, что координа ты любой точки, не лежащей на прямой ОМ, не удовле творяют ему; поэтому оно является уравнением прямой О/VI. Итак,

				у = Ігх
	уравнение прямой, проходящей через начало коор
динат.		k		угловым коэффициентом.
называетсяЧислотангенсназываетсяугла наклона этой прямой к положи
есть				Угловым коэффициентом	прямой
О п р е д е л е н и е .
тельному направлению оси Ох.
Величина		k	может быть как положительной,		так и

отрицательной. Если угол а острый, то тангенс его имеет положительное значение; если же угол а тупой, то от рицательное. Поэтому величина k в уравнении прямой будет положительной, если а — острый

угол, и отрицательной, если тупой. Заметим, что при а = 90° углового

коэффициента не существует, так как tg90° не имеет числового значения.

Зная угловой коэффициент прямой у = kx, можно определить ее поло жение.

Пусть требуется построить прямую

у = 2х.

Для этого найдем угол а из усло вия

& = tg a = 2,

откуда

а = 63° 26'.

Построив при точке О найденный угол, мы и получим искомую прямую (рис. 16).

Построение этой прямой можно провести и проще. Известно, что положение прямой определяется дву

мя точками, поэтому для решения задачи нужно знать их координаты. В нашем же случае достаточно опреде лить координаты одной точки, так как вторая (начало координат) нам известна. Для этого дадим х произволь ное значение, например х = 2, тогда из уравнения пря мой найдем:

у = 2- 2 = 4.

§ И] ПРЯМАЯ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ НАЧАЛО КООРДИНАТ 31

Значения х — 2 и у — 4 и будут координатами точ ки, лежащей на данной прямой. Построив эту точку, проведем через нее и начало координат прямую линию

(см. рис. 16).

Упражнения

через

начало

коор

1. Написать уравнение

прямой,

проходящей

динат н образующей

положительным

направлением

оси

Ох

один

из следующих

углов:

45°, 2)

30°,

135°, 4) 0°,

5) 180°.

2. Прямая

задана

уравнением

kx.

_Каково

будет положение

прямой при 1)

к —

1, 3)

f e' =T^3,4)

к —

—1?

совпадают

3. Стороны

прямоугольника, равные 4

см

см,

с положительным направлением осей координат. Написать уравне ние диагонали, выходящей из начала координат.

Под

каким

углом к

положительному

направлению

оси

Ох

наклонены следующие прямые: 1)

у = Ѵ

х,

у =

—

х, 3) у

= —

2х?

Построить

прямые:

у — 2х,

у =

-^-х,

3) у — — 2х,

4) у

- \ х .

у — 3.x.

Лежат

ли

на

ней

точки

/4(1; 3),

В(

Дана

прямая

2; 5)

---- —lj

Проверить

аналитически

графически.

7. На какой из прямых у — 4х, у — —Зх и у — 2х лежит точка Л(—2; —4)? Дать аналитическое и графическое решения.

'8 . Дана прямая у — \,5х и точки на ней А(х\ 6) и В(—2; у). Найти неизвестные координаты этих точек. Дать аналитическое и графическое решения.

9. Прямая у = kx проходит через точку Д(— 1; 5). Найти ее угловой коэффициент.

10.Написать уравнение прямой, проходящей через начало ко ординат и точку Л(2; —4).

11.Вершина острого угла равнобедренного прямоугольного

треугольника совпадает с началом координат, а катет, равный 10,— с положительным направлением оси Ох. Найти уравнения сторон треугольника.

12.Вершина равностороннего треугольника лежит в начале координат, а одна из сторон совпадает с отрицательным направле нием оси Ох. Написать уравнения сторон этого треугольника, пере секающихся в начале координат.

13.Построить точки А (—6; 0) и В(0;3) и прямоугольник ОАСВ.

Написать уравнения сторон							прямоугольника и	его диагонали		ОС.
14. Сила		приложена				к	началу координат,	и	составляющие ее
по осям	Ох	и	Оу		соответственно равны 5 и —2. Написать уравне
			А
ние прямой, по которой направлена сила, и построить эту прямую.
15. Точка				удалена		от	начала координат на 5 единиц длины;
угловой коэффициент прямой, проходящей через									точку /1 и начало
					3		координаты точки .4.		--
координат, равен — . Найти

32				ПРЯМАЯ		ЛИНИЯ'			ІГЛ. u i
§ 12. Уравнение			прямой			с угловымD	коэффициентомС.
VиCначальной= b,		ординатой. Пусть дана прямая						A B ,	Ох,пересе
кающая оси координат в двух точкахЬ).							и	Обозначив
местив	выполним		параллельный перенос					оси	по
	начало координат в точке С(0;						Получим новую
систему			XC Y		(рис. 17), относительно				которой
	координатAB
уравнение прямой				имеет вид					(1)
					Y =	kX .

Перейдем теперь от новых координат X и Y к преж ним X и у. Для этого заменим в равенстве (1) Х и У их значениями, взятыми из фор мул (2) § 8, в которых поло

жим а — 0. Будем иметь

откуда

у — b — ііх,

( 2)

Мыk

хО у,

получили уравнение пряЬ

начальная

ордината.

мой

в системе

координат

этомb =

уравнении

— угловой

коэффициент,

—

При

0 уравнение

(2)

обращается

уравнение

— кх,

определяющее прямую, проходящую через на

чало координат.

в уравнении

у =

k x

легко

Зная значения

построить

соответствующую

прямую.

Например,

по

строим прямую, заданную уравнением

у =

х +

k — \.

Из

данного

уравнения

Следовательно,

имеем

а =

1, откуда

а =

45°.

Ох

Проведем

через

начало

координат

прямую

под

углом

45°

ук—положительному направлению оси

(рис. 18).

Оу

Прямая

4, как

видно из уравнения Сее, пере

A B,

секает ось

на

расстоянии

О С,

равном 4

4). По

этому

прямая

MN,

проведенная

через

точку

парал

лельно прямой

и будет искомой.

Можно построить указанную прямую по двум ее точ кам. Для этого удобнее брать точки пересечения прямой


§ 121	УРАВНЕНИЕ		ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ				33
с осями координат. Одна из них — точка					С	пересечения
прямой с осью		О у		— дается самим уравнением, а именно

С (0; 4). Для нахождения точки D пересечения этой пря мой с осью Ох положим в данном уравнении у —О,


получим	X	— —4;		значит,	прямая		пересекает ось			Ох
в точке	D ( —		4;0).	Строим	точки	С	и	D	и проводим че

рез них искомую прямую.

ÜИ. Л. Зайцев

Найти

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[ГЛ. Ill

П р и м е р .

уравнения

прямых

AB,

и E F ,

изображенных на рис. 19.

Ь,

Р е ш е н и е .

Чтобы

написать

уравнения данных пря

мых, нужно определить величины

а затем подста

вить их значения в уравнение

у =

кх

- f

b =

Для

k =

прямой CD

k — t g 60° — ]ЛЗ,

tg (180° — 45°) =

b =

—

tg 135° =

— 1,

—

fc =

tgl50° =

— tg30° =

é =

Следовательно, уравнения данных прямых будут:

AB:

у = У

З.ѵ + 3,

CD:

—

— 3,

EF:

у =

- Ц - х + 2.

1. Построить прямые

Упражнения

(/ =

— Зх +

О I/ =

З.ѵ +

у =

Зх

— 2,

// =

— З.ѵ — 2.

2. На какой из прямых

у =

— &х —

іі = - З ж + 1 , 2) г/ = А др — І-, 3)

лежит точіса Л(— 1; —2)? Дать аналитическое и графическое ре шения.

3. Дана прямая у = 5х — 2 и точка на ней с абсциссой, рав ной 1. Определить ее ординату. Дать аналитическое и графическое

решения.	у =		2х
4. На прямой		—		+ 1 лежит точка, ордината которой

равна 5. Найти ее абсциссу. Дать аналитическое и графическое решения.

5. Даны прямые: у — 4х — 2 и у = —Зх: — 6. Найти точки пе ресечения этих прямых с осями координат. Дать аналитическое и

графическое решения.						точкой, опреде
6. Путь, проходимый равномерно движущейся
ляется уравнением		S	= So +	vt.	Построить график	пути движения
точки, принимая	ѵ =		2 и S 0 =	I.

13]

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

7. Скорость

движения

точки

определяется

из

уравнения

—

ѵо

аСа Построить

график

скорости

движения

точки, принимая

Оо =

3 и

-J-.

уравнение прямой,

образующей с положительным

Составить

направлением

оси

Ох

угол

135° и отсекающей

на

оси

Оу

отрезок,

равный —5.

Ох,

А9. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

под

углом

положительному

направлению

оси

если

дано:

(0; 2),

45°;

Л (0; —3),

а =

135°;

Л (0; 4),

а =

150°.

10. Найти

углы, у

образуемые

положительным направлением

оси Ох прямыми:

— V

3 х + 2;

у =

— х — 3;

у = - ^ х + 5,

11.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку Л (2; 5)

и образующей с положительным направлением оси Ох угол:

а =

0°,

90°, 3)

180°.

12.

Найти

уравнение прямой, проходящей через точку Л (1; —3)

п образующей с положительным направлением оси Ох угол,

рав

ныйАarctg (—2).

Оу

Ь,

ку

13. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точ

и отсекающей

на

оси

отрезок,

равный

если

дано:

Л(3; 4),

Ь =

—2;

Л (—2; 5), 6 =

14.Две стороны квадрата совпадают с положительными напра влениями осей координат. Написать уравнения диагоналей квадрата, если сторона его равна 12.

15.Написать уравнения сторон квадрата, диагонали которого служат осями координат. Длина стороны квадрата равна 4.

рон

16. Сторона квадрата равна

Ѵ~2.

Найти

уравнения его сто

и диагоналей,

если одна

из

его вершин

лежит в начале

коор

динат, а диагональ совпадает с положительным направлением оси

Оу.

17. Вершина

правильного

треугольника

со

стороной,

равной

см,

лежит в начале координат,

а его сторона совпадает с поло

жительным направлением оси

Оу.

Написать

уравнения сторон тре

угольника.

§ 13. Общее уравнение прямой. В предыдущих пара

графах были выведены следующие виды уравнения пря мой:

уравнение прямой, параллельной оси Оу:

х = а, где а Ф 0;

(1)

уравнение прямой, параллельной оси Ох:

у = ь, где Ь ф 0; уравнение оси Оу:

х = 0;

уравнение оси Ох:

' o I I

(2)

(3)

(4)

36 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [ГЛ. ш

уравнение прямой, проходящей через начало коор динат:

У = kx;

(5)

уравнение прямой с угловым коэффициентом и на чальной ординатой:

у = kx + Ь.

(6)

Уравнения (1) — (6) исчерпывают все возможные поло жения прямой, поэтому можно сказать, что

всякая прямая линия определяется уравнением пер вой степени.

Покажем теперь, что указанные виды уравнения пря мой можно получить из уравнения

Ах +	Ву + С = 0	(7)
при некоторых частных	значениях коэффициентов	(7)
		А,

Ви С.

I. Если В = 0, то уравнение (7) обратится в следующее:

откуда		Ах	1!		С =		0,
откуда			1!		1	ОІ"?
Положив				А		~ а’
получим:				с
получим:				х =		а.
	А х -\ -С =			0	есть		уравнение
УравнениеА —Оу.				0	есть		уравнение
раллельной оси
II. Если	0, то	By		+	С —		О,
отсюда				+		С_	О,
отсюда		У =				в
Положив				ВС	— Ь,
получим:

У = Ь.

§ >3]		ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ						37
	By		+	С		0	определяет прямую,	парал
УравнениеВ =					С=
лельную оси	Ох.		0 и			=	0, то
III. Если

Ах — О,

отсюда

х— 0,

т.е. имеем уравнение оси ординат. IV . Если А = 0 и С = 0, то

By — О,

отсюда

У— О,

т.е. имеем уравнение оси абсцисс. V . Если С = 0, то

отсюда	Ах + ByА= О,
	у = ~ г х -
Положим	—В = кk’
тогда	у — kx.	прямую, прохо
Уравнение	Ах + By — 0 определя'ет
дящую через начало координат.		уравнения (7)
V I. Если ни один из коэффициентов

не равен нулю, то и в этом случае его можно преобразо вать в знакомую нам форму уравнения прямой. Найдем


из уравнения	(7) значениеУ		у:
из уравнения	(7) значениеУ		ß х	ß ■
Положив	В	-.к,		=	(В)
	А_

можем написать:

у = kx + Ь.

Следовательно, уравнение

Ах + By + С — О

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[ГЛ. ІИ

включает в себя все возможные (рассмотренные нами ранее) уравнения прямой; поэтому оно называется об щим уравнением прямой.

Итак, всякое уравнение первой степени Ах + Ву + С = О

при любых значениях коэффициентов А, В и С, исключая одновременное равенство А и В нулю, определяет пря мую линию.

П р и м е р 1. Построить прямую 2х — 5і/+10 = 0.
Р е ш е н и е . Проще	всего построить прямую по двум
ее точкам пересечения	с осями координат. Положив в

данном уравнении

получим

х =

—5;

координаты

(—5;0)

будут

опреде

лятьОх.

положение

точки пе

ресечения

прямой

осью

ки

Для

нахождения точ

пересечения

прямойх

осью

Оу

положиму =

том

же

уравнении

тогда

найдем

2; ко

ординаты

искомой

точки

будут

(0; 2).

Ъуэти

точки,

Построив

проводим2хчерез них пря

мую

20).

—

10 =

П р и м е р 2. Найти

4х

бу

(рис.

началь

угловой

коэффициент

ную ординату прямой

— 3 =

у =

Р е ш е н и е . Преобразуем это уравнение

виду

kx-\- b\

для этого находим:

6у = — 4х 4' 3,

отсюда

2 , 1

у = ~ т х + т-

Сравнив полученное уравнение с уравнением у = kx-\- b, найдем:

Угловой коэффициент можно найти и из равенства

(8). Для этого, как видно, нужно коэффициент при х ч

§ М]

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ

общего уравнения прямой разделить на коэффициент при у и частное взять с противоположным знаком. Та ким образом, в данном примере

, ________ А _ _________4 ________ 2_

В6 3 '

1. Построить прямые:				Упражнения		0, 2)	4л +	5у	+	20 = 0,
				1) Зл— 4і/+ 12 =
3) Зл —	4у	=	0.	Зу
2. Даны			прямые 5л —		+ 2 = 0 и 4л +	5і/=	0.	Какая		из них

проходит через начало координат? Дать аналитическое и графиче

ское решения.

3. Даны

две

прямые: 2х + 3 — 13 =

5х —

— 18 =

На

первой

прямой

взята точка

абсциссой,

равной

2, а

на

вто

рой — точка

с ординатой, равной 7. Найти

расстояние между точ

ками

В.

прямые:

4. Даны

6х — 3у +

10 = 0,

2) 5л +

8 ( / - 15 =

Преобразовать их к виду

у — kx

5. Даны

прямые:

—

- j x ,

2 ) y =

- j x

— A.

О </=

Представить эти уравнения в общем виде.

прямых:

6. Определить угловые коэффициентыX

1) 2л —

Зу

+ 5 =

2у —

7.Найти угол, образованный прямой Зл + Зу — 2 = 0 с положи тельным направлением оси Ох.

8.Написать уравнение прямой, проходящей через начало коор

динат и	имеющей тот		же угловой	коэффициент,	что	уи	прямая
2х — Зі/ +	4 =	0.	ординату	прямых: 1)	2л — 9		— 6 = 0,
9. Найти		начальную

2)5л + 2у = 0.

10.Найти начальную ординату и угол наклона к положитель


ному направлению оси					Ох			у
ному направлению оси							прямой 5л + 6 — 15 = 0.
11. На		прямой	2л +			Зу		— 6 = 0 найти точку, равноудаленную
от точек	А	(4; 4) и	В(	6; 1).
от точек		(4; 4) и		6; 1).

12.Показать (аналитически), что геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек /1(2; 4) и В(—3; 1), есть прямая линия.

13.Показать (аналитически), что геометрическое место точек, равноудаленных от любых двух точек, есть прямая линия.

§14. Уравнение прямой в отрезках. Как мы уже

знаем, положение прямой определяется или двумя точ ками, или одной точкой и углом наклона прямой к оси

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 424 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб236Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб7Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб46Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб31Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб20Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб267Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб15Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб46Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб10Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб11Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб10Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf