книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

gr f

fi*,:

И. А. З А Й Ц Е В

лѳменты

высшей

математики

Д Л Я Т Е Х Н И К У М О В

517

317 УД К 510(075.3)

Иван Лазаревич Зайцев

ЭЛЕМ ЕНТЫ ВЫ СШ ЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ТЕХН И КУМ О В

М ., 1974 г. 4 16 стр. с нлл

Редактор Ф. И . Кизнер

Печать с матриц. Подписано к печати 14/Х11 1973 г. Бумага 84 X 108/ЛІ, тип. № 2. Фнз. печ. л. 13. Условн. печ. л. 21,84. Уч.-нзд. л. 20,92. Тираж 300 000 экз.

(1-0 завод 1—200 000). Цена книги 66 коп. Заказ № 945

Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Отпечатано с матриц ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии № 2 имени Евгении Соколовой в ордена Трудового Красного Знамени

Первой Образцовой типографии имени А. А . Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28

20203—010

053 (01)-74 30-74

§ 38. Абсолютная величина и соотношения, связанные с ней (105). § 39. Последовательность. Характер изменения переменной величины (106). § 40. Бесконечно малая величина (109). § 41. Бесконечно боль­ шая величина (112). § 42. Связь бесконечно малой величины с беско­ нечно большой (114). § 43. Понятие о пределе переменной (115). § 44. Свойства бесконечно малых величин (II7). § 45. Теоремы 0 пре­ делах (120). § 46. Приложенію теории пределов к вычислению длины окружности, площади круга и суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (124). § 47. Предел функции (132).

§ 52. Символика функциональной зависимости (146). § 53. Значении функции. Область определения функции (146). § 54. Геометрическое изображение функций (147). § 55. Приращение функции (150). § 56. Гео­ метрическое изображение приращений аргумента и функции (153). § 57. Непрерывность функции (154). § 58. Свойство непрерывной функции (158). § 59. Виды функций (158).

Г л а в а VII. Производная ф у н к ц и и .............................................................. Iб 1

§60. Равномерное движение и его скорость (161). § 61. Неравномер­ ное движение и его скорость (162). § 62. Скорость изменения функ­

частного (178). § 73. Понятие о сложной функции (179). § 74. Произ­ водная степени с целым положительным показателем (179). § 75. Про­

изводная функции уѵвѴи (181). § 76. Производная функции (/=—.

(181). § 77. Применение формул дифференцирования (182). § 78. Про­

изводные тригонометрических функций (188). § 79. Производная ло­ гарифмической функции (193). § 80. Производная степени при любом

§ 83. Производная неявной функции (203). § 84. Производная второго порядка (205). § 85. Механический смысл второй производной (206).

§ 8G. Возрастание и убывание функции (211). § 87. Признаки возрас­ тания и убывания функции (212). § 83. Максимум и минимум функ­ ции (214). § 89. Признаки максимума и минимума функции (215). § 90. Первое правило нахождения максимума и минимума функции (2)7). § 91. Выпуклость и вогнутость кривой (221). § 92. Признаки вы­ пуклости и вогнутости кривой (222). § 93. Нахождение точки пере­ гиба (224). § 94. Второе правило нахождения максимума и минимума функции (226). § 95. Задачи на максимум и минимум функции (228). § 96. Построение графиков функций (234).

§100. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям (246). § 101. Кривизна кривой (249). § 102. Кривизна окружности (252).

§103. Радиус кривизны кривой (253).

§ 140. Графики функций вида у = А sin ых (369). § 141. Гармонические колебания (371). § 142. Тригонометрические ряды (374). § 143. Коэф­ фициенты Фурье. Ряд Фурье (375). § 144. Возможность разложения непериодической функции в ряд Фурье (377). § 145. Условия Дирих­

ле. Теорема Дирихле (379). § 146. Интегрирование по частям (380). § 147. Примеры разложения функций в ряд Фурье (332). § 148. Ряды Фурье для четных и нечетных функций (386).

П РЕД И СЛ О В И Е РЕДАКТОРА

При подготовке двенадцатого издания, наряду с ис­ правлением опечаток, в текст книги были внесены и не­ которые дополнительные изменения. В частности, устра­ нены погрешности в определениях, в доказательствах предложений и в решениях примеров; отдельные дока­ зательства заменены новыми; внесены уточнения терми­ нологического характера; некоторым изменениям под­ верглись и иллюстрации.

Все эти изменения выполнены без нарушения общей структуры книги, что обеспечивает ее полную преем­ ственность с предыдущими изданиями, возможность их одновременного использования студентами и сохраняет стиль автора книги.

А. М. Пьиикало

П РЕД И СЛ О ВИ Е К СЕДЬМ ОМ У ИЗДАНИЮ

Настоящее издание учебника высшей математики для техникумов переработано в основном согласно програм­ ме, утвержденной Министерством высшего и среднего

от рекомендаций этой программы. Так, например, урав­ нение прямой линии, проходящей через две данные точ­ ки, по методическим соображениям оставлено в том же изложении, что и в предыдущих изданиях; введено по­ нятие функции от функции, с тем чтобы дать более ши­ рокое представление о функции. Многие преподаватели сочтут возможным дать более углубленное изложение основ высшей математики, поэтому в книгу включены выводы формул производных всех функций. Так как в учебнике «Алгебра и элементарные функции» Калнина Р. А. дано достаточно полное изложение темы «Счет­ ная линейка», указанная тема опущена.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

ГЛ А В А I

МЕТОД К О О РД И Н А Т

§I. Предмет аналитической геометрии. Аналитиче­ ская геометрия изучает свойства геометрических образов (линий, фигур, тел, поверхностей и т. п.) с помощью осо­ бого метода, называемого методом координат. При этом широко используется алгебра.

В элементарной геометрии также прибегают иногда к методам алгебры, например при определении площади треугольника по трем сторонам или при вычислении стороны вписанного в окружность правильного много­ угольника и т. п. Однако область приложения методов алгебры к геометрии стала наиболее широкой со времени введения метода координат, который позволил изучать не только форму и размеры геометрических образов, но и их положение на плоскости и в пространстве.

Здесь мы дадим элементарное изложение только ана­

у = РМ == ON.

Эти числа х и у, определяющие положение точки М по отношению к заданным прямым Оу и Ох, называются координатами точки М. Их обычно записывают в скоб­