книги из ГПНТБ / Хайков А.З. Клистронные усилители

Л е в а я

и п р а в а я

части

этого равенства соответствуют перемен-

нон части

конвекционного

тока в сечении

х k-ro

зазора, не завися ­

щей от внешнего поля, но

л е в а я часть

определяется

граничными

условиями на входе

в й-й з а з о р , а п р а в а я — граничными условиями

на входе в (k—1)-ю

пролетную трубу. Следовательно, при перехо­

де электронного потока из

пространства

д р е й ф а

в

участок, где

токе продолжается, к а к

если

бы

пространство

д р е й ф а было

про­

должено . Кроме того, начинается

независимая

дополнительная

группировка,

обусловленная

внешним

полем

на

этом

участке.

Р а ­

венство,

аналогичное

(3.7),

имеет

место

и д л я

соответствующих

пе­

ременных составляющих

скорости.

Выводы, следующие

из

соотношений

(3.6)

и

(3.7),

значительно

у п р о щ а ю т анализ

группировки при

малом

сигнале,

так

как

они

у к а з ы в а ю т на линейность процессов

в электронном потоке

по отно­

шению к внешним

воздействиям в разных резонаторах .

В соответствии с полученными выше общими

выводами

конвек­

ционный ток и скорость электронов в сечении х зазора

k-ro

резона­

тора могут быть представлены в виде сумм:

k-\

i't (х, t) =

1 +

V

ieh

(x,

t) +

i'eak

(x,

t),

(3.8a)

ft-i

v' ( * , / ) =

1 +

£ v'h

(x,

t)

+

v'3k

(x, t),

(3.86)

Л=1

ном потоке

под

воздействием

внешних

полей в

зазорах предшест­

вующих резонаторов, переменные составляющие i'eau

и v'3 h

—

под

воздействием внешнего поля самого k-ro

резонатора .

Согласно

ф-лам

(3.6)

( у

/\

_

,,

дФк[у,

(х — L B X k),

rk]

(3.9a)

|u)TA =M i-Y ( , (J:-Z.B X K )

v 3 k V*>

ч

— M*

J 7 —

шЧ^'~Уе

(X~LBX k)

(3.96)

Здесь

зависимость

/ ' e 3 f t и

v'Sh

от

t

может быть

получена

про­

стой заменой, следующей из соотношения

со/ = сот* +

у е (х — LB X к) — $к (х,

t).

с учетом того, что функция tbt

при подстановке

в ф-лы

(3.9)

может

быть отброшена

как

д а ю щ а я

поправку

второго

порядка

малости

д л я величин

i ' e 3 h и

и'а /г-

Формулы

(3.6)

можно применить

д л я

определения

составляю ­

щих тока

и скорости

за k-u зазором

ireh

и v'h,

возникающих

под

действием

поля

в этом зазоре . Эти

составляющие

соответствуют

току и скорости в пролетной

трубе

( Ф т л = 0, x ^ L

B U X h )

и поэтому

0 =

[ К

dm' k

(тт k)

К к (*•

к (т тft)cos ур (х — Ь в ш k)

+ q —

X

X sin Y

P

(x — L B b I X k ) ] | ш т т к=ш-у,

{х-ьвых

k )

,

(3.10a)

К (*>')= [ — у

А (т т

ft)sin

Y P (X — Ь9ЫХ ft)

+

+ К ft <*rft)cos Y P (x -

Ь в

ы х

Ц

RF

.

(3.106)

Согласно определению составляющих i'eu

и

v'k

функции m ' T k ,

Ж ' т й и

ft

д о л ж н ы рассчитываться

при условии,

что

ранее

на

электронный поток действовало поле лишь в k-ш зазоре:

Ч * (т, *) =

V3 к

(х, 0 | ^ в н

ж fe

,

(3.1 la)

со<=шт,Tft

^ ; * ( T T

* )

=

i ; s

k ( x ,

t) JC=I.,вых к

(3.116)

J

MTTft

л ; * ( т х й )

=

j

M'Tk{xTk)dmTk

+

C'Tk.

о

П о л у ч е н н ые соотношения

позволяют найти

составляющие

токи

и скорости

ка к в

с а м о м зазоре,

та к и за з а з о р о м

при условии, что

на основании з а д а н н о й зависимости внешнего поля в

з а з о р е от пе­

ременных х я t определено

решение

уравнения

группировки Фн-

Д л я к а ж д о г о

вида взаимодействия

такие решения

будут различ ­

ными. Д л я

выявления

общих закономерностей

целесообразно

пре­

о б р а з о в а т ь

эти соотношения

к

форме, не з а в и с я щ е й

от

вида

взаи ­

модействия, когда

характер

внешнего поля учитывается

л и ш ь с по­

3.2. Волны тока и скорости.

Коэффициенты

взаимодействия

Поскольку рассматривается

случай, когда

поля в з а з о р а х яв ­

числения. Внешнее поле з а д а д и м в

виде комплексной

величины,

мнимая часть которой соответствует

записи этого поля

к а к вещест ­

ля от х и t в з а з о р е А-го резонатора

представим в

виде

/А (х,

t) = Jm [/„ А (иА о)

e' ( и ' + * * о - ъ *-вх

ft)]

( 3.12a)

или в виде

fk(x,

t) = Jm[/0 ft(xft)e'

О » * * * - ^ * ) ] .

(3.126)

и*, о =

Ye (х — L

m к):

(3.13а)

либо

xk = yt(x-Lek)

= x № - ^ .

(3.136)

В фазовом

сдвиге поля в k-ы з а з о р е относительно

поля в первом

з а з о р е

всегда

будет большое по величине слагаемое,

определяемое

это слагаемое удобно с целью упрощения расчетных

соотношений

учитывать

отдельно. Поэтому в в ы р а ж е н и я х (3.12)

введены

ф а з о ­

вые сдвиги

— Y P L B X f t ,

либо

— y e L C k . Связь i|)/ t u и tyk

согласно

(3.12)

дается соотношением

L W e ^ ^ ^

W e ' f * '

" 2 " '

' ' ' .

(3.14)

Евн

х =

£ x s i n

(со i + i|>l0)=£i s i n (a t + ^

— -j- ye

l:

и

так

как / a

i ( x i o ) = f a i ( x i ) = 1, ilho = i|>i

^""V^i- Если ж е

в этом

ре­

зонаторе поле задается в виде бегущей волны,

скорость

которой

совпадает со скоростью электронов, то

£ в „ i =

£ i

s i n (со t — кх о + % 0 ) =

Ex%\xi[at

— х х +

^ Y e Z i ) .

Ux

К о ) =

е " Ы ' °, fa i K ) = e~i K '

и г|>10 =

В соответствии с выводами предыдущего

п а р а г р а ф а

дл я

на­

хождения

составляющих тока

и скорости ('еаь,

и'зл и г'eh,

v'u. необ­

уравнения,

являющегося частным случаем ур-ния (3.2),

+

±УеХ1

= fak(<pk)

е' ( ^ * + * * . - ^ в

ы х * )

(3.15а)

при . начальных

условиях

д (ye Xj)

=

0,

(3.156)

Ye Х1 I Ф А = 0

Здесь

fa k (фй) = fa k [Ye (X

~ L m

к)] I ye

{*-LBX k)=<Pk.

Согласно принятой

форме записи дл я fk

вещественное

решение

dx?

нормальное частное решение можно представить в

интегральной

форме:

X

У =

1Г

f / ( £ ) s i n f c ( * - £ ) d £ .

(3.16)

П е р е м е н н а я

х входит в правую часть

формулы

к а к

верхний предел

интеграла

и, кроме того, она стоит под знаком

интеграла

к а к пара ­

метр,

считающийся

постоянным

при

интегрировании.

Функция

f(Q

=f(x)

I ,v=- , XD — значение x, при котором

y=dy/dt=0.

Используя ф-лу (3.16),

м о ж н о

представить

искомое

решение

ур-ния

(3.15) следующим образом:

qe*

fk

Ф*(Ф*.т»)

=

(M T *+**o-v^Bxft) f

/ a f c ( Q e i s s i n _ l ( c p u - £ ) c Z £ .

Я

Преобразуем

подынтегральное

в ы р а ж е н и е

с

помощью

соотно­

шения

sin — (

щ

—

£)

=

i -

е

— е

- ( ^ +

:

)

1

Я

2

L

Тогда

.

ФА

ФА

,

Ф*

1

A —

— e " j / e f t ( C ) e 1

«j

dS

о

Теперь на основании ф-лы (3.5) получим

требуемую

зависи­

мость Фи ОТ X И Tft.-

Фк1уе(х

—

LBXk),

Tf t

]

=

X

е

dg - e'M^ - Bx*)

j

/a J k (S)e

О " ) 5

1 X

о

X e '

Kft+^o-V^BxA).

(3.17)

з *

2

f

/e f t (S)e

\ ^

dl

= f / в *(х»)е

V

dxk0.

Теперь произведем замену переменных, учитывая ф-лу (3.136) и

равенство (3.14):

е'»»

Г/..(*»)<!

M b

X

X

j

/«*(«*) e'^'

"lKkdKk.

2 •»«

'A

А н а л о г и ч но преобразуется

второй интеграл

в последних

в ы р а ж е н и ­

ях ДЛЯ i'e з Л И О'з ft.

Введем следующие

обозначения:

# А =

ВД&е,,Ч

(3.18а)

f/; = ^ - = 2^Z?A Y.^e'**

(3.186)

(напомним,

что по определению (2.22) u.fc = /£/t/2 уе£Ль а

£/( — мак­

симальное

значение поля в з а з о р е ) . Будем

считать, что 0/, является

ик = Uk sin (со t +

~ Ye L c к) = Jm [Uk e ( " ' ~ V e L c k )

) .

(3.18в)

Определение

эквивалентного напряжения

д л я

резонаторов

с

суммы двух волн: быстрой, т. е. имеющей

скорость

иб —

—

.

Тс — УР

J

_J_

я

и медленной, т. е. имеющей

скорость

со

v0

» и = — — — = — v ~ •

Уе +

Ур

I

+ - L

Амплитуды

этих

-волн в

зазоре и о д

действием внешнего поля

меняются

от точки к

точке. Х а р а к т е р этого изменения

определяет­

ся зависимостью

Рб з ч и р м з л от и/,. Эти

комплексные

коэффициен ­

ты могут

быть

н а з в а н ы текущими коэффициентами

электронного

взаимодействия.

г/ I

-

- (г

е ^ " ' " - !

В

е~ ' ^

V 'J '* ) е' ( ш ' ~ v ' ^

*)

d 3 *U-=LB B L X FT —

у Рб з k е

-г р м

а А е

/ е

Теперь, воспользовавшись соотношениями (3.10) и (3.11), най­

дем

составляющие

i ' e / {

и

гД

за пределами

&-го зазора .

Так,

дл я

тока

получим

1ек =

4

Р б к е

— Р м * е

/ C O S ур. (х

L B b K

к)

+ » ' Р в * е

+ Р н * е

/sin Ур (х

^оых k)

£ 1 (<" ' -

Ус

х)

П р е о б р а з у я

это

в ы р а ж е н и е

и соответствующее выражение

дл я

v'h, найдем

_ p

H /

; e

i [

- - ( V s

+

V p ) (

. v - , c

, ) ]

) )

(

3 2

2 а )

=

А

_

" '

V, L C

*

ft

е .

["

' -

( V, -

V P ) (Л" -

t c

, ) ]

+

^ P M * e i t (

a ' ~ (

V

c +

V

" )

( A _ / - c f t ) 1 ! .

(3.226)

Быстрые

и медленные

волны

тока и скорости за зазором

имеют

постоянные

амплитуды,

характеризуемые

величинами

рвь и р м л -

Эти

величины являются

полными

коэффициентами

электронного

взаимодействия с быстрой и медленной

волнами

пространственного

з а р я д а в k-u

зазоре .

Обычно поля в з а з о р а х симметричны

относительно

плоскости

x=LCk-

Поэтому коэффициенты

Рбл и р м л являются вещественными

величинами.

Если

действие сил пространственного

з а р я д а

в зазоре

пренебре­

ж и м о м а л о

из-за малой длины зазора

4

и

большой

величины

па­

р а м е т р а

q, взаимодействие

в з а з о р е

м о ж н о

характеризовать

кине­

матическим

коэффициентом

взаимодействия

-

V

i

2

" е в

Ркин* =

" т Р б * =

Н т Р и Л =

—

i

—

Г

]акЫ^'л"с1щ.

(3.23)

-

T

V

f

'ft

Интерференция

быстрой

и

медленной воли

пространственного

з а р я д а определяет

зависимость

тока

и скорости

от

координаты .

П р е д с т а в им в ы р а ж е н и я (3.22)

в другом виде, более

наглядно ха­

рактеризующем

изменение i'e i, и v'h с расстоянием:

а 0'

\ \ vt

— уех+ -^Л

f

к =

FPA si" YP (* — L c *) — i A Pft cos Yp (* — £ c ft)] e

(3.24a)

t'i

=

- у - IP* cos Y p (* — / l c ft) +

i A Pft sin Y „ (x — L cft)]e' (

M ' ~ Y e л ) .

(3.246)

Здесь обозначено

pfc

=

Poft 4 P„ к )

д pA — _Pe* =

P_«_*_ .

(3.25a)

РБ ft = РА + А РА,

РМ К = Р А ~ А РА-

(3-256)

Сравнивая

соотношения (3.24) с ф-лами

(1.89), мы

видим их

определенное сходство. Полное совпадение

произойдет,

если ис­

меняется бесконечно узкий зазор (/| = 0) с однократным

взаимодей­

ствием, так как тогда

Рб1 = Рм1=1. Соотношения

(3.24)

являются

обобщением на случай,

когда зазор имеет любую

длину <и произ­

В

определенных

условиях

(при близости значений

РбА и

р м я и

при уР(х—Lcit)=fi=vn,

v = l , 2, 3,...) составляющие, имеющие

малый

множитель AfS/i и сдвинутые по фазе на

я/2, в малой степени ска­

зываются

на величинах г'«/, и v'h. Тогда

можно считать, что

i

^(0 i —уе х +

у

J

"eft

А sinY ; ) (,v — L c / , ) e

2

,

(3.26а)

vii —

~

cos ур (х

L c к ) е

L ' .

(3.265)

основанный

на рассмотрении энергетического

взаимодействия элек­

тронного потока с полем.

Независимо от характера внешнего поля

в з а з о р е д л я

любого

резонатора клистрона может быть составлена

обобщенная

эквива-

а)

S)

Рис. 3.1

лентная схема, изображенная на рис. 3.1а. Согласно этой

схеме

считается,

что эквивалентное напряжение

на зазоре

Ui„

связанное

с полем

в

зазоре соотношением (3.18а),

появляется

в

результате

действия

генератора тока /;„ питающего резонатор. Д л я

всех

резо­

наторов, кроме входного, ток //t определяется конвекционным

током

резонаторе ток / ( соответствует

внешнему

источнику

(возбуди­

телю) .

В соответствии со схемой 3.1а комплексная проводимость «хо­

лодного»

резонатора You и комплексная проводимость электронной

нагрузки Yeк определяются относительно

точек, м е ж д у которыми

считается приложенным напряжение

Uh.

Теперь

сопоставим мощность,

отдаваемую

генератором

тока

//,,

и мощность, выделяемую в проводимости

Уе/<, с мощностями

взаи­

модействия внешнего поля с различными

составляющими

конвек­

ционного тока в зазоре .

Комплексная мощность взаимодействия

в зазоре

-вых k

- . * = ~

J

ie(x)E'BHk(x)dx,

(3.27)

^-Bxfe

где Ie — комплексная амплитуда

конвекционного

тока,

£ * В Н

Й

—

сопряженная величина от комплексной амплитуды

внешнего

поля.

В соответствии

с в ы р а ж е н и я м и (3.8),

(3.21)

и

(3.22)

k-i

Ш = У\'и(х)

+ 1еак{х),

(3.28)

л=1

/ ; ( * ) = i f в " 1 ^ ' [ Р б „ e' *> <' ~ ^ *> - р м л Г 1

<* " ^*>] ,

(3.29)

(3.30)

Согласно ф-лам (3.12) и (3.18)

Свн A =

tk

fak [ye

(x — L c k)] e

At /*

A,*)] e ' ¥ ' 4

(3.31)

Преобразуем

выражение (3.27):

^

=

£ 4 , , * +

^

,

(3-32)

/1=1

где мощность взаимодействия поля в k-u зазоре с

составляющей

тока,

определяемой напряжением на h-u

резонаторе,

^пых к

Penk = -j

J

Iel,(x)El»b(x)dx,

(3.33)

7 -вх к

мощность взаимодействия поля с составляющей тока,

порождаемой

действием

этого ж е поля,

''вых к

P t k k

=

~T

J

э*

(3-34)

V A

Очевидно, что

мощность Psitu д о л ж н а

в точности

соответство­

3.1а.

Поэтому

Ре kit

= — Ujt У ек,

откуда

Y t k =

G t k - \ B t k =

^

k .

•

(3.35)

В

соответствии

с выбранными

положительными

направлениями

для

i

и Е (см. рис.

2.1) активная составляющая

мощности

Рекь.

положительна, если

мощность отдается полем электронному

пото­