книги из ГПНТБ / Хайков А.З. Клистронные усилители

к а к температура катодов клистронов

не превышает 2000 К, а

уско­

р я ю щ и е

н а п р я ж е н и я л е ж а т

в пределах

от сотен вольт

до

д е с я т к о в

3

киловольт (из соотношения

е0 £ /о= —

kT

следует, что одному

элек­

трон-вольту соответствует 7733 К ) .

Отметим т а к ж е ,

что

ур-ние

(1.61) записано в нерелятивистской

форме .

У к а з а н н ы е п р и б л и ж е н и я

вызваны

тем, что в р а м к а х

более

стро­

гих теорий — электронной

теории Л о р е н ц а или теории

многих час­

тиц А. А. Власова — решение ряда

практически

в а ж н ы х

з а д а ч

становится математически чрезмерно с л о ж н ы м .

Следующие допущения

носят

непринципиальный

характер и

с в я з а н ы с необходимостью

и з б е ж а т ь

громоздкие

расчеты.

Прини ­

мается,

что постоянная с о с т а в л я ю щ а я

отрицательного

объемного

з а р я д а ,

создаваемого электронами,

скомпенсирована

положитель ­

ным

о б ъ е м н ы м з а р я д о м ионов. И о н ы

появляются

внутри клистрона

из-за

несовершенства вакуума . И х

масса значительно

больше

мас ­

ства п л а з м ы , под которой

понимается

совокупность

положительных

и

отрицательных з а р я д о в ,

когда их

общий

з а р я д

равен

нулю. Н о

в

отличие

от газоразрядной плазмы,

где средняя

скорость электро ­

нов близка к нулю, в электронном

потоке

клистрона

электроны

имеют

среднюю скорость,

определяемую

ускоряющим

н а п р я ж е ­

нием.

Таким

образом, из-за

наличия

ионного

фона

плотность о б щ е г о

з а р я д а

р з

а р и н а п р я ж е н н о с т ь поля

Е не д о л ж н ы

иметь постоянных

составляющих . Поэтому ур-ние (1.59) следует

представить в форме

d i v E =

( Р е _ Р о д

(1.62)

где р е и р 0 е — абсолютные

значения

плотности

з а р я д а , с о з д а в а е м о г о

электронами и ее постоянной составляющей .

П р и

решении ур-ния (1.61) считается, что электроны

д в и ж у т с я

только

прямолинейно вдоль оси х прибора

(рис. 1.18). Это допуще ­

зации ионами среднего

з а р я д а электронов, так- и на том, что фоку ­

сирующее

продольное

магнитное

поле

препятствует

р а д и а л ь н ы м

д в и ж е н и я м

электронов. Строго

говоря,

только

при

бесконечно

большом постоянном магнитном

поле электроны

будут двигаться в

нейном движении электронов входящие в ур-ния (1.57)

и

(1.61)

скорость

v и плотность

конвекционного

тока

j e имеют

компоненты

только по оси х, которые м о ж н о обозначить

просто ка к

v и /е .

При ускоряющих н а п р я ж е н и я х , которым соответствует скорость

электронов и0, намного

меньшая

скорости

света с,

ур-ние

(1.61)

упрощается, та к как тогда

нет необходимости

учитывать силу Л о ­

ренца :

F M = — e0 j-io(vH].

Если переменное магнитное поле Н вызывается током

смещения,

Е и Н с в я з а н ы соотношением

s

где dt — элемент длины, ds — элемент площади . Рассмотрим

круг,

д л и н а окружности которого

намного

меньше

длины

волны К =

= 2яс/со. Тогда внутри

этого круга м о ж н о считать поле 15 прибли­

зительно

одинаковым .

Учитывая,

что при Е = Е 4 е , ш '

производная

dE/dt='mE,

получим дл я абсолютных значений

полей

в ы р а ж е н и е

2 я rH = co80it г2Е.

Учитывая, что еор.о=1/с2 , найдем

I F * I =

<?о т 1 — Е, \Fe\=

е0Е.

Следовательно, при v<^c

| F M | «С |i*e|. Конвекционные токи

в

про­

летных

трубах по величине не п р е в ы ш а ю т токов смещения, и вы­

з в а н н ы е

ими магнитные

силы т а к ж е могут не приниматься

во

вни­

тельных

.направлений,

показанных

на рис. 1.18,

в

упрощенной

ф о р м е :

т0 —dt = е0Ех.

(1.63)

Приступим

теперь

к

непосредственному

рассмотрению

волн

пространственного

з а р я д а на

основе сделанных

выше

допущений.

Выведем

волновое

уравнение

с помощью известных

преобразова ­

ний уравнений М а к с в е л л а . С помощью ур-ний

(1.57)

и

(1.58)

най­

дем

rotrotE =

— ц 0

— r o t H

=

— е 0

и 0 —

— м 0 ^ .

r

dt

r

dt*

^ dt

С другой

стороны

rot rot Е =

grad div Е — у 2

Е =

grad (р, — р„е)

— v 2 Е,

е0

Б у д е м искать

решение ур-ний

(1.65) — (1.68) в виде

бегущих волн:

Ре = Ро е +

Pi е е

1 Тх)

(1.69)

v = vu +

v ^ Ш ' Т х )

/. = /. + Л e , t o № >

где Eit

,pie,

Vi и / i •— комплексные амплитуды,

зависящие от г.

Используем

малосигнальное

приближение,

когда

считается, что

i P i . l O o , ,

К 1

< ^ о . l i i K i o

(1-70)

Уравнение (1.65) преобразуется к виду

7 7 ( ' f ) - C - i ! ) ^ - ' f ^ . +

i * t

СО

где у с = —

2

1

U P0

1. Ех = 0,

р . 7 6 )

L ( с о - Г « о ) '

. :6

V: !i

-где

со,

= 1/"_£«_

1

.; ...

...

г т «»

еоп

s

0

т

8

величины не зависят от координаты г,

что

строго

соответствует

лишь бесконечно

широкому электронному потоку. Тогда

dEi/dr=0

и из ур-ния (1.76)

следует,

что

2

(Г2 —у2)

1

= 0 .

Следовательно, возможны

четыре решения:

г = Уе ± YPo, Г = ± ус ,

где

УРО = ^ -

(1-78)

Последние два решения соответствуют

волнам,

р а с п р о с т р а н я ю щ и м ­

ся со скоростью света. Эти решения могли

бы

быть

получены из

уравнений М а к с в е л л а и в случае / в = 0 ,

р е = 0 . В клистронах

пролет­

ю. Поэтому

решения,

соответствующие Г = ±ус

следует

отбросить,

как не представляющие интерес.

Волнам,

имеющим

постоянные

распространения уе±уРо1

соот­

ветствуют фазовые

скорости:

&6ф - — —

,

-

. ^Ыф — — —

•

i I

М Р 0

1 2

. ,

О

1 —(1)

1

г

со

Поскольку,

как мы увидим ниже, д л я

нормальной работы

клистро­

на всегда д о л ж н о

выполняться

условие соро< со (обычно

соро|а> =

= 0,1 -=-0,3), УбФ>0.

Следовательно,

одномерному

случаю

соответст­

напряженности

поля, тока, скорости и

плотности з а р я д а электро ­

нов. Б ы с т р а я волна пространственного

з а р я д а

имеет

фазовую ско­

рость Ибф>сс,

медленная — фазовую скорость

иМ ф<;ио. Групповая

скорость волн,

о п р е д е л я ю щ а я

скорость

потока

энергии, р а в н а

сред­

ней скорости электронов VQ.

З а д а ч а , когда учитываются

конечные р а з м е р ы диаметров

элект­

ронного потока

и пролетной трубы, является более

сложной . Р а с ­

трубу (Га—Гт).

П р и н я в ,

что труба является

идеально проводящей,

следует искать

решение,

удовлетворяющее

граничному условию

Уравнение (1.76) представим в виде

где обозначено

„

У р а в н е н ие

(1.80) является уравнением Бесселя нулевого поряд­

ка. Его решение, может быть представлено либо в форме

E1=_AJ0(yrr)

+

BY0{yrr),

если

Yr 2

>0 > л и б о в форме

£ 1 =

С70 (уг /-) +

Ш о (уг г),

если

Yr<~-®- Здесь Jo и Уо — функции Бесселя нулевого порядка пер­

вого и второго

рода, 10 и Ко — модифицированные функции

Бессе­

ля нулевого порядка

первого и второго рода. Решения,

соответст­

вующие У0 и Ко, д о л ж н ы быть отброшены

как физически

невозмож ­

ные, так как при r->€

Y0(yrr)-+

—со, Ко(угг)-+°о.

Решение в

форме

Ei = С/о(Y'-r ) т а к ж е

н е может

выполняться,

поскольку Io(yrr)

явля ­

ется

функцией,

монотонно

возрастающей

при увеличении

г,

и гра­

ничное

условие

(1,75)

при таком решении

не удовлетворяется . Сле­

довательно, Y^ > 0 и

Ег AJ0(yrr).

(1-82)

Д л я

выполнения условия

(1.79)

необходимо,

чтобы

Л(Уг/'т)

=

0.

(1.83)

Следовательно,

уг

может иметь значения,

соответствующие

корням

функции /о-"

2.405

5,520

8.654

, • • •

Yr 1 =

rr

Yr 2 =

rT

. Yr з =

r T

В ур-нии (1.81) левая часть становится известной, и оно может

послужить для определения

Г. Буде м

искать решение в форме

ri =

Y c ± Y , . =

^ ±

^ £

L .

(1-84)

где

щ

Юр : =

S,, i СОрО, Уpi =

—

•

(1.85)

Здесь iOpi

— редуцированная

частота

п л а з м ы ;

sp,- — коэффициент

редукции,

п о д л е ж а щ и й определению.

М о ж н о

з а р а н е е у т в е р ж д а т ь ,

что действие сил пространственного

з а р я д а в потоке конечного диа,-

чем

в бесконечно широком потоке, так ка к наводимые

на

проводя ­

щих

стенках пролетной трубы

положительные з а р я д ы до некоторой

стецени д о л ж н ы компенсировать силы

взаимного расталкивания:,

электронных з а р я д о в . Кром е

того,

в потоке

конечного

диаметра

силы

расталкивани я

д о л ж н ы

быть

меньше'из - за

отсутствия элект­

ронов

за пределами

рассматриваемого

объема .

Поэтому,

как/мът

YBmuiM,"-Spj<; 1^

. . . . . .

Очевидно, что Y!<CTVTa.K ка к и0<С;с:,_ и ;

.членом -у*,

в

.,-у$гНИи

(1.81)

можн о пренебречь. Тогда оно принимает в и д

7 2 _

( t o ± s p t c u p o ) ' / 1

} \

- '

:

~

r u = Y . — Y P L

r i2

= Y« +

Yp-

П о л а г а я

в этих

в ы р а ж е н и я х х=0,

получим,

что с учетом

гранич­

ных условий

(1.87)

v n + vl2

= y V o '

С

другой

стороны,

если подставить поочередно

Гц и Г12

в ф-лу

(1.72),

то

/ i i =

<7iPo«,Wii. /i« =

— 9iPo*wi a ,

где

_

_ш_ _

ус

(1.88а)

шр1

уР

1

Следовательно,

и\

и',

v n =

o l 8

=

-L

v0,

y u

:

— hi — Qi —

lo,

=

1 +

—

cosYpi^e i (o./-ve x)

] v

(1.89a)

— = 1 H

2

s i n v D i ^ e

Уо

Аналогичный результат дл я рассматриваемого

случая

гранич­

ных

условий

(1.87)

будет

получен

в

случае

бесконечно широкого

луча, но теперь

ственного з а р я д а , м о ж н о сделать следующий простой вывод: про­

цесс группировки электронов в потоке конечного д и а м е т р а

описы­

вается такими ж е по форме аналитическими в ы р а ж е н и я м и ,

как и в

бесконечно широком потоке, и конечные р а з м е р ы поперечного

сече­

ния потока и пролетной трубы могут быть учтены введением

коэф ­

ют

случаю, когда

электроны

проходят

бесконечно

узкий

зазор

с

сетками и

входная

скорость

различных

электронов, н а х о д я щ и х с я

на разных расстояниях от оси, считается

не з а в и с я щ е й

от

коорди ­

наты т. С

другой стороны,

д л я

удовлетворения

граничным

услови­

ям на поверхности трубы электрическое поле основных

волн

д о л ж ­

но быть записано в виде

Ех

= A1VI0

(2,405 - ^ - ) е1 < ш ' - г » * )

+

> V o

(2,405

е'

.

В

соответствии

с

ф - лами

(1.73)

и . (1.74)

множители

вида

/о(2,405 r/r T J д о л ж н ы

были

бы

появиться

в

в ы р а ж е н и я х д л я

viije,

что противоречит условиям

(1.87). Следовательно,

только

при

рас ­

смотрении

всех

волн

пространственного

з а р я д а

могут

быть

строго

удовлетворены

граничные условия

при х = 0

и г = / т ,

что

и

позволя ­

ет определить амплитуды волн разного порядка . О д н а к о

а м п л и т у д ы

волн пространственного з а р я д а

высших типов

сравнительно

м а л ы .

Поэтому, к а к мы увидим в

дальнейшем,

можно

будет

ввести

в.

рассмотрение эквивалентную

редуцированную

частоту

п л а з м ы

соР ,

которая определяется с учетом действия волн высших

типов.

П р и

этом х а р а к т е р

решений остается таким ж е ,

как

д л я

волн

основно­

го

типа.

Согласно кинематической

теории

при

м а л о м

сигнале,

когда

м о ж н о принять,

что A'i2<STl и Ji(Xi2)

=

—Xtz,

относительная

ампли -

2

учетом

ф-л (1.35)

и

(1.41):

I e = -^j-e

к -

1 .

(1.90а)

И з в ы р а ж е н и я

(1.89а)

при замене cop i

на

сор

и

Oi на

ц получим

oil'

' [~ ~уе

А

К = ^ s i n у р х е

v

2

' .

(1.906)

Очевидно, что ф-ла

(1.906) переходит в (1.90а) при

соР о-Я)

(рог-^-0), что и

соответствует

кинематическому

приближению .

Н а

рис. 1.19 показаны графики зависимостей амплитуд

тока Ге

и

ско­

рости

от

х

д л я

случаев кинематического

п р и б л и ж е н и я

(пунк­

т и р ) , потока

конечного

д и а м е т р а (сплошные

линии)

и бесконечно

широкого потока

(штрих - пунктир) . Они наглядно

свидетельствуют

о роли

сил

пространственного

з а р я д а .

П о кинематической

теории

получается,

что

усиление

клистрона прямо' пропорционально

длине

пролетной трубы

(при

з а д а н н о м значении- Xi2

— —

U[ ye^iz

относи­

тельное

н а п р я ж е н и е на

первом

з а з о р е

U\

тем

меньше, чем

боль­

ше La)

и м о ж е т

быть сколь угодно большим . Согласно теории волн

пространственного

з а р я д а

ток

увеличивается

по

синусоидальному

закону с ростом

L i

2 l пока

L i 2 не станет равной

четверти длины

вол-

ны

пространственного

з а р я д а

\p = 2nv0/wp

= 2n/yv.

Д а л ь н е й ш е е

увеличение

L i 2 л и ш ь уменьшает

усиление. П р а в и л ь н ы й

выбор

длин

пролетных

труб возможен только с

учетом

сил

пространственного

з а р я д а .

Полученные в данном п а р а г р а ф е

соотношения

применимы

лишь

д л я

случая

малого сигнала,

т. е. когда /'e<sC 1. О б щ а я

з а д а ч а

за-

1е\

гs

/

/

AS /

1

V

!

! \ /

^ - э -

\

ключается в рассмотрении

р е ж и м о в группировки в клистронах при

максимально достижимых

значениях Vе- Помимо процессов груп­

пировки в пролетных

трубах, т а к ж е с учетом сил пространственно­

го з а р я д а необходимо

изучить

процессы взаимодействия электрон­

ного потока с полем в з а з о р а х

резонаторов, так как длины участ­

ленным

взаимодействием могут быть сравнимы и д а ж е п р е в ы ш а т ь

длины

пролетных

труб.

1.5. Усиление и

частотные характеристики

Д л я

определения усиления, даваемого клистроном, и его частот­

ной цепей, п а р а м е т р ы

цепей промежуточных резонаторов и

пара ­

метры,

х а р а к т е р и з у ю щ и е

группировку и у с т а н а в л и в а ю щ и е

связь

м е ж д у

н а п р я ж е н и я м и

на

з а з о р а х резонаторов. Поставим

з а д а ч у