книги из ГПНТБ / Хайков А.З. Клистронные усилители

Н а ч а л ь н ы е

условия,

которым д о л ж н о удовлетворять

решение

ур-ния

(2.21),

вытекают

из соотношений

(2.8),

(2.9)

и

(2.17):

Фй=0

й фА

ФА =О = l +

m ; ( T

) .

(2.23)

д ( у е Х )

F T

Уравнение (2.21), которое может быть названо уравнением груп­

пировки,

является

универсальным,

и с его помощью

может

быть

найдена

связь

м е ж д у х,

срл. и ТА

в различных полях высокой часто­

ты. Аналитическое

решение

в

замкнутой

форме

может

быть

получено дл я участков дрейфа,

когда

внешнее

поле

отсутствует

(р,А = 0), или если внешнее поле

не зависит

от х

(зазор

резонатора

с однократным взаимодействием) . Если

внешнее

поле

зависит от

х, к а к это имеет

место в резонаторах с распределенным или много­

кратным взаимодействием, ур-ние (2.21) становится нелинейным.

Отметим, что введение переменных

<РА и ТА позволило

получить

д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е

уравнение

и начальные

условия

в такой форме,

что переменная

ТА

входит в них на п р а в а х

константы. Это обстоя­

тельство значительно упрощает нахождение решения .

2.3. Методы

решения

Структура

нелинейного ур-ния (2.21)

такова, что аналитическое

решение м о ж е т

быть найдено при малых

)ЯА С помощью

метода ма­

лого п а р а м е т р а

(18]. В д а л ь н е й ш е м

мы убедимся,

что

дл я

всех

практически

интересных случаев

во

всех

з а з о р а х

резонаторов

клистрона,

кроме

выходного,

п а р а м е т р

цк

намного

меньше

еди­

ницы.

П р е д п о л о ж и м ,

что внешние

поля

в

зазорах,

предшествующих

р а с с м а т р и в а е м о м у

участку, таковы,

что

— м а л ы е

п а р а м е т р ы од­

ного порядка

(7г=1, 2,..., k).

Тогда

м о ж н о считать,

что

переменные

с о с т а в л я ю щ и е

тока и скорости

на входе

в k-ii участок

представля ­

ются

р я д а м и

M'k(t)=iikM'kl{t)

+ lJLlMk2{t)+

.

• .,

Аналогично

примем, что функция,

определяемая

ф-лой

(2.19),

£;Ю = н * З Д + № ( * ) + - - ..

Решение следует искать в виде

ряда

П о д с т а в л я я

эти ряды в ур-ние

(2.21),

получим

систему

уравнений:

+

-V

ЧеЬ = ±

(Ф* +

Уе Ьвх *),

(2.24а)

+

4

У**

=

7N'ki

^

+

/* <т*'

<2-246

)

д

(уе х)

(2.24в)

причем . начальные условия будут следующими:

Уе х0

| Ф й = 0 =

Ye А>х ft. Ye Х1

\ <РЛ =0 =

Ye Хг

| Фд .=0 =

• •

• =

О,

(2.25а)

д (Те *о) I

_

j

д (уе

xt)

=

Ч Д Т * )

(i =

!.

2 .

•).

(2.256)

=

0

Из

ур-ния

(2.24а) и начальных условий

следует,

что

УеХ0

= Уе^вх/е +

фй-

(2.26)-

Остальные

уравнения

системы

(2.24)

определяют переменные

со­

с т а в л я ю щ и е

х

как

функции от

ср/, и хи,

т а к

что

общее

решение

мо­

ж е т быть представлено

в виде

Ye Х= Уе L

m k

+

Щ +

\lk Fkl ((рк, Tk)

+

flf /'42 (фй, тА )

+

• •

-,

(2.27)

где Ffti=YtyCi

является

решением

ур-ния

(2.246), /^2=76* 2

—

реше­

нием ур-ния (2.24е)

и т. д.

Д л я определения конвекционного тока

необходимо

найти

за­

висимость щ(х,

%h), т. е. считая

х

и хы независимыми

переменными,

определить

фй как

функцию от

них. В

принципе,

м о ж н о

соответст­

соотношениям для

производных

обратных

функций

д- фй

д (ус х)

д- (уе х) __

д (уе ХУ~

дщ

д (уе X)

д(уеХ)

J

использовании метода малого п а р а м е т р а к простым

уравнениям,

аналогичным

системе (2.24). Поэтому

определение

зависимости

<Рк(х, Xh) можно провести следующим образом: после

нахождения

ряда

(2.27)

это решение следует

представить

в форме

уравнения

Л а г р а н ж а :

. . . . . .

. .

_

'

.

Фft =

Y e ( * — Aixft) — ^ Й ^ Й ( Ф Й - ч).

(2-29)

где

F й — ^Й1 +

F № +

-

2 1 1 - ^А<(ФАО,

T A ) + ^ Ф * 1

Л ~

Я. -О

+

Подставив это соотношение в

правую

часть

ур-ния (2.29) и ря д

(2.30) — в левую и приравняв

члены

при

одинаковых

степенях

\xh, получим систему уравнений:

ФАО =

Уе(х — L B X A ) ,

(2.31а)

фА1 =

— ^ A l (фАО. Т А ) =

—^ А Х ( Ф А - Т А ) | q,k=ye (x-LBX

k),

-

(2.316)

ФАЗ =

— ФА1

•^А2 (фАО.

Tf t ) —

' (Pfe=4>Ao

=

(f,Al

dFki

А2

(2.31в)

д щ

f PA=Ve ( a - L B X А) '

которая позволяет

найти искомую зависимость щ(х, хь). М ы не об­

с у ж д а е м

вопросов

сходимости рядов по степеням малого парамет ­

ра \ih,

та к как радиус схюдимости зависит от

конкретного

вида

функций

fh(x, t) и, кроме того, в дальнейшем

расчеты на

основе

случаев с расчетами на ЭВМ .

П р и выводе ур-ния

(2.21)

считалось, что конвекционный

ток и

скорость электронов на

входе

в k-и участок я в л я ю т с я известными

функциями

времени. Пр и исследовании

нелинейных процессов в ре­

ж и м е

большого сигнала

целесообразно

построить решение в

более

общем виде, когда все величины определяются дл я

рассматривае ­

мого сечения х как функции не от ф а з ы влета в k-й

участок,

а от

ф а з ы

влета в зазор первого резонатора

coti.

Н а

входе в первый зазор в электронном потоке отсутствуют пе­

ременные составляющие1 .

*вх1 =

Л>. Увх1 = Уо.

(2.32)

Ток и скорость на входе ^

первую пролетную трубу могут

быть вы­

р а ж е н ы в виде функций от

T I - -

С с х 1 = ' 1 + Ki ( T l ) > У в х т 1 = 1 + К 1 Ы-

Д л я этого

необходимо с помощью уравнения группировки

опреде­

лить фазу

влета в трубу

З д е сь обозначено в соответствии

с ф-лой

(2.17)

ф / 1

( T i )

= «Pi {X,

Т Х ) | A

. = L B B , X j

, Gfc ( T i )

=

( X ,

T X ) | A = L B U X I ,

Воспользовавшись

ф-ламм

(2.8),

(2.9)

и

(2.11), найдем

l

— 1

1

1,

dq>i (*,

Ч)

д (уе х)

x=L„

3 (ve *)

М'

=

d CDTl

fa)

т I

1

dhi

Интересно

отметить, что при

этом

в ы р а ж е н и е (2.19) преобразу ­

ется к

виду

^ ; 1 ( T 1

)

=

* , I ( T 1 ) .

При

такой

записи

постоянная

С'ц

исчезает,

так как

по определе­

нию

х}ц

является

переменной частью угла пролета, а

функция W T i

не д о л ж н а

с о д е р ж а т ь постоянной составляющей .

Таким образом, в само ур-ние

(2.21)

и начальные условия (2.23)

д л я

первой

пролетной трубы теперь войдут функции

переменной

con,

а

не

штТ 1. Это

позволит

найти

функции cpT i(X xi)

и -&ц(х, xi), а

з а т е м

M'z(xi)

и m'2(xi),

определяющие

переменные

составляющие

тока и скорости на входе во второй зазор к а к функции

от coti. Н а ­

ходя

последовательно

решения

д л я к а ж д о г о

участка,

можн о будет

рассчитать

функции хУщ^О

и

ftiThiti)

(h=l,

2,..., k—1)

и опреде­

лить

связь

м е ж д у

соть и cot! д л я

k-vo з а з о р а :

(uTk =

(HT1

+

yeLBxk

— QTk-i{LBxk,

тх ),

(2.33а)

где

е т

( L B X к

,

хх) = £

[Ьп К ) + Ь

х п ( T J J .

(2.34а)

h=l

В о с п о л ь з о в а в ш и сь

законом

сохранения

з а р я д а

( t j

=

1

dxk(x{)

1

— 1.

(2.36a)

' » A ( T I )

д ФТ А _ ,

(х, Ti

.r=L,вх ft

Аналогично для /г-й пролетной

трубы

СОТт ft=

COT, -f- ус

Ьвых

к — 6/; {Ьвых

д., Тх ),

(2.336)

ft-1

(2.346)

0/, (ЬП Ь 1 Х

*,

тг ) -

N ; [&,„ (тх ) + т

/.. (т,)] +

» ( T l ) ,

y V T ft (T l) =

0 * (L »«x ft.T l ) -

(2.356)

1

—

1 .

(2.366)

" > f t (•«,

T t )

c5 (ye X)

ВЫХ ft

При

у с л о в и и ,

ч т о

™ - i

^

j

и

л и

—

^

|

m . ( t

) =

a f t r ' f r - i <*•

т'>

I

,

( 2 . 4 0 а )

1

(Ve -V)

I " V =

L B X Л

m T f e

д 6ft (A', TO

( 2 . 4 0 6 )

5 (7„ A")

О т н о с и т е л ь н а я а м п л и т у д а

п е р в о й

г а р м о н и к и

к о н в е к ц и о н н о г о

т ч ж а

щ

с е ч е н и и х /e-.no

з а з о р а

K(x)=i±§

ie(x,

0 е - ,

в ' < * < в /

=

-

и ' (

"

^ ' ^ J e ' l

^ ' ^ ' - ^ W T , ,

—л

—я

( 2 . 4 1 а )

а н а л о г и ч н о д л я k-н

трубы

/; (*) =

_ L e '

K _ V " V) |

е1

1 8

т

*

г - ) - и т ' 1

d сотг

( 2 . 4 1 6 )

производится па основе выражени й

(2.7)

и

(2.26)

путем

замены

<at на

сотл+фл и увх

на

уеЬть+щ,

что и

подчеркивается

записью

fk в ур-нии

(3.2).

Решение ур-ния

(3.1)

можно

представить

в форме

=

-

Ki

Ы)

+

Фч к (Ф*. т*) - I- С cos

+

S sin ^

,

где 0 4 h — частное

решение, соответствующее члену fjt

в

правой

части ур-пня (3.2).

С учетом начальных

условий при ф/{

= 0

^fci =

N'k\

(Tft)

( c

o s

—

-

1 )

I

+

< К ,

( T * ) s i

n —

+ ф" (Ф*. тк)-

\

Я

<7

Здесь

нормальное

частное решение, т. е. решение, о б р а щ а ю щ е е с я в

нуль вместе со своей производной при ф/, = 0,

Фк (фь

Ч) =

Ф ч

А (Ф*. т*) — Ф, к (0,

тА ) cos -2Ь — q

sin — .

q

дук

<Pfc=0

q

(3.3)

Следовательно, выражение (3.1) принимает окончательный вид

Ф* (х,

T F C ) =

уе

(х — L D X k)

— {7V; (т/ ; ) [cos ур (Х — L B X

1J +

. + Ят'к Ы s i

n

Ур (x

— £BX

k)

h у* Ф А hv (x — b n x

rf t ]

j ,

(3.4)

где

&k 1Уе (X — L*x ft). 1>] =

Фк

(фА ,

T F T ) I ф А ,=ус

(Л_£.вх ft)

•

(3.5)

нале

i'e(x,

ч)

=

\+м-(гК)-

т*> ,

д (охк

и так как M'h(xh)

=

ахк

д

i'e(x,

хк)

=

I +

<3/иА

(т)

+

Л'/* (тА ) cos YP (x — L B X ft) + 7 ^ ^ v

; sin Y p ( x — Uxk)

+

[xA

д Ф й Ы * - ^ * ) ,

T * !

(3.6a)

о'(х,

т л ) • =

.

дщ

(х,

хк)

д

(уs

X)

Отсюда при м а л о м

сигнале

'

о' (*. т*) = 1 — -у

N'k (хк) sin у р (х — L B X ft) +

m'k (хк) cos y P (* — L B X *)

+

- +

d4>k[y,(x-L,xk),

Tfc]

( 3

6 6 )

сечении

k-ro

зазор а

имеет две составляющие,

одна

из

которых

оп­

ределяется

только

переменным

током

и

скоростью

электронов

на

входе

в участок

и

соответствует группировке

электронного

потока

в этом участке в отсутствии

внешних

полей,

а

вторая

составляю ­

щ а я

определяется

л и ш ь действием внешнего поля,

и величина

ее не

зависит от тока и скорости

на входе в участок. И з

аналогичных

со­

ставляющи х слагается и переменная часть скорости электронов.

Когда в предыдущем участке прибора отсутствует внешнее

по­

ле, величины

m'u(xh)

и M'k(xk)

можн о выразить через m ' T h-i(тт

h-t)

и M ' T f t _ i ( T T f t - 0 .

Если

найдены

решения

дл я

предшествующей

про­

летной

трубы

»' = 1 — -yKk-\(xTk-\)^yP{x

— LBmk-i)

+

+

т'т А _ ,

(тт

k-i)

cos

ур

(х

—

k-i),

h =

1

+

К

A _ l

( X r

k-l)

C 0

S

УР

(X

-

L Ob,x A _ | )

+

К и ( Т т и )

•

,

L

,

+

( ?

<Эй)Гт / ; _,

S

l

n

M

*

Ч ы х А - l j '

T O

т И

т т

ft-i)

=

—

7 - К

* - i (T x

s i n УРk

+ m'r A _ , ( т г

, _ , ) cos yp

lT k;

+

q

—

siny p

lTk.

д сотт

Т а к

к а к т'и

и М'и

—

м а л ы е члены порядка

\iu-u

то при

необхо-

. димости определить их к а к функции

от Xh, а не т т

h-u достаточно в

правые части подставить вместо С О Т Т Й - 1 величину

сот&—yelih-

Ф а з ы

влета связан ы

соотношением

<°т * =

Ю Т т к-i

+yekk

— $ l r f t _ ,

(

т т ) ,

но ftiTh-i —

м а л а я

величина

порядка

yLk-ь и учет

ее

в

в ы р а ж е н и я х

д л я

т\

и M'h

привел бы

к появлению

членов

порядка p A - i . кото­

рыми при мало м сигнале следует пренебречь.

В ы р а ж е н и я

д л я

tn'kix-rh-i)

и M'h(xik-i)

подставим

в

ф-лу

(3 . 6а) . П р и

этом

учтем,

что

в

силу

указанной

связи

м е ж д у

соть и

©тт h-i следует использовать

соотношение

dm'k(Tft)

= ^ U ^ 1 k - i )

_

д mk

д w T T f e _ 1

Тогда после тригонометрических преобразований получим

dm'k

(tk)

M'k

( т * ) c o s УР (Х — L BX к) + Я d

m k

S I N

YP (х — L B X k) = УИ;

т т

А _ , ) Х

X cosур ( х - Ь в

ы

х

+

a

^

£

l ^ ~ l

)

sin ур

(Х-Ьвых

, _ , ) .

(3.7)