книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

Выражение для функции |r\e~Axbs | можно записать в ви­ де (7.15), причем, если ц =f= ц°, то %ѵ оо при т ->■ оо. Из приведенного в § 7 доказательства вытекает, что при этом

Однако, как следует из соотношений (6.9), (6.10), этого быть не может, поскольку %о (Г) и сг0 (Г) — решения урав­ нений (6.11), (6.12). Значит, неравенство (8.12) не имеет места, и из неравенства (8.11) получаем, что d (ц, Т) -> оо при Т — оо.

Расстояние <7 (ц, Г) при тп = 7 не превосходит соответ­ ствующего расстояния <2 (ц, Г) при тп = 6. Таким обра­

остается ограниченным при Т —>- оо только для векторов т] = т)°, которые удовлетворяют уравнениям (8.1), (7.2).

Множество точек ж, удовлетворяющих условиям (3.10), (7.5), (8.4) при всевозможных векторах ц0, обозначим через Имеется в виду, что из точек х, обращающих соотно­ шения (8.4) в равенства, ко множеству Q™ отнесены толь­ ко те, которые принадлежат области Q™ (Г) хотя бы при одном значении Т. Из построения множества QT вытека­ ет, что имеет место включение Q™ d q T• Точно так же, как при доказательстве леммы в § 7, можно строго показать, что имеет место обратное включение Q™CZ QT и, следо­

вательно, Q™ = Q™.

Соотношения (3.10), (7.5), (8.4), описывающие область управляемости 0™, позволяют выяснить ее структуру.

Обозначим через XPs подпространство, представляю­ щее собой линейную оболочку векторов г|°, принадлежа­

ласти QГ обозначим через Q™. Это множество описывает­ ся строгими неравенствами (7.5) при всевозможных век­

торах т]0, для которых d (г)°) ф 0. Обозначим через 7?™ множество точек х ЕЕ XPg, удовлетворяющих строгим неравенствам (7.5) при всех векторах р°, для которых d (р0) Ф 0. Пусть X = X1 + X2, где хг ЕЕ Xps, х2 (ЕЕ X%s-

Так же как в § 7, доказывается, что х ЕЕ QT тогда и только

= Хп равна размерности фундаментальной системы реше­ ний уравнений (8.1). В соответствии с выражением (8.2), размерность фундаментальной системы при рs = п равна

п — S Р* — (г2 — гі) = 2 Рк + r2 — П, ТС=Г!+1 k=i

т. е. равна количеству корней уравнения (3.1) с положи­ тельными действительными частями с учетом их кратно­ стей и с нулевыми действительными частями без учета их кратностей.

Из сказанного вытекает следующая теорема о структуре области управляемости.

Теорема 8.1. Множество Q™ внутренних точек области управляемости Q™ (т — 4 -г- 7) является цилиндрическим, т. е. QT = R ? + X Pg, где R™ CZ Xls — ограниченное множество (сечение цилиндра). При рs = п размерность подпространства X Pg равна числу собственных значений

матрицы А с положительными действительными частями с учетом их кратностей и с нулевыми действительными час­

тями без учета их кратностей. На границе области Q™ есть точки как принадлежащие области, так и не принадле­ жащие ей.

Необходимо обратить внимание на различия между тео­ ремами 7.1 и 8.1. В отличие от случая т = 1, 2, 3, в слу­ чае т = 4 -г- 7 область управляемости Q™«ограничена по направлениям р°», соответствующим корням уравнения (3.1) с нулевыми действительными частями. Следователь-

кратности корней с нулевой действительной частью не влияют на структуру области управляемости Q™(та = = 4 7), в отличие от кратностей корней с положитель­ ной действительной частью. Менее существенное разли­ чие состоит в том, что при та = 1, 2, 3 область Q™ — от­ крытое множество, а при та = 4 -г- 7 на границе области QT есть точки, принадлежащие пой области.

Указанные различия проявляются при сравнении ча­ стных случаев, рассмотренных в § 7 и исследуемых ниже.

цательные действительные части. Из теоремы 8.1 следует,

что Q™ = QT = Х п. Если обратиться непосредственно к системе уравнений (8.1), то легко увидеть, что она сов­ падает в настоящем случае с системой (3.4), которая при

из п — 1 уравнений, которые при ps = п линейно незави­ симы. Уравнения (8.1), (7.2) имеют только два решения, отличающиеся друг от друга знаком: ц° и —т]°. Функция

| ^ 0 ^ - А т I и м е е т В И д

11fe -A^bs I = (ifa 1)0bs ( e-x,T.

Найдем выражения для расстояний d (ц0). При та = 4 из формулы (8.3) получаем

=4 — 7), как следует из теоремы 8.1, представляет собой

врассматриваемом частном случае множество точек х ЕЕ

расстоянии d (р°) от начала координат. На этих гипер­ плоскостях есть точки, принадлежащие области управ­ ляемости Q™.

В § 5 в качестве примера рассматривается система вто­ рого порядка с двухкратным нулевым корнем. Для нее при т = 4 построены области достижимости (см. рис. 5.2) и область управляемости. Эта система удовлетворяет условиям рассмотренного выше второго частного случая. Область управляемости, построенная в § 5, представляет собой «полосу», что находится в полном соответствии с из­

р„ = т г в § 7 и в настоящем параграфе, видно следующее. Если все корни уравнения (3.1) имеют неположительные действительные части (даже нулевые), то при т = 1, 2, 3 область управляемости занимает все фазовое простран­ ство. При т = 4 -г- 7 ситуация другая. Если среди кор­ ней уравнения (3.1) есть хотя бы один, имеющий неотрица­ тельную действительную часть, то при т = 4 -н 7 область управляемости занимает часть фазового пространства.

При условии ps = п можно выписать систему уравне­ ний, эквивалентную системе (8.1). Среди столбцов матриц «мь «fei, • • •, a ftlPjri содержится ровно p h, а среди

3] СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ 77

верждать, что ранг системы (8.17) в точности равен числу

Га

2 Рк — (г 2 — гі) (в этом, в частности, состоит отличие от

вида (8.19) содержат ровно р к линейно независимых урав­

к=п+і

будет приведен пример, когда этот ранг строго меньше этого числа.

78 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛ. t

При р = п ранг системы (8.17) не меньше 2 рк.

к — V 2 1~1

Размерность фундаментальной системы решений урав­ нений (8.17) не меньше (и в случае, когда р = п) числа

При р = п размерность этой фундаментальной системы не превосходит числа

Обозначим векторы т), которые являются решениями уравнений (8.17), (7.2), через р°.

Если вектор т)° удовлетворяет системе уравнений (3.15), то область управляемости Qm удовлетворяет усло­ виям (3.19). Если вектор р0 не удовлетворяет системе (3.15),

то множество Qm внутренних точек области Qm удовлет­ воряет условиям вида (7.5), в которых d (р°) есть сумма

расстояний до опорных гиперплоскостей ПГ (р°) (s —

г)-

Обозначим через Хр подпространство, представляющее собой линейную оболочку векторов т]°, принадлежащих

Обозначим через R m множество точек х е= Xj, удовле­ творяющих строгим неравенствам вида (7.5) при всех век­ торах т)°, для которых d (р°) Ф 0. Тогда имеет место сле­ дующая теорема.

Теорема 8.2. Множество Qm внутренних точек области управляемости Qm (т = 4 -г- 7) является цилиндриче­

ность подпространства Х р = ХІ не меньше числа соб­ ственных значений матрицы А с положительными дей­ ствительными частями с учетом их кратностей и с нуле­ выми действительными частями без учета их кратностей

80 ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ [ГЛ. I

Рассмотрим теперь простейший пример, на котором проиллюстрируем некоторые отмеченные выше особенно­

значение Ах = 0. Формула (3.2) принимает в настоящем примере вид

Ранг этой системы р = 2, т. е. ранг равен порядку системы (8.20). Иначе говоря, система (8.20) вполне управляема, при этом Хр = Х п = Х 2. Среди столбцов матрицы а п = = 0 нет линейно независимых, т. е. число линейно незави­ симых столбцов в этой матрице строго меньше р 1 — 1 = 1. Системы уравнений (8.17) как таковой в настоящем при­ мере нет, следовательно, векторами г)° являются все еди­ ничные векторы т], т. е. область управляемости Qm (т —

— 4 н- 7) «ограничена по всем направлениям ц». Значит,

построении области Qm возникают указанные выше особеццости,