книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами
.pdf1] ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ 231
h (Л) =
СО
г]2 cos У I |
— е2 X — Лі + елз sin У і — г2т |
dr. |
О |
у 1 — еа |
(27.12) |
|
|
|
Введем обозначения: |
|
|
% = cos ф, |
т}2 = sin ф, I X I = р. |
(27.13) |
Здесь ф, в отличие от § 12,— полярный угол, р — поляр ный радиус.
Для вычисления величины (27.10) воспользуемся ре зультатом вычисления величины (12.23). Этот результат описывается формулой (12.28). Тогда уравнение (25.18) границы области U1 в полярных координатах р и ф при нимает вид
М |
при е-"» У I -|- е sin 2ф |
(sin ф |, |
||
4е I sin ф I |
||||
|
|
|||
Р = |
Me£Ті |
при е_£'с>/ 1 + е sin 2ф |
I sin ф|, |
|
|
||||
4s |
+ 8 sin 2ф |
|||
|
(27.14) |
|||
|
|
|
||
где величина т2 описывается формулой (12.26). |
||||
При ф = |
я/2, а также при значениях ф, |
близких к |
||
я/2, имеет место верхнее выражение в формуле (27.14). Уравнение
—м
Р4е I sin ф I
описывает точки, лежащие на границе полосы S. Таким образом, граница области U1 имеет плоские участки.
На рис. 27.1 показана область V1 при е = У 2/2, М = 1. Для сравнения на этом рисунке показана область управ ляемости Q1, построенная при тех же значениях парамет ров на рис. 12.1.
Перейдем к построению областей Um (т = 2, 4). Оба собственных значения разомкнутой системы (12.1) имеют положительные действительные части, поэтому Um — Gm
при т = 2, 4.
232 |
ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ |
[ГЛ. Ill |
Несобственный интеграл, фигурирующий в формулах (27.11) и (12.21), равен 1/(4е). Поэтому из выражений (25.19), (27.13) получаем следующее уравнение границы области G2:
|
|
|
|
|
|
(27.15) |
Следовательно, |
область |
притяжения |
G2 |
системы |
(12.1) |
|
с управлением |
(27.4) представляет собой круг радиуса |
|||||
|
|
(27.15). В § 12 показа |
||||
|
|
но, |
что |
расширенная |
||
|
|
область |
управляемости |
|||
|
|
V2 системы (12.1) |
пред |
|||
|
|
ставляет |
собой тот же |
|||
|
|
самый круг (см. форму |
||||
|
|
лу (12.22)). Таким обра |
||||
|
|
зом, получается инте |
||||
|
|
ресный результат: |
||||
|
|
|
G2 = |
V2. |
(27.16) |
|
|
|
Как следует из оп |
||||
|
|
ределения |
области V2 |
|||
|
|
(см. |
§ 10), |
из началь |
||
Рис. |
27.1. |
ных состояний ж(0) ф V2 |
||||
|
|
систему |
(12.1) |
невоз |
||
можно привести асимптотически в начало координат с по мощью управления, удовлетворяющего ограничению (1.3). Равенство (27.16) означает, что управление (27.4) асимп тотически приводит систему (12.1) в начало координат из всех состояний х (0) £Е V2, т. е. из всех начальных состояний, из которых вообще возможно такое приве дение при ограничении (1.3). Следовательно, для систе мы (12.1) с ограничением (1.3) на управление обратная связь (27.1) является оптимальной в смысле обеспече ния асимптотической устойчивости для максимальной области начальных состояний. Иначе говоря, обрат ная связь (27.1) «реализует асимптотическую устойчи вость для максимально возможной области начальных условий».
В выражение (27.12) входит тот же интеграл, что и в выражение (12.5). Этот интеграл вычислен в § 12. Резуль тат вычисления содержится в формуле (12.14). Пользуясь
2l |
ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ В. М. ПОПОВА |
233 |
этой формулой, выпишем уравнение (25.20) границы обла сти притяжения бг4:
N |
2 е ~ " ° У I + е s in 2ср |
|
Р 4 е |
1—е |
V l - z |
|
при 0 ф |
Л , |
— cos ср
(27.17)
где величина т0 описывается формулой (12.9). Область G4 симметрична от носительно начала координат, по этому с помощью уравнения (27.17) можно полностью построить границу этой области.
На рис. 27.2 построена область |
|
G4 при е = У"2/2, N = 1. На этом |
рис 27.2. |
рисунке показана для сравнения так |
|
же область управляемости Qi, изображенная на рис. 12.2.
2. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЯ В. М. ПОПОВА
В настоящем разделе рассматриваются нелинейные системы автоматического регулирования, которые не яв ляются устойчивыми «в целом». С помощью критерия В. М. Попова решается задача о построении в фазовом пространстве области начальных состояний, для которых гарантируется асимптотическая устойчивость.
§ 28. Формулировка задачи
Будем рассматривать систему (1.1) с произвольным чис лом г управляющих воздействий. Пусть в системе (1.1) организована обратная связь, которая описывается сле дующим образом
|
|
|
и = |
ср (о), |
|
(28.1) |
|
|
|
а = |
Сх. |
|
(28.2) |
Здесь |
ф (о) |
= |
I ф8 (os) I — матрица порядка |
(г X 1), |
||
С = I csi I — |
постоянная матрицапорядка |
(г X |
п). Че |
|||
рез |
csбудем |
обозначать s-ю строкуматрицы |
С |
(с30 |
||
при s |
= l , . . . , |
г). Векторное соотношение (28.1) |
эквива |
|||
234 |
ОБЛАСТИ |
ПРИТЯЖЕНИЯ |
[ГЛ. Ill |
лентно |
совокупности скалярных соотношений |
|
|
|
us = ф8 (Os) |
(s = 1, . . ., г). |
(28.3) |
Следовательно, каждый управляющий параметр us являет ся нелинейной, вообще говоря, функцией одной линейной комбинации фазовых координат системы (1.1). Обратная связь (23.3), очевидно, также описывается выражениями
(28.1), (28.2).
Функции (28.3) суть заданные однозначные кусочно непрерывные функции, удовлетворяющие условиям
cps ( 0 ) = 0 (s = l, . . . , г ) (28.4)
и некоторым дополнительным условиям, которые будут сформулированы ниже. Будем считать, что система (1.1), (28.1) , (28.2) удовлетворяет условиям существования и единственности решения для всех t О при любых началь ных условиях.
Если среди функций ф8 (as) есть разрывные, то реше ние системы определим в соответствии с [3, 54]. Если функ ция ф„ (as) претерпевает разрыв в точке crs = 0, то соглас но определению [3, 54] значение ф8 (0) зависит от состояния X системы. При этом выражение (28.4) оказывается не всегда верным, однако функция х (t) = 0 является реше нием системы (1.1), (28.1), (28.2).
Предположим, что все корни характеристического
уравнения (3.1) имеют отрицательные |
действительные |
части |
(28.5) |
Re %k < 0. |
Иначе говоря, предполагается, что система (1.1), (28.1), (28.2) собственно-устойчива.
На рассматриваемом в § 31 примере показано, что полученные ниже результаты могут быть применены также к собственно-неустойчивым системам. Это обстоя тельство является важным с прикладной точки зрения.
Передаточная матрица W (р) (р — комплексная пере
менная), определяемая из уравнений (1.1), |
(28. ’,) с по |
мощью соотношения |
|
— 2 (р) = W (р) U (р), |
(28.6) |
равна |
|
W(p) = С (А - рЕп)-'В. |
(28.7) |
2І ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ В. М. ПОПОВА 235
Соотношение (28.6) |
описывает связь |
между преобразова |
|
ниями по Лапласу |
[59а] 2 (р) и |
U |
(р) функций а (t) и |
и (t) соответственно |
[2, 506]. При |
этом вектор-функция |
|
о (t) получается из решения уравнения (1.1) с нулевыми начальными условиями.
Матрица W (р ) имеет порядок (г х г). Ее элементы есть дробно-рациональные функции с действительными коэффициентами. Степени числителей этих функций мень ше степеней знаменателей, а все полюсывсилу предположе ния (28.5) лежат слева от мнимой оси.
Обозначим через К и q действительные постоянные матрицы порядка (г х г), у которых отличны от нуля только элементы ks и qs (s = 1, . . ., г), стоящие на глав ной диагонали. Введем в рассмотрение следующие мат рицы:
G (р) = (Er + pq) W (р) + К ~ \ |
(28.8) |
H { p ) = G (р) + G* (р). |
(28.9) |
Вматрице К~хна главной диагонали стоят элементы i/ks,
авне главной диагонали нули. Если ks = оо то l/ks = 0.
Матрица Н (р) эрмитова, |
т. е. Н (р) = Н* {р), поэтому |
|||||
все |
главные |
миноры ее |
As (р) (s = |
1, |
г) |
действи |
тельны. Введем теперь основное предположение. |
|
|||||
Пусть существуют матрица К, у которой диагональ |
||||||
ные |
элементы |
ks 0 (s = 1, . . ., г) |
(может быть, что |
|||
некоторые или все элементы ks = оо), |
матрица q, у кото |
|||||
рой все диагональные элементы qs |
0 (s = |
1, |
. . ., г) и |
|||
конечны, а также число 6 |
0, такие, |
что при всех значе |
||||
ниях со ;> 0 имеют место неравенства |
|
|
|
|||
|
А, ( » ö ) > 6 |
(s = l . . . . . г ) . |
|
(28.10) |
||
Здесь и в дальнейіпем і, если это не переменный индекс, означает |/~— 1. Предположение о том, что все элементы qs > 0, в дальнейшем будет снято.
Если бы функции (28.3) при всех значениях as Ф 0 удовлетворяли неравенствам
0 < 4 ^ l < k s |
(S = l ........ |
Г), |
(28.11) |
то система (1.1), (28.1), (28.2) была бы устойчивой «в це лом». Иначе говоря, при условиях (28.11) решение системы
236 |
ОБЛАСТИ ПРИДЯЖЁНИЯ |
[ГЛ. Ill |
|
|
X = 0 (оно существует вследствие предположения (28.4)) асимптотически устойчиво по Ляпунову, а область притя жения G начала координат совпадает со всем фазовым пространством Х п. Действительно, если система (1.1), (28.1), (28.2) собственно-устойчива, функции (28.3) удов летворяют ограничениям (28.11) (даже если в (28.11) допускаются знаки равенства), то неравенства (28.10) в силу теоремы В. М. Попова [2, 24, 48] являются достаточ
ным условием устойчивости «в целом» этой системы.
Для тех значений индекса s, при которых ks = оо, условие (28.11) приобретает вид
|
|
|
|
|
0 < 2 ^ . . |
|
(28.12) |
|||
|
|
|
Пусть система |
(1.1), |
(28.1), |
|||||
|
|
(28.2) |
|
|
|
|
|
|
не |
|
|
|
«в целом», т. е. Ѳ ф Х п, |
но при |
|||||||
Рис. 28.1. |
этом существуют такие величи |
|||||||||
ны |
К, |
q и б, что выполняется |
||||||||
функций |
cps (os) |
условие |
(28.10). |
Тогда |
среди |
|||||
(s = 1, . . |
г) |
некоторые |
cps (os) (s = |
|||||||
= 1, . . ., |
r0) (без ограничения общности |
можно считать, |
||||||||
что это первые г0 )> 0 функций) |
не |
при |
всех |
значениях |
||||||
as ф 0 удовлетворяют неравенствам |
(28.11). |
В против |
||||||||
ном случае система была бы устойчивой |
«в целом». |
|||||||||
Предположим, однако, что при s = |
1, . . |
., |
г0 сущест |
|||||||
вуют такие значения о'а )> 0 и ст, > |
0, |
что при а8 ^ 0 и |
||||||||
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—ав < os < |
g "s |
|
|
|
|
|
(28.13) |
|
функции |
cps (as) |
(s = 1, . . ., |
г0) |
удовлетворяют неравен |
||||||
ству (28.11) (или (28.12)) (рис. |
28.1). |
Таким |
образом, |
|||||||
предполагается, |
что часть функций (28.3) (при г0 |
= г — |
||||||||
все) удовлетворяет условиям (28.11) в диапазоне (28.13), другая часть удовлетворяет условиям (28.11) при всех зна чениях ag Ф 0.
При сделанных предположениях поставим задачу опре деления множества начальных состояний, для которых гарантируется асимптотическая устойчивость нулевого
2l |
ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ В. М. ПОПОВА |
237 |
решения системы (1.1), (28.1), (28.2). Здесь излагаются ре зультаты, полученные в [55и]. Отметим, что в [25] решает ся задача построения области притяжения с помощью функции Ляпунова, построенной способом А. И. Лурье [39]. При этом в [25] также делается предположение о су ществовании диапазона (28.13), в котором имеют место условия (28.11).
§ 29 . Р еш ение задачи для произвольного числа нелинейны х функций
Пусть %(t) есть решение системы (1.1), (28.1), (28.2) при некоторых начальных условиях х (0). При этом
и (і) = ф [Сх (£)]
есть конкретная векторная функция времени и х (t) — ре шение линейной неоднородной системы
dxldt = Ах + Ви (t)
при начальных условиях х (0) (если в точке Сх (t) хоть одна из функций cps (os) терпит разрыв, то и (t) определим как в [3, 54]). Пусть
и (t) при t=^T, |
(29.1) |
||
ит(t) |
при |
t^>T, |
|
0 |
|
||
где Т — произвольное положительное число, и пусть |
|||
oT(t) = |
CxT(t), |
|
(29.2) |
где хт (t) — решение системы |
|
|
|
doCfj1 |
|
|
(29.3) |
Ахт + Вит (t) |
|||
d t |
|
|
|
при начальных условиях хт (0) = |
х (0). |
|
|
Решение системы (29.3) можно записать в виде |
|
||
хт(t) = хт(<) + х0(0, |
(29.4) |
||
где хт (t) есть решение неоднородной системы (29.3) при нулевых начальных условиях, а х0 (t) — решение одно родной системы (25.6) при начальных условиях х (0).
238 |
ОБЛАСТИ |
ПРИТЯЖЁНЙЯ |
to i. |
Ill |
|||
Из выражений (29.2) и (29.4) получаем |
|
|
|||||
|
öt(0 = |
°т(0 |
+ °о(0і |
(29.5) |
|||
где |
5т(t) = Схт (i), |
а0 |
(t) |
= |
Сх0 (t). Легко |
видеть, |
что |
От (t) = о (£) при 0 |
^ |
|
Т. Вектор-функция о0 (£) |
ли |
|||
нейно зависит от компонент вектора х (0). Продифферен цируем почленно равенство (29.5):
|
deT(t) |
&5Т (£) |
1 fa0(f) |
/ОП |
|||
|
d t |
— |
d t |
+ |
d t |
’ |
( 2 9 . b ) |
Используя равенства (29.5), (29.6), получаем |
|
||||||
d a T (t) |
|
|
|
|
|
|
|
aT (t) -\- q — |
— K~xut (£) = |
|
|
|
|
||
= Sr (£) + q |
- |
K - ' U T |
(£) + |
c0 (£) + q |
. (29.7) |
||
Введем обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
/0(£) = - c |
0( £ ) - g ^ |
, |
(29.8) |
|||
f(t) |
= - От(t) - |
q |
|
|
(0; |
(29.9) |
|
тогда равенство (29.7) принимает вид |
|
|
|||||
/ (0 = - |
St (t) - |
q |
|
+ |
К-'ит (£) + /о (£). |
(29.10) |
|
Зададимся теперь целью |
записать равенство |
(29.10) в |
|||||
изображениях по Фурье [14, 59а].
Обозначим изображения по Фурье векторных функ ций /о (£), /(£), ux(t) и aT(t) через F0 (too), F (ico), ІІт(ш)
и 2 т (ico) соответственно. Эти изображения существуют,
поскольку функция (29.1) исчезает при £ Т, а все ком поненты решения однородной системы (25.6) вследствие условия (28.5) стремятся к нулю при £ ->• оо не медленнее экспонент.
Изображение по Лапласу вектор-функции х0 (£) имеет вид
х0 (Р) = — (А — рЕп)-1 X (0).
2] |
ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ В. М. ПОПОВА |
239 |
Тогда из выражения (29.8) получаем
Fo (Р) = — Сх0 (р) — qC [рхй (р) — X (0)1 =
= (Ег + рд) С ( А - РЕп)~'х (0) + qCx (0). (29.11)
Из соотношения (28.6) имеем
— 2т (йо) = W (йо) Uт(йо). |
(29.12) |
Пользуясь выражениями (29.12) и (28.8), можно запи сать равенство (29.10) в изображениях по Фурье следую щим образом:
F (іа) = G (іа) и т (іа) + F0 (іи). |
(29.13) |
Компоненты вектор-функций ит (t) и / (і) при t —v оо стремятся к нулю не медленнее экспонент, поэтому имеет место формула Парсеваля [14]
ОО |
оо |
^ ит (т)/(т)йт= -|^ |
^ П*т(іи) F (іи) da. (29.14] |
ІО |
— о о |
Левая часть равенства (29.14) действительна, поэтому, учитывая выражения (29.13) и (28.9), получаем
о с оо
^ ит(т ) / (т) dr = — ^ Re [ Ü t (іа) F (іа)] da =
0 |
— оо |
|
оо |
= 4^ S [От(іа)Н (іи) (7т (іи) +
—оо
+От (йо) F0(іи) + Fl (іи) Uт(ію)] da. (29.15)
Все проведенные до сих пор выкладки совпадают с со ответствующими выкладками, проведенными в [2] при доказательстве теоремы В. М. Попова. Отличие состоит лишь в том, что здесь функция (28.1) является векторной.
Матрица Н (іа) является эрмитовой, поэтому квадра
тичная форма ОтН (іа) UT действительна. В силу пред положения (28.10) эта квадратичная форма является оп ределенно-положительной, следовательно, существует ли нейное невырожденное преобразование
Uт — D (іа) Z, |
(29.16) |
240 |
ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ |
[ГЛ. II |
которое приводит квадратичную форму к сумме квадратов
ОтН (ію) Ut = Z'D* (ію) Н (іа) D (іа) Z = Z*Z — \\Zf, (29.17)
где ||Z|| = У \ Z± I2 + . . . + I Zr I2 есть норма вектора Z. Следовательно,
D* (іа) H (іа) D (Ію) = Ег. |
(29.18) |
Как следует из выражения (29.17), преобразование (29.16) приводит равенство (29.15) к виду
оо
5и*т(т) / (т) dx = 0
о о
= ~Ш S ч Z (ico) !!2+ Z* (ію) D *(ію) F0(ію) + f I (ію) D (ію) X
— ОО
оо
X Z(ico)] da = U ]Z*(iro) + Ло (ію) Л (ію)] [Z (ію) +
— ОО
ОО
+Л* (ію) Л0 (ію)] сію— J Fl(ia) D(ia)D*(ia)F0(ia)da=
—со
оо
= S ||Z(iro) + Л*(ію)Л0(ію)||2 сію —
— ОО
о о
—$ 1Л‘ (ію)Л0(ію)||2сію. (29.19)
—о о
Элементы Ь,ц (р) (і, / = 1, . . ., г) матрицы Н (р) яв ляются, как это видно из выражений (28.7) — (28.9), дроб
но-рациональными |
(знаменатель |
равен |
det || А — рЕп||) |
|
с действительными |
коэффициентами |
функциями аргумен |
||
та р, следовательно, \htj (— ію) |
| = |
|htj |
(ію) |. Элементы |
|
матрицы F0 (p), как видно из выражения (29.11), обладают теми же свойствами. Из способов построения преобразую щей матрицы D (ію) (см., например, способ Лагранжа
[21]) вытекает, |
что элементы dtj (ію) |
(і, / = 1, . . |
., г) |
матрицы D (ію) |
обладают свойством |
| dtj (— ію) |
| = |