книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

1] ОГРАНИЧЕННЫЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ СИЛЫ 151

оптимальное управление имеет вид

Нельзя забывать о том, что для точки касания опорной прямой П(т], Т) с областью Q (Т) оптимальное управление получается путем умножения функции (5.12) на —1.

Для лежащих на границе Г (Т) точек, у которых па­ раметр ф удовлетворяет неравенству (16.13), оптимальное управление имеет вид

Для граничных точек, у которых параметр ф удовле­ творяет неравенству (16.15), оптимальное управление определяется выражением

творяет неравенствам (16.12), (16.14) и (16.16), оптималь­ ное управление получается умножением на —1 выраже­ ний (16.34), (16.35) и (16.36) соответственно.

Управление (16.34)—(16.36) принимает на отрезке [О, Т] каждое из трех значений — 1, 0 и 1 не более одного

о

Оптимальное управление в этой задаче имеет ту же струк­ туру, что и управление (16.34)—(16.36),

и (0) в виде функции от координат хг, х2, х3 — это и зна­

Соотношения (16.37) и (16.38) совпадают с соотношениями (16.30) и (16.31) соответственно, если в последних поста­ вить знаки строгого неравенства.

Из выражений (16.24), (16.25), (16.33), (16.35), (16.36)

следует, что и (0) = —1 при

Пользуясь симметрией фазового портрета оптимальной системы, из выражений (16.39), (16.40) получаем, что

и (0) = 1 при

Рассматривая соотношения (16.37)—(16.42) в полу­ пространстве х3 0 пространства Х 3, можно полностью представить себе картину синтеза оптимального управ­ ления. Эта картина изображена на рис. 16. 5. В нескольких словах картину синтеза можно описать так. Внутри дву­ гранного угла, с одной стороны от цилиндрической по­ верхности (16.32) управление и = —1, с другой стороны

гранного угла и = 0. На рис. 16.5 показана возможная оптимальная траектория АВСО. Отрезок AB траектории расположен внутри двугранного угла, на нем и = 1, отрезок ВС расположен на границе угла, на нем и —0, отрезок СО расположен на пересечении поверхности (16.32) со стороной угла, на нем и = —1. Если отрезок ВС расположен в сечении х3 = 1, то траектория АВСО на рис. 16.4 представляет собой проекцию на плоскость

Система (16.43) имеет одно нулевое и одно ненулевое соб­ ственное значение к. Относительно знака величины к

Наряду с обозначениями (16.44) введем также обозначе­

Вычислим расстояния d (ц, Т) до опорных прямых области достижимости Q (Т) при Т ]> у 3. Соответствую­ щие рассуждения будем проводить не так подробно, как для системы (16.2).

при условии (16.49) проходит, как видно из выражения

другая часть — через симметричную относительно начала координат точку

идвумя симметричными одна другой относительно начала координат кривыми, которые являются огибающими се­ мейства прямых (16.57) при условии (16.51). Уравнения этих огибающих выписывать здесь не будем. Так же как

идля системы (16.2), граница Г (Т) области Q (Т) для си­ стемы (16.43) имеет два плоских участка и четыре угловые точки. Плоскими участками границы являются отрезки

1] ОГРАНИЧЕННЫЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ СИЛЫ 157

Выражения (16.58), (16.59) при Т ->■ оо превраща­ ются в следующие:

Область управляемости Q не содержит точки (16.68), (16.69) , поскольку они получаются при Т = оо.

Граница Г области Q является огибающей однопара­ метрического семейства опорных прямых

Если d ( ф ) определяется формулой (16.66), то опорные прямые (16.70) проходят через точку (16.68) либо (16.69). Если d ( ф ) определяется формулой (16.56), то прямые (16.70) проходят через точку (16.60) либо (16.61). Если d ( ф ) определяется формулой (16.67), то огибающими семействами (16.70) являются кривые (промежуточные выкладки здесь опускаем)

Точки, лежащие на этих кривых, области Q не принад­ лежат.

Прямые (16.62) пересекаются с кривыми (16.71) в точ­ ках (16.60), (16.61), (16.68), (16.69), которые являются угловыми точками границы Г.

Итак, при условии к 0 область управляемости Q ограничена прямыми (16.62) и кривыми (16.71). Граница этой области имеет два плоских участка и четыре угловые точки. Граничные точки, не лежащие на кривых (16.71), принадлежат области управляемости.

В полупространстве у 3 ^> 0 трехмерного пространства Y s границы области управляемости Q при условии к < 0 представляют собой так же, как и для системы (16.2),

Перейдем теперь к вопросу о синтезе оптимального по времени управления в пространстве К3.

Для точек, принадлежащих области Q (Т) при Т ^ у 3, оптимальное управление является чисто релейным (при­ нимает значения + 1). Линией переключения при этом будет кривая, состоящая из двух проходящих через на­ чало координат интегральных кривых системы (16.45),

В полупространстве уг )> 0 пространства Y s поверхности (16.71) пересекаются с цилиндрической поверхностью

l1 ОГРАНИЧЕННЫЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ СИЛЫ Ш

При X < 0 картина синтеза в пространстве Y 3 опти­ мального управления для системы (16.45) будет точно такой же, как и для системы (16.2) (см. рис. 16.5). Роль поверхности (16.32) в этой картине играет поверхность

синтезировать управление, ограничена не только плос­ костями (16.62), как в случае X < 0, но и поверхностями

(16.71) (см. рис. 16.6).

В заключение отметим, что все полученные выше при рассмотрении системы (16.45) выражения при X -> 0 дают соответствующие выражения для системы (16.2). Этим обстоятельством удобно пользоваться при проверке результатов, полученных для системы (16.45).

Рассмотрим теперь систему (16.1) при X = 0, ѵ •< 0. Будем предполагать, что ѵ = —1. Это предположение не ограничивает общности, поскольку уравнения (16.1) пу­ тем замены переменных х1г х2, t всегда приводятся к та­ кому виду, что V = —1. Уравнения (16.1) в рассматривае­

Система (16.73) имеет два чисто мнимых собственных значения + і.

Вопрос о построении оптимального по времени управ­ ления для системы (16.73) при наличии ограничений (1.2) и (1.4) представляет интерес для задачи управления дви­ жением искусственного спутника относительно центра масс. Уравнения движения спутника вокруг оси, перпен­ дикулярной к плоскости орбиты [6], после линеаризации приобретают вид (16.73). Условие (1.2) соответствует ограниченности тяги, а условие (1.4) — ограниченности

Из выражения (12.4) с учетом обозначений (12.6) получаем

x\e~Azb — —cos ф sin т + sin ф cos т = sin ( ф — т). (16.75)

В отличие от функций (16.3) и (16.46), функция (16.75) не удовлетворяет тождеству | г}е-Ат5 | = const ни при каких значениях ф . Поэтому граница Г (Т) области до­ стижимости Q (Т) не имеет плоских участков, т. е. мно­ жество Q (Т) для системы (16.73) является строго вы­ пуклым.

Расстояние d (ц, Т) от начала координат до опорных прямых определяется, в соответствии с выражением (5.17), формулой

Е( Т , Х о )

где область интегрирования

Е (Т, Хо) = {X е= [0, Я: I sin ( ф - т) I > ХоЬ (16.77)

а величина Хо удовлетворяет уравнению (5.16)

Найдем область управляемости Q для системы (16.73). В соответствии с теоремой 8.1, область Q занимает огра­ ниченную часть фазовой плоскости Х 2. Это связано с тем, что оба собственные значения системы (16.73) имеют ну­ левые действительные части. Пользуясь уравнением (16.76), выпишем точное уравнение границы Г области Q. Для этого нужно найти расстояния d ( ф ) , получающиеся из расстояний d ( ф , Т) при Г -> оо.

Выберем бесконечно возрастающую последовательность

к (я — 2 arc sin х0) — ^з-