книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами
.pdf2] |
ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ В. М. ПОПОВА |
241 |
=I du (ій) |. Из сказанного следует, что
II Л* ( - Ій) F0( - Ій) f - ID* (Ій) F0(Ій)I2,
поэтому
oo |
oo |
5 IID" (iffl) F0(ІЙ)f da> = |
2 5II л*(Ій)Л0 (iffl) f Жо. (29.20) |
— oo |
0 |
Покажем, что интеграл (29.20) конечен.
Из условий (28.10) и соотношения (29.18) следует, что
элементы матрицы D (ій) конечны при 0 ^ ы |
с». Если |
|||||
например, |
г = |
1, то |
|
|
|
|
|
|
ID (ій) I |
1 |
1 |
|
|
|
|
УЩш) |
< ГВ' |
|
||
|
|
|
|
|||
Из выражения (29.11) получаем |
|
|
|
|||
lim F0(р) = lim [(Er + pq) С (А — рЕп)~гх{0)] + |
qCx(0) = |
|||||
ІРІ-.0О |
І Р Н |
оо |
|
|
|
|
= |
lim |
[pqC (А — рЕп)~г X(0)] + |
qCx (0) = |
|
||
= |
ІРІ-х» |
|
|
qCx (0) = |
||
qC [ lim p(A — p2?n)_1] x (0) + |
||||||
|
|
І Р І - М О |
|
|
|
|
|
|
= qC (— En) x (0) + qCx (0) = |
0. (29.21) |
|||
Равенство (29.21) показывает, что каждый элемент матри цы F0 (р) является правильной дробью, т. е. степень чис лителя дроби строго меньше степени знаменателя. Таким образом, функция | D* (ій) F0 (ій) | 2 -*■ Oi при й -> oo не медленнее, чем 1/й2. Поэтому интеграл (29.20) сходится при любом векторе х (0).
* Из равенства (29.19) имеем
оо |
оо |
— § ит(т) / (т) dx < |
§ ID* (Ій) F0(ій) f d(0 . (29.22) |
о |
о |
Интеграл (29.20), если рассматривать его в качестве функции вектора ж (0), представляет собой, как видно из выражения (29.11), неотрицательную квадратичную форму.
242 ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ [ГЛ. Ill
|
Левая часть неравенства (29.22) с помощью выражений |
||||||||
(29.1), (29.9) преобразуется |
|
следующим |
образом: |
||||||
|
§ ит(*) / (т) dx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
г |
Т |
Г |
Ф [cs (т)1 |
d a „ (т)"| |
|
||
|
|
•л |
С |
dx |
|||||
|
|
2 |
§ Ф* [б, (t)] |
<5S (т )-------j ------Ь qs —f r - |
|||||
|
|
s—1 О |
б«(т) |
|
ks |
|
-I |
|
|
|
|
|
|
"'s |
|
|
|||
|
г |
Т |
|
|
|
|
|
-8(Т) |
|
= |
2 |
$ 4>s [б. (t)] [а, (т) - - |
к |
йт + 2 |
?« |
5 |
<p«(a«)da*- |
||
|
|
|
|
|
|
s=l |
О (о) |
(29.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из соотношений (29.22), |
|
(29.23) получаем следующее |
||||||
неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|||
г |
т |
|
|
|
. |
г |
as(T) |
|
|
2 |
$ ф5 [б, (т)] <з5 (т) — Ф5 |
|
dr + 2 |
$ ф5 (б,)йз8< |
|||||
_ __ л |
|
L |
|
|
Я _ 1 -I |
« /п\ |
о |
||
8=1 |
о |
|
|
|
|
s=l |
0.(0) |
|
|
< ^ г 5і|Л‘ М ^ „ ( і<о)Г йсо. (29.24)
о
Таким образом, при условиях (28.10) получено неко торое интегральное неравенство, которому удовлетворяет решение системы (1.1), (28.1), (28.2) в любой момент времени Т, при любых начальных условиях х (0). При выводе этого неравенства условия (28.11) не использова лись.
Заметим, что с помощью неравенства (29.24) теорема В. М. Попова для систем со многими нелинейностями мо жет бытъ доказана так же, как она доказана в [2] для Си стем с одной нелинейностью.
Введем обозначения
8 |
|
|
(29.25) |
ф.(б.) = 5 Ф.(б.)<*б., |
|
||
Is [Т, X(0)] = \ ф, [а, (т)] (т) - |
Ф. [с*МГ |
dx. |
(29.26) |
к |
|||
2] ПРЙМЁНЕЙИЁ КРИТЕРИЯ В. М. ПОПОВА 243
Тогда неравенство (29.24) можно записать в виде
Г Г
2 |
?,Ф. [а, (Т)І < |
2 |
qsФ5[а. (0)] + |
|
|
|
|
|
|
||||
3 = 1 |
|
|
S = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
+ ^ |
|
|
|
|
|
|
|
2 М 7> (0)1 .(29.27) |
|||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
S = 1 |
|
|
|
|
|
При s = г0 |
+ |
1, • |
• |
г функции (28.3) |
удовлетворяют |
|||||||
условиям (28.11) |
при всех |
значениях |
os Ф 0. Поэтому |
||||||||||
|
(a s) |
0 при as =f= 0, и / , |
[Т, |
X (0)] |
> |
0 при всех зна |
|||||||
чениях Т !> 0 и X (0). Учитывая, что qs |
0 (s = |
1, . . |
г), |
||||||||||
из неравенства (29.27) получаем следующее: |
|
|
|||||||||||
Ч> |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
<ьфе [б, (Л1 < 2 3.Ф.Ias (0)] + |
|
|
|
|
|
|||||||
8 = 1 |
|
ОО |
8 = 1 |
|
|
|
Г0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ |
S1.D- (iw) F0 (iw) IP <to - |
2 |
Is [T, X (0)]. |
(29.28) |
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
S = 1 |
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
через |
R множество начальных состояний |
||||||||||
X (0), удовлетворяющих условиям |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
— б' < |
csx (0) < б* |
(s = |
1,. . ., го). |
(29.29) |
|||||||
Г0 |
|
(°)] + |
оо |
(“°) F o (ico)F d(ä < 20ф0> (29.30) |
|||||||||
2 |
^ |
SI |
|||||||||||
s = |
l |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
gr° = |
min qs, |
|
|
|
(29.31) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
l ^ S ^ r o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф0 = |
min |
[Ф, ( - |
Og); Ф, (öl)]. |
(29.32) |
||||||
|
|
|
|
l ^ S ^ 7 * o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина q° > |
0, поскольку qs |
0 при s = |
1, . . ., r0. |
|||||||||
Функции (28.3) |
при s |
= |
1, . . ., r0 |
в диапазоне значений |
|||||||||
(28.13) |
(при crs Ф 0) |
удовлетворяют условиям (28.11), |
по |
||||||||||
этому |
Ф8 (— Оз) |
0, |
Ф8 (as) > 0 |
и |
Ф° |
0. |
Функции |
||||||
Ф8 |
(crs) |
являются непрерывными и Ф3 (0) |
= 0. |
Координа |
|||||||||
ты точек X (0), лежащих достаточно близко к началу коор динат, удовлетворяют неравенствам (29.29), (29.30). Следо вательно, множество R не пусто.
16*
244 |
ОБЛАСТИ ПРОТЯЖЕНИЙ |
[ГЛ. III |
|
При изменении аргумента 0 S от значения —а3 до О |
|
функция Ф8 (as) монотонно убывает от значения Ф„ (—os) |
||
j> |
0 до значения Ф3 (0) = 0. При изменении аргумента as |
|
от 0 до значения o s функция Ф3 (о5) монотонно возрастает
от 0 |
до значения Ф8 (os) |
0. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Докажем следующую лемму. |
|
|
|
а (t) < |
|
||||||
|
Лемма |
1. |
Если |
х (0) e ^ , |
то |
— os < |
as |
|||||
(s |
= |
1, . . |
г0) при всех значениях t > |
0. |
|
|
|
|||||
|
Предположим, что при некотором начальном состоя |
|||||||||||
нии |
X (0) е= R |
существует такое |
значение 1 |
|
r0 |
|||||||
и |
Т > |
0, |
что |
— о! < |
о* (<) < |
o', (s = |
1, . . |
г0) при |
||||
0 < |
t < |
Т и o Sl (Г) = |
— 0з,либо 0 Sl (Г) = |
0Sj. |
|
|
||||||
|
Из выражений (28.11) и (29.26) следует, что І а[Т, z(0)] > |
|||||||||||
> 0 |
при |
s = 1, . . ., |
г0. |
Тогда из неравенств |
(29.28) |
и |
||||||
(29.30) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 9 .ф .[в л л і< ? ° ф °-
S = 1
Поскольку qs > 0 (s = 1, . . ., г0), постольку с учетом обозначений (29.31), (29.32) получаем
Ісгв (Г)] < min [Ф8 (— о;), Ф8 (Оз)],
(s = 1, • • ., г0).
Отсюда, опираясь на свойства функций Ф8 (os), заключа ем, что — 0s < 0S (Т) С o's (s = 1, . . ., г0), а это проти воречит предположению. Лемма доказана.
Изменим функции cps (os) (s = 1, . . ., г0) вне интерва лов (28.13) так, чтобы они удовлетворяли неравенствам (28.11). Тогда получим новую вектор-функцию и = Ф (о), удовлетворяющую условиям (28.11) при всех значениях
0^ = 0. Система (1.1), (28.2) |
при и = ф (о) удовлетворяет |
|||
всем условиям теоремы В. |
М. Попова, |
и поэтому явля |
||
ется устойчивой «в целом». |
Из леммы 1 |
вытекает, что при |
||
X (0) ее R решение системы (1.1), |
(28.1), (28.2) совпадает |
|||
с решением системы (1.1), |
(28.2) |
при и = ф (о). Отсюда |
||
следует, что R d |
G, т. е. множество R является областью |
|||
гарантированной |
асимптотической |
устойчивости системы |
||
(1.1), (28.1), (28.2).
Итак, можно сформулировать следующую теорему.
2] |
ПРИМЕНЕНИЙ КРИТЕРИЯ В. М. ИоІІОВА |
245 |
Теорема 29.1. Если начальное состояние х (0) удовлет воряет условиям (29.29) и (29.30), то система (1.1), (28.1), (28.2) асимптотически устойчива.
Анализируя соотношения (29.29) — (29.32), можно за метить следующее. Если вектор х (0) удовлетворяет нера венству (29.30), то он удовлетворяет неравенствам
Ф8 [csx (0)] < min [0>s (— o'); Ф8 (о,)] |
(29.33) |
l<s<r„
(S= 1, . . . ,Г0).
Точки X (0), лежащие на границе множества (29.29), не удовлетворяют условиям (29.33). Следовательно, гранич ные точки области R обращают в равенство соотношение (29.30), т. е. граница области R описывается равенством
г |
с» |
2 |
Iе*х (°)і + 2^ Si ^ F ° (ia ))и2 dco = ?0ф0- (29-34) |
=1 |
0 |
Вообще говоря, могут существовать точки х (0), удовлет воряющие неравенству (29.30), но лежащие вне множества (29.29) . Эти точки не принадлежат области R (это не зна чит, что они не принадлежат области G). Неравенства (29.29) «участвуют» только в «отсечении» этих точек. Не посредственного «участия» в построении границы (29.34) множества R эти неравенства не принимают.
Всюду выше предполагалось, что все диагональные элементы матрицы q положительны, причем это предполо жение использовалось при доказательстве теоремы 29.1. Допустим теперь, что система (1.1), (28.1), (28.2) удовлет воряет всем перечисленным в § 28 условиям, но при этом среди элементов qs есть отрицательные. Можно, не ограни чивая общности, предполагать, что отрицательными яв
ляются первые г' |
0 диагональных элементов. Итак, бу |
|
дем предполагать, что qs <С 0 (s = 1, . . ., r'), где 1 |
г' |
|
г. В этом случае непосредственно к системе (1.1), |
(28.1), |
|
(28.2) нельзя применить теорему 29.1. Покажем, однако, что с помощью некоторого преобразования систему можно привести к такому виду, что применение к ней теоремы 29.1 становится возможным.
Введем новую векторную переменную и, с помощью соотношения
й = Кз + Еги, |
(29.35) |
246 |
ОВЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ |
[ГЛ. Ill |
где К есть матрица, у которой первые г' диагональных элементов равны ks, а остальные элементы равны нулю; Ег — матрица, отличающаяся от единичной матрицы Ег тем, что первые г' диагональных элементов у нее равны —1. Матричное соотношение (29.35) эквивалентно следую щей системе скалярных соотношений:
|
us — ksas |
us |
при |
s = 1,. . . , |
(29.36) |
||||
|
iis — |
|
|
при |
s — г' + 1 |
||||
|
|
|
|
||||||
Разрешая соотношение (29.35) относительно перемен |
|||||||||
ной и, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и = |
Ко + |
Егй, |
|
(29.37) |
||
поскольку Er1 = Er, |
Er1 К = |
— К. |
|
||||||
Учитывая преобразование (29.37), вместо уравнений |
|||||||||
(1.1), (28.1) запишем следующие уравнения |
|
||||||||
|
|
= |
(А + |
ВЕС) X + |
ВЕгй, |
(29.38) |
|||
|
и = |
Ф(б), |
|
|
|
(29.39) |
|||
где новая нелинейная функция |
|
|
|
||||||
|
|
Ф (б) = |
Ко Егу(о). |
(29.40) |
|||||
Покажем теперь, что новая система (29.38), (29.39) |
|||||||||
(28.2) |
удовлетворяет сформулированным в § 28 условиям. |
||||||||
В соответствии с теоремой В. М. Попова, исходная си |
|||||||||
стема асимптотически устойчива при и = Ко, |
следова |
||||||||
тельно, |
система |
(29.38) |
асимптотически устойчива при |
||||||
и = 0, |
т. е. собственно-устойчива. |
|
|
||||||
Матричное соотношение (29.40) эквивалентно системе |
|||||||||
скалярных соотношений вида (29.36) |
|
||||||||
Ф4 (б.) = kaos—ф, (б4) |
при s = |
1,. . ., г' |
(29.41) |
||||||
Фз (ба) = ф8 (б3) |
|
|
|
при S = |
г' + 1, . . ., г. |
||||
|
|
|
|
||||||
Функции (29.41) |
удовлетворяют |
неравенствам |
(28.11) |
||||||
в соответствующих диапазонах значений os. |
|
||||||||
Из выражений (28.6), |
(29.37) имеем |
|
|||||||
- 2 ( P ) = W (р) U(p) = W (р) [К2 (р) + Erü (р)].
2] |
ПРИМ ЕНЕНИЕ КРИ ТЕРИ Я В. М. ПОПОВА |
247 |
Отсюда получаем
— 2 (р) = W (р) О (р),
где передаточная матрица W (р) новой системы имеет вид
W (р) = [Er -\-W (р) R]-'W (р) Ет. |
(29.42) |
Для новой системы введем новые функции G (р) и Я (р) такого вида:
G (р) = {Ег + pq) W (р) + К -1, |
(29.43) |
Д(р) = 0(р) + &(р), |
(29.44) |
где матрица W (р) определяется соотношением (29.42), а q = qEr. У матрицы q уже все диагональные элементы положительны.
Для того чтобы показать, что для матрицы Я (р) вы полняются условия вида (28.10), докажем следующее мат ричное равенство:
L (іа) Я (іа) L* (ko) = Н (іа), |
(29.45 |
где |
|
L (іа) = (Er iaq) [Ег Д- W (іа) К) (Ег Д- icof)-1. |
(29.46) |
Выкладки, необходимые для доказательства равенства (29.45), будем проводить не очень подробно.
Из соотношений (29.42) — (29.44), (29.46) получаем
L(іа) Я (іа) L* (іа) =
=(Ег Д- iaq) W (ia) Ër (Er — ІС07)-1 [Er Д- KW* (ico)J x
X (Er — iaq) Д- (Er + iaq) [Em + W* (ia) R] X
X(Er + iaqyLËrW* (ia) (Er — iaq) Д-
+L(ia)2K~1L*(ia). (29.47)
Пользуясь определением матриц К, Ег и q, можно установить следующие равенства:
(Ег Д- iaq)'12К~г (Ег — iaq)~x =
= 2К~г \(ЕГ— iaq) (Ег Д- iaq)]'1 = 2К '1 (Ег Д- со2д2)-1 = = 2К~г [(Ег — iaq) (Er -f tcog)]-1 =
=\(ЕГД- iaqy^K r1 (Ег — iaq)-1, R 2 K ' 1 = ЕТ— Ег.
248 |
|
ОБЛАСТИ П РИ ТЯ Ж ЕН И Я |
[ГЛ. m |
Пользуясь |
этими равенствами, последнее |
слагаемое |
|
в выражении (29.47) запишем в виде |
|
||
L (Ію) 2К^ТУ (ia>) = |
|
||
= 2К'1 + |
{Er + iwq) W (ico) (£V — i?r) (2?r + |
icog)-1 + |
|
+ |
(Er — іщУ1 (Er — Er) W r (ico) (Er — іщ) + |
||
-f- (Er + |
іщ) W (ico) (2?r — £ r) (Er -f- aPq^^RW* (ico) X |
||
|
|
X{Er — іщ). (29.48) |
|
Суммируя первое слагаемое в выражении (29.47) со вто~ рым слагаемым в выражении (29.48) и пользуясь тем, что
(Ет— Ег) {Ег + іщУ1 = (Ет— Ег) (Ет— іщ У 1,
получаем выражение
(Ег + іщ) W (ico) {Er {Er — іщ У 1 [Er + Rw* (ico)] X
X |
(Er — іщ) + (Er |
— Er) {Er + іщ)_1у = |
— {Er + |
іщ) W (ico) {ET+ |
Er {ET— іщ У 1 RW* (ico) x |
|
|
X {Er — icog)}. (29.49) |
При суммировании второго слагаемого из (29.47) и третьего слагаемого из (29.48) получается выражение, со пряженное по Эрмиту выражению (29.49)
[Ет+ {Ет+ іщ) W (ico) R {Er + i(07)_1£'r} W* (ico) {Er — icog).
(29.50)
Соотношение (29.47) с учетом выражений (29.48) —
(29.50) |
принимает вид |
L (ico) R (ico) L* (ico) = H (ico) + {Er + іщ) W (ico) x |
|
|
X {Er {Er —- icoqy'-R + R {Er + іщ У 1 Er + |
+ |
{Er - Er) {Er + соУДН?} W* (ico) (Er — іщ). (29.51) |
Для доказательства соотношения (29.45) достаточно дока зать, что в выражении (29.51) матрица, заключенная в фи гурные скобки, равна нулю. Для доказательства этого факта нужно показать, что первые г' диагональных эле ментов этой матрицы равны нулю. Вычисляя эти элемен ты, получаем2
1 + tog |
1- іщ + |
2к. |
= 0 . |
|
ü>yg |
||||
|
2] ПРИМ ЕНЕНИЕ КРИ ТЕРИ Я В. М. ПОПОВА 249
Таким образом, равенство (29.45) доказано.
Из условий (28.10) следует существование такого чис ла е )> 0, что диагональные элементы матрицы Н (іо)
при всех значениях ю > 0 больше е, т. |
е. |
(1 + ioqs) ir 5S (io) + (1 — ioqs) PFSS (io) + |
> e. (29.52) |
В [2] (стр. 69) показано, что если qs < 0 , то из неравенства (29.52) следует неравенство ks < оо. Следовательно, все элементы матрицы К конечны. Из свойств матрицы W (р) вытекает, что все элементы матрицы W (іа) R конечны при 0 < с о < о о . Тогда det ||Er + W (tea) R || не обращается
в бесконечность ни при каком значении 0 ^ ю |
оо. |
||||
Система |
(29.38) |
при |
й = |
0 асимптотически ус |
|
тойчива, |
поэтому |
ее |
характеристический |
полином |
|
det I Ет+ |
W (г со) R || |
ни |
при |
каком значении 0 ^ |
|
^ оо не обращается |
в нуль. |
Из выражения (29.46) заклю |
|
чаем, что det L (іо) |
при 0 |
о ^ оо |
не обращается ни |
в нуль, ни в бесконечность. |
Тогда из |
выражения (29.45) |
|
следует, что существует такое число б^> 0, при котором матрица й (р) удовлетворяет условиям вида (28.10).
Таким образом, показано, что система (29.38), (29.39), (28.2) удовлетворяет всем условиям § 28; при этом эле менты qs матрицы q положительны. Следовательно, к этой системе применима теорема 29.1.
§ 30 . Случай одной нелинейности в систем е
Рассмотрим случай, когда в системе (1.1), (28.1), (28.2) присутствует только одна нелинейная функция, т. е. когда г = 1 (индекс s всюду ниже опустим).
Функции G (р) и Н (р) (28.8) и (28.9) при г = 1 имеют вид
G (р) = (1 + рд) W (р) + ,
н (р) = (1 + ря) w (р) + (1 + РЯ) W(p) + -у .
Условие (28.10) принимает вид
Н (іо) = (1 + ioq) W (io) |
(1 — ioq) W ( — i o ) + — |
= |
= 2 Re (1 + |
ioq) W (io) -f- |> 6. |
(30.1) |
250 |
ОБЛАСТИ П РИТЯЖ ЕНИЯ |
[ГЛ. II |
Неравенство (30.1) имеет наглядную геометрическую интерпретацию [2]. Введем в рассмотрение видоизменен ную частотную характеристику Попова Wa {со) равенст вом
\Ѵ ° Ы = X |
(со) + |
іУ (со), |
(30.2) |
где |
|
|
|
X (и) = Re W (г со), |
Г(со) = |
со Im IF (гео). |
(30.3) |
В обозначениях (30.3) неравенство (30.1) записывается так;
X(G))-?r(co) + ^ L > 4 - . |
(30.4) |
Это неравенство означает, что характеристика (30.2), по строенная в плоскости XY, расположена целиком справа от прямой
|
|
|
X - q Y + - ± r |
= 0. |
(30.5) |
Прямая |
(30.5) |
проходит через |
точку (— 1/к, |
0) (при |
|
к = |
оо — через |
начало координат), угловой коэффици |
|||
ент |
этой |
прямой 1 /q. |
|
|
|
Передаточная функция W (р) есть дробно-рациональ ная функция аргумента р, причем эта дробь является правильной. Все полюсы функции W (р) вследствие предпо ложения (28.5) лежат слева от мнимой оси комплексной
плоскости р. |
Из сказанного следует, что видоизмененная |
|||
частотная характеристика W0 ( со) занимает при 0 ^ |
со < |
|||
< оо конечную часть плоскости X Y [2]. Следовательно, |
||||
существуют такие значения к |
0 и q )> 0, при которых |
|||
характеристика W0 (со) лежит правее прямой (30.5). |
Пря |
|||
мая (30.5), а значит, |
и величины к и q могут быть найдены |
|||
графически |
после |
построения |
характеристики W0 (со). |
|
Выбор величин к и q, очевидно, неоднозначен. При най
денных значениях к и q выполняется условие (30.4), |
а зна |
||
чит, и (30.1) |
|
|
|
После определения величины к нужно определить зна |
|||
чения о' )> 0 и о" )> 0 так, |
чтобы при и ^ б и при |
|
|
- а ' |
< |
о < ст" |
|
имело место неравенство |
|
|
|
о < |
Ф(з) < к . |
(30.6) |
|
|
<5 |
|
|