книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

женив в этой формуле является непрерывной функцией аргументов ц и т. Область интегрирования Es (Т, %0) состоит из конечного числа интервалов (см. соотношение (5.13)), принадлежащих отрезку [О, Т]. Концы этих интервалов зависят непрерывно от величин Т и %0. Вели­ чина Хо> определяемая уравнением (5.16), зависит не­ прерывно, как нетрудно показать, от аргументов ц и Т.

Из сказанного вытекает непрерывность зависимости величины (5.17) от аргументов ц, Т и справедливость леммы.

Лемма 2. Если точка х ф. Qs (Т°), то существует такое значение Г(1) Т°, что x ^ Q s (T^).

Множество Qs (Т°) — замкнутое (§ 2, свойство 4Ь),

поэтому оно описывается неравенствами (2.7). Поскольку точка x ^ Q s (Т°), постольку существует вектор ц такой, что имеет место неравенство

х\х d (ц, Т°).

В соответствии с леммой 1, расстояние d (ц, Т) зависит непрерывно от величины Т , следовательно, существует такое значение ТЫ Т°, что выполняется неравенство

существует оптимальное по времени управление, перево­ дящее систему (2.2) из состояния х (0) в начало координат.

ЕЕ Qs (Т), ограничено снизу, поэтому существует нижняя грань этих значений, которую обозначим через Т°.

Покажем, что х (0) ее Qs (Т°). Если х (0) ф Qs (Т°),

то, в соответствии с леммой 2, существует такое значение ТЛИ Т°, что X (0) (?É Qs (ТЫ). Это противоречит, одна­ ко, определению величины Т° как нижней грани значений Т, при которых X (0) ЕЕ Qs (Т).

Из определения области достижимости Qs (Т) следует, что за время Т° систему (2.2) можно привести в начало

1] ОГРАНИЧЕННЫЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ СИЛЫ 133

координат из состояния х (0) GE Qs (Т°) с помощью допу­

Леммы 1 и 2 имеют, очевидно, место и для системы (1.1), поэтому доказанная теорема существования спра­ ведлива также и для этой системы.

При доказательстве теоремы существования исполь­ зовались, по существу, два обстоятельства: непрерывная зависимость расстояния d ( ц, Т) от аргумента Т и зам­

кнутость области достижимости Q\ (Т). Эти обстоятельства имеют место также и в случае, когда присутствует только ограничение (1.2), т. е. в случае тп = 1. Поэтому наличие ограничения (1.4) никаких специфических особенностей в доказательство теоремы существования не вносит. Иначе обстоит дело при исследовании вопросов единствен­ ности оптимального управления. При этом исследова­ нии наличие ограничения (1.4) вносит специфические особенности, проявляющиеся в том, что граница области

Ql (Т), в отличие от области (Г), имеет плоские участки

Ps (Г) и —Р а (Т).

Прежде чем доказать теорему единственности опти­ мального управления для системы (2.2), докажем несколь­ ко лемм. Будем считать при этом, что система (2.2) впол­ не управляема (это не ограничивает общности рассуж­ дений).

Лемма 3. Если х является внутренней точкой области Qs (Т°), то существует такое значение Г(1><; Т°, что точка X будет внутренней для области Qs (Г(1)).

Точка X, будучи внутренней точкой области Qs (Т°), удовлетворяет строгим неравенствам

I х\х |< d (г), Т°)

при всех векторах ц S. Вследствие непрерывной за­ висимости расстояния d (у), Т) от величины Т, для вся­ кого вектора ()'е 5 существует такая величина Т (т]')<< < Т°, что

I У\'х |< d (Т)', Т (ц')).

Вследствие непрерывности зависимости расстояния d (ц, Т) от аргумента ц, у точки ц' существует такая

окрестность S (rj'), что для всех точек г[ SE S (г|') имеет мес­ то неравенство!

I цх |< d (ц, Т (Т]')).

Расстояние d (ц, Т) является неубывающей функцией величины Т, поэтому для всех точек ц ££ S (ц') и всех значений Т !> Т (ц') имеют место неравенства

< Т° и окрестность S (p'), обладающие указанными выше свойствами. Сфера S компактна, поэтому из бесконечного числа окрестностей S (т)'), покрывающих сферу S, выде­ лим конечное число окрестностей S (%), . . S (тр), по­ крывающих эту сферу. Для каждой окрестности S {цк) существует свое значение Т (тіь)<^ Т° (к — 1, . . ., I). При этом для всех точек ц 6Е S (р k) имеют место неравен­

I цх [ < d (р, Т^і).

Лемма доказана.

Из леммы 3 следует лемма 4.

Лемма 4. Точка х (0) принадлежит границе области достижимости Qs (Т°) (х (0) 6Е Г8 (Т0)).

*(0) е= Qs (Т).

Вслучае, когда уравнение (3.1) имеет нулевой корень,

а система (2.2) является вполне управляемой, граница

плоский участок P s (Т) размерности п — 1. Докажем лем­ му 5, относящуюся к этому случаю.

li ОГРАНИЧЕННЫЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ СИЛЫ 135

Лемма 5. Если точка х является внутренней для мно­

Теорема 15.2. Если начальное состояние х (0) системы (2.2) принадлежит области управляемости, то управ­ ление, приводящее систему в начало координат за мини­ мально возможное время Т°, является единственным.

(из рассмотрения формулы (1.6) видно, почему здесь

приводит систему (2.2) из состояния х (0) в начало ко­ ординат за время Т°, максимизирует, очевидно, интеграл (2.10), в который подставлены значение Т = Т° и вектор г), ортогональный плоскости П3 (rj, 710). Могут возникнуть два случая:

x}e~Azbs ф: const и vte~Mbs = const Ф 0.

В первом случае существует, как показано в § 5, единственное (с точностью до значений на множестве ме­ ры нуль) управление вида (5.12), максимизирующее ин­ теграл (2.10). Если матрица А не имеет нулевого собствен­ ного значения, то r\ë~A'tba ф const ни при каком векторе

ремой 14.2, граница Г8 (Т°) имеет при этом два плоских

Qs (Т°) и через нее можно провести такую опорную гипер­ плоскость П8 (г), Т°), для которой r\e~Mbs ф const. При этом векторе ц существует единственное управление, максимизирующее интеграл (2.10). При условии Т° ф xn+s/Msтеорема доказана. Если начальное состояние а: (0) таково, что Т° ф xn+s/Ms, т. е. ограничение (1.4) для этого начального состояния не играет роли, то область QS(T°) — строго выпуклое множество и доказательство единст­ венности оптимального управления не вызывает никаких

трудностей.

Из теоремы 15.2 следует, что оптимальное по време­ ни управление us (т, %0) для системы (2.2) описывается формулой (5.12). Эта формула дает возможность судить о структуре оптимального управления. В качестве допу­ стимых управлений при постановке задачи быстродей­ ствия были приняты измеримые функции времени. Однако оптимальное управление, как видно из выражения (5.12), представляет собой кусочно-непрерывную функцию, что является важным с прикладной точки зрения.

При наличии только ограничения (1.2) оптимальное управление принимает два значения — M s и M s. В отли-

1] ОГРАНИЧЕННЫЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ СИЛЫ 137

чие от этого, при наличии двух ограничений (1.2), (1.4) оптимальное управление (5.12) принимает три значения

— M s, 0, Mg. Задача синтеза состоит в разбиении простран­ ства Х п+1 поверхностями переключения на области, в которых управление принимает соответствующие зна­ чения.

При наличии только ограничения (1.2) имеет место теорема А. А. Фельдбаума об п интервалах постоянства оптимального по быстродействию управления в системе (2.2) [7, 9, 47, 53]. Покажем, что при наличии ограниче­ ний (1.2) и (1.4) имеет место теорема о 2п интервалах по­ стоянства оптимального управления (п — порядок си­ стемы).

Теорема 15.3. Если все собственные значения матри­ цы А действительны, то оптимальное управление us (т) в системе (2.2) при всех начальных условиях имеет не бо­

ление us (т) имеет не более 2п интервалов постоянства.

Для любого начального состояния х (0) существует такая опорная гиперплоскость П„ (ц, Т°), проходящая

функции ф (т). Обозначим через m число точек на отрезке [0, Г0], в которых равна нулю производная ф' (х). Если все собственные значения матрицы А действительны, то

пример, рис. 1(3.1—16.3). При этом множество Gs (Т°, %0), на котором иа (т, %о) = 0, состоит не более, чем из га отрезков. В случае К п это утверждение тем более спра­ ведливо. Теорема доказана.

Рассмотрим, например, уравнение первого порядка

Х у = — Х у + и.

Нетрудно показать, что для достаточно удаленных от нуля точек Х у (0) оптимальное управление имеет ровно

два интервала постоянства. Что касается, например, си­ стемы второго порядка (16.2), рассматриваемой в § 16, то для нее при всех начальных условиях число интервалов постоянства не превосходит трех.

При наличии только ограничения (1.2) дело обстоит иначе. Для любой вполне управляемой системы (2.2) с действительными собственными значениями существуют начальные состояния, при которых оптимальное управ­ ление имеет ровно п интервалов постоянства [53]. Следо­ вательно, между теоремой об п интервалах в случае ограничения (1.2) и теоремой о 2п интервалах в случае ограничений (1.2), (1.4) нет полной аналогии.

Перейдем теперь к вопросу о построении оптимального управления для системы (1.1). Будем предполагать, что система вполне управляема (р = п). Теорема единствен­ ности оптимального управления для этой системы не имеет места как при наличии ограничений (1.2), (1.4), так и при наличии только ограничения (1.2). В системе (8.20) при начальных условиях хг (0) = х3, х2 (0) = 0, например, оптимальное по времени управление не явля­ ется единственным.

1] ОГРАНИЧЕННЫЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ СИЛЫ Ш

предполагать, что

в начало координат из состояния х (0) за время Т°, мак­

ортогональный построенной плоскости П (т^, Т°). Могут возникнуть два следующих случая.

1.Существует хотя бы одно значение индекса s, при котором максимизирующее управление us (т) определяется однозначно.

2.При всех значениях s = 1, . . ., г максимизирующее управление однозначно не определяется.

Рассмотрим сначала второй случай. Искомые управ­ ляющие функции максимизируют интегралы (2.10), од­ нако не всякая максимизирующая функция (если таковых более, чем одна) является искомой. Второй случай может возникнуть только тогда, когда матрица А имеет нуле­ вое собственное значение. При этом вектор цх является решением системы (14.19); для него имеют место усло­

действия удовлетворяет неравенству Т° Гг(1), где TrW определяется формулой (14.21). Граница Г (Г°) имеет

имеет место второй случай.

Можно показать, что для множества Р (Т°) имеют ме­ сто леммы 5 и 6. Доказываются эти леммы так же, как и для множества P s (Т°). Тогда точка —х (0) принадлежит

ставиться первый либо второй случай. Предположим, что для него имеет место второй случай. Тогда точка —х (0) принадлежит множеству, лежащему на многообразии размерности R — 1, и, в соответствии с леммой 6, при­ надлежит границе этого множества. В соответствии с тео­

санные выше рассуждения дальше и предполагая, что каждый раз после построения нового линейно независи­

(к = 1, . . ., п), для каждого из которых имеют место соотношения

. . ., п) линейно независимы, поэтому для всякого зна­ чения индекса s найдется такой вектор что г)hbs Ф 0