книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

3] О СИНТЕЗЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 201

параметров системы (22.1):

ответствии с теоремой Фельдбаума о числе переключе­ ний в системе с действительными собственными значения­ ми [47, 53], оптимальное управление в системе (22.1) чет­

причем и = + 1 при 0 ^ т <( т4. Значение и = + 1 соот­ ветствует «установке рулей высоты на подъем аппарата». При определении моментов переключения использовались некоторые физические соображения. Эти соображения свя­ заны с тем, что высота ххи ее производная ххявляются так

называемыми «медленными» переменными системы (22.1), а угол атаки х3и угловая скорость тангажа х4 — «быстрые» переменные системы. Поэтому первые два интервала по­ стоянства управления (и = + 1, и = — 1), которые, гру­ бо говоря, необходимы для приведения в нуль медленных переменных, являются длинными (см., например, (22.6)), а два вторых интервала являются короткими. Указанные об­ стоятельства значительно облегчают поиск моментов пере­ ключения управления.

= х2— х3 —0. Такое управление найти легко, поскольку здесь требуется перебор только одного параметра хх. Най­

денное значение хх оказывается близким к значению т,. При исследовании на АВМ обнаруживается, что для всех начальных состояний х (0) е при оптимальном управлении значение хх(т2) регулируемой переменной в момент второго переключения близко к желаемому хх — 0. При этом производная хх{х2) также близка к нулю. При

хх (0) = — 1, например, хх (5,60) = — 0,01. Это обстоя­ тельство связано с тем, что время т2 второго переключения при всех начальных условиях х (0) ЕЕ Ѵх близко ко вре­ мени Т° окончания процесса приведения (см., например, (22.6)).

Близость величин хх(т2) и хх(т2) к нулю наводит на мысль отказаться от второго и третьего переключений и, вместо них, переключать, когда величина хх(т) становится близкой к нулю, систему управления на закон стабилиза­ ции. Приведенные ниже результаты оправдывают такой способ синтеза системы управления.

Отказ от осуществления второго и третьего переключе­ ний облегчает решение задачи синтеза, поскольку при этом не нужно производить построение частей поверхности пе­ реключения S , соответствующих этим переключениям.

Многообразие S x (верхний индекс будем опускать), соответствующее первому (и единственному) переключе­ нию, аппроксимировалось с помощью одной гиперплоско­ сти Пг. Уравнение этой гиперплоскости определяется сле­ дующим образом. При начальных условиях х%(0) = хъ(0) =

хх первого переключения оптимального управления и (т). Эти четыре значения выбраны на отрезке [— 1; — 0, 5] через равные интервалы, в остальном выбор произволен. Решая систему (22.1) при и (т) = 1 (и (т) = -\- 1 при

После определения на АВМ фазовых координат четырех точек X (т4) ЕЕ S i на ЦВМ решалась система четырех ли­ нейных алгебраических уравнений для определения коэф­ фициентов к1 -г- кл плоскости П4, проходящей через четыре найденные точки. Эти коэффициенты имеют следующие значения:

кх = -0,001359; /с2 = 0,01694; к3 = -0,007708; ft* = -0,001580.

Как показывает решение уравнений (22.1) при и = -f-1 на АВМ, для всех начальных состояний х (0) ЕЕ Ѵх при 0 ^ X <4 Tj имеет место неравенство

При значениях сх — 5, с2 = 0,5, с4 = 2, которые были по­ добраны на АВМ, решение х = х' системы (22.1), (22.7) асимптотически устойчиво. В четвертой главе рассматрива­ ется теоретически вопрос о выборе коэффициентов с;, при

которых имеет место асимптотическая устойчивость. При переключении на закон стабилизации (22.7) система управ­ ления работает в скользящем режиме, регулируемая пере­ менная хх(т) при этом стремится к нулю.

Исследование на АВМ показывает, что при всех на­ чальных условиях X (0) Gr Ѵу значения регулируемой пере­ менной хх в моменты времени Т° (х (0)) удовлетворяют не­ равенству IХу (Т°) I <( 0,01. Следовательно, отклонение

Рис. 22.3.

регулируемой переменной от желаемого состояния в мо­ мент Г0 составляет меньше 2% начального отклонения этой переменной.

На осциллограммах (рис. 22.2, 22.3) изображены пере­ ходные процессы в системе для двух значений начальной

зящем режиме переменная и колеблется с высокой часто­ той, поэтому эти колебания не видны на осциллограммах.

— — 0,02 на закон стабилизации (22.7), является близким к оптимальному по быстродействию.

Описанный в настоящем разделе способ синтеза управ­ ления, близкого к оптимальному, не обоснован строго ма­ тематически. Однако его можно использовать в инженерной практике при проектировании некоторых систем автомати­ ческого регулирования.

ГЛАВА III

ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ РЕГУЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ

1. СИСТЕМЫ С ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕСУРСАХ УПРАВЛЕНИЯ

Впервой главе для системы (1.1) рассматривалась зада­ ча построения области управляемости, т. е. множества со­ стояний фазового пространства, из которых система (1.1) за конечное время может быть приведена в начало коорди­ нат с помощью допустимого управления и (т). В качестве допустимых управлений при этом рассматривались все­ возможные функции времени, удовлетворяющие неравенст­ вам (1.2)—(1.4), порознь, а также различным их сочета­ ниям. Таким образом, в первой главе рассматривались разомкнутые системы управления.

Система (1.1) является замкнутой, если в ней организо­ вана каким-то образом обратная связь, т. е. управление является определенной функцией фазовых координат и =

=и (X). Если на сигнал обратной связи и наложены ограни­ чения (1.2)—(1.4), то множество точек фазового простран­ ства, из которых замкнутая система регулирования прихо­ дит за конечное время в начало координат, принадлежит области управляемости и составляет, вообще говоря, часть ее. Следовательно, область управляемости оценивает «сверху» указанное множество точек.

Внастоящем разделе рассматривается система (1.1) с обратной связью, сформированной по линейному закону и подчиняющейся условиям (1.2), (1.3) или (1.4). Спомощью линейной обратной связи система (1.1) может быть приве­ дена в начало координат только асимптотически. Множест­ во состояний фазового пространства, из которых система асимптотически приходит в начало координат, называется

областью притяжения. Эта область принадлежит расши­ ренной области управляемости системы (1.1) (см. § 10).

Задача построения области притяжения является важ­ ной в теории автоматического управления [376]. Построе­ ние этой области позволяет оценить качество системы регу-

1] ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ 207

лирования. С помощью расширенной области управляе­ мости можно оценить «сверху» область притяжения регулируемой системы.

В настоящем разделе рассматривается [55з] вопрос о построении области притяжения для системы с линейной обратной связью, подчиняющейся условиям (1.2), (1.3) или

(1.4) (т = 1, 2, 4).

§ 23. Формулировка задачи

Будем предполагать, что система (1.1) содержит только один управляющий параметр, и запишем ее в виде

где Ъ — матрица-столбец типа (п х 1). Система (2.2), так­

же содержащая только один управляющий параметр, от­ личается от системы (23.1) только тем, что в последней опущен индекс s.

Пусть управление зависит линейно от фазовых коор­

Будем предполагать, что управление (23.2) удовлетво­ ряет одному из трех условий (1.2), (1.3) или (1.4) (т = 1, 2, 4). При условии (1.2) для управления имеет место сле­ дующее аналитическое выражение:

Зависимость (23.3) показана графически на рис. 23.1. При условиях (1.3) и (1.4) для управления получаются

Условие (23.6) означает, что нулевое решение системы

(23.1), (23.2), т. е. системы

асимптотически устойчиво.

Заметим, что если система (23.1) вполне управляема, то всегда существует матрица с, для которой выполняются условия (23.6) [29]. Система (23.1) при каждом из управле­ ний (23.3)—(23.5) имеет тривиальное решение х = 0, т. е. начало координат является состоянием равновесия си­ стемы. Всюду ниже речь идет об устойчивости равновесия X = 0 в смысле Ляпунова [58].

Множество начальных состояний а; (0), при которых си­ стема (23.1) с управлением (23.3), (23.4) или (23.5) асимпто­ тически устойчива, будем обозначать через G1, G2 или G4 соответственно. Если область притяжения Gm — Х п, то

1] ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ 209

система (23.1) с соответствующим управлением называется устойчивой «в целом».

В случае, когда хотя бы одно из собственных значений матрицы А имеет положительную действительную часть, область управляемости Qm (т = 1, 2, 4) системы (23.1) при каждом из ограничений (1.2)—(1.4), в соответствии с теоремами 7.1 и 8.1, занимает частъ фазового пространства.

Расширенная область управляемости Ѵт в этом случае также занимает лишь частъ пространства Х п. Область Gm а d Vm (т = 1,2, 4), следовательно, в этом случае система (23.1) при каждом из управлений (23.3) — (23.5) не явля­ ется устойчивой «в целом».

Если система не является устойчивой «в целом», то воз­ никает задача о построении области притяжения Gm. Эта задача рассматривается в следующих параграфах; при этом для системы (23.1), (23.3) (при т = 1) удается по­ строить только достаточную область притяжения.

Внастоящем параграфе рассматривается система (23.1)

суправлением (23.3).

Из условия (23.6) следует [58], что существует такая определенно-положительная функция

где V = V* (звездочка означает транспонирование), что полная производная ее по времени в силу системы (23.8) является определенно-отрицательной функцией. Полная производная функции V (х) в силу системы (23.1), (23.3) имеет вид

где управление и определяется формулой (23.3). Введем обозначения:

S~ = {х : сх ^ — М},

S = {ж : I сх I М },

S+ = {х : сх > М).

Тогда в области S~ выражение (24.2) приобретает вид

В области S имеем

В области 5+ получаем

Функция (24.4) в силу сказанного, является опреде­ ленно-отрицательной.

Значения функций (24.3) и (24.4) совпадают на гипер­ плоскости П~, разделяющей области S~ и S. Значения функций (24.4) и (24.5) совпадают на гиперплоскости П+, разделяющей области S и S+ .

Значения функций (24.3) и (24.5) совпадают в точках X ЕЕ Х п, симметричных друг другу относительно начала координат. Если функция (24.3) определенно-отрицательна

вобласти S~, то функция (24.5) определенно-отрицательна

вобласти S+ . При этом система (23.1), (23.3) является устойчивой «в целом». В этом случае уравнение

не имеет решений в области S~.

Предположим теперь, что уравнение (24.6) имеет реше­ ние в области S~.

Уравнение (24.6) описывает в пространстве Х п поверх­ ность второго порядка. На гиперплоскости П~ нет, оче­ видно, точек, удовлетворяющих уравнению (24.6), т. е. плоскость П" не пересекается с поверхностью (24.6). На­ чало координат принадлежит поверхности (24.6). Таким образом, по обе стороны от плоскости П~ есть точки, при­ надлежащие поверхности (24.6), следовательно, поверх­ ность (24.6) имеет две полости. Одна из этих полостей ле­ жит целиком внутри области S~, другая содержит начало координат. Отсюда вытекает, в частности, что поверх­ ность (24.6) представляет собой двуполострый гиперболоид