книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

1] ОГРАНИЧЕННЫЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ СИЛЫ 121

производная (14.9) тождественно равна нулю. Тогда для любого вектора г\ Ф О должно выполняться тождество

Тождество (14.10) имеет место только в том случае, когда функция т\e~Axbs является периодической с периодом XnJM». Для вектора ц = ц0 тождество (14.10) выполня­ ется, поскольку тfe~Axbs = const. Пусть теперь ц ф ц0.

Обозначим через Аг такие матрицы А третьего порядка, которые имеют однократное нулевое собственное значение и пару однократных чисто мнимых собственных значений

xn+s

Если спектр матрицы Л отличается от спектра матрицы Ах, т. е. А Ф Ах, то, как видно из выражения (3.3), су­ ществует вектор т) Ф г)°, для которого функция т\e~Axbs не будет периодической функцией периода xn+s/M s. В этом случае тождество (14.10) не имеет места, следовательно, множество (14.8) содержит более одной точки.

Предположим, что А — Аг. В этом случае вместо се­ мейства (14.7) рассмотрим следующее однопараметрическое семейство функций (рис. 14.3)

us (т, а) =

Us (т, а) GE (Os (Т). Подставляя управление (14.11) в фор­ мулу (2.1), получаем

Продифференцируем соотношение (14.12) по параметру а

Если вектор vs (Т, а) не зависит от величины а, то, ум­ ножая соотношение (14.13) слева на строку ц, получаем тождество

Если т| т]0, то тождество (14.14) не имеет места, посколь­ ку при этом в случае А = А j функция г)е~ЛяЪ3имеет период

я не xn±s/2i]\£s'

Us(t,CC)

Докажем теперь следующую лемму.

Лемма 2. Множество P s (Т) является строго выпуклым в гиперплоскости Ш (т)°).

Возьмем произвольную точку, принадлежащую гра­ нице в плоскости П8 (ц°) множества Ps (Т). Если раз­ мерность множества Ps (Т) меньше п — 1, то граничной будет всякая точка множества Ps (Т). Граничная точка принадлежит множеству Ps (Т) в силу свойства замкну­ тости. Построим в этой точке опорную гиперплоскость множества Ps (Т), не совпадающую с плоскостью П„ (ц0). Таких гиперплоскостей можно построить, очевидно, бес­ конечное количество. Пересечение всех этих гиперпло­ скостей между собой и с плоскостью (14.6) представляет собой гиперплоскость л размерности п —2. Гиперплоскость

Tls (г)°). Среди бесконечного количества опорных пло­

Поэтому вектор т)' можно выбрать настолько близко к

Плоскость П делит пространство Х п на два полупро­ странства. В одно из этих полупространств направлен век­

П = Ш (тГ, Т).

Плоскость П содержит хотя бы одну точку множества Qs (Т), поэтому опорная плоскость П* (ц', Т)не может быть ближе к началу координат, нежели плоскость П.

124 ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. I

Из выражений (5.12) и (14.15) следует, что управление Us (т, Хо)і максимизирующее интеграл (2.10) при ц = tj', удовлетворяет условиям (14.4) и, значит, принадлежит множеству cos (Т). Следовательно, получающаяся при этом управлении точка vs (Т) GE P s (Т). Гиперплоскость ГГ, (т)', Т) содержит эту точку множества P s (Т), и поэтому не может быть дальше от начала координат, нежели гипер­

а значит, и плоскость л содержит только одну точку мно­ жества Ps (Т), т. е. множество Ps (Т) является строго вы­ пуклым в плоскости EU (ц0). Лемма доказана.

Заметим следующее. Граничные точки множества Ps (Т) получаются при подстановке в выражение (2.1) кусочно-непрерывных функций (5.12). Вследствие того, что множество P s (Т) является выпуклым, внутренние точки его также могут быть получены с помощью кусочно­ непрерывных управлений. Отсюда вытекает, что область Qs (Т) будет замкнутой, если допустимыми управлениями считать кусочно-непрерывные функции.

Таким образом, сформулированное в § 4 свойство 4° замкнутости областей достижимости Q™ (Т) при m = 1, 2, 3

вклассе кусочно-непрерывных управлений имеет место также

ипри m = 5.

ет нулевое собственное значение, то граница области до­ стижимости Qs (Т) имеет два плоских участка размерно­ сти ps — 1.

При наличии только ограничения (1.2), т. е. при m = 1, область достижимости Q\ (Т) при любой матрице А яв­ ляется строго выпуклой в пространстве Х Р.

что через произвольную точку границы множества Р а (Г), кроме плоскости Ш (т)°), проходит еще по крайней мере одна опорная гиперплоскость области Qs (Т). Следова­ тельно, имеет место лемма 3.

Лемма 3. Граничные точки плоских участков Р 3 (Т) и

—P s (Т) являются угловыми точками границы области до­ стижимости Qs (Т).

Из теоремы 14.2 и леммы 3 вытекает следующая тео­ рема.

Теорема 14.3. Если система (2.2) вполне управляема (ps = п), матрица А имеет нулевое собственное значение (Xk = 0), то граница области достижимости Qs (Т) име­ ет угловые точки.

В отличие от плоских участков, угловые точки не яв­ ляются специфической особенностью границы области Q5S (Т). Нетрудно доказать, что при условиях теоремы

14.3 граница области Qj (Г) также имеет угловые точки при всех 0 < Т < оо. Заметим, что вопрос об угловых точках границы области достижимости связан с вопросом о дифференцируемости функции Веллмана в задаче быстро­ действия [9]. В тех точках фазового пространства, в ко­ торых находятся угловые точки границы области дости­ жимости, эта функция не имеет непрерывных частных производных по фазовым переменным.

Обозначим через S множество точек пространства Х п, расположенных на сфере единичного радиуса с центром

в начале координат. Конец каждого единичного вектора ц, начинающегося в начале координат, находится в не­ которой точке сферы S. Таким образом, каждый единич­ ный вектор ц можно отождествить с точкой на сфере S, а все множество единичных векторов ц — со сферой S.

Область Qs (Т) является замкнутой и выпуклой, по­ этому ей принадлежат те и только те точки х, которые удовлетворяют условиям (2.7) при всевозможных векто­

рах т] GE S.

Покажем, что если ps = п и уравнение (3.1) имеет ну­ левой корень, то для описания области Qs (Т) в неравен­ ствах (2.7) можно «перебирать» не все векторы ц £Е S. Этот факт формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 14.4. Если система (2.2) вполне управляема (р, = п), матрица А имеет нулевое собственное значение

1] ОГРАНИЧЕННЫЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ИМПУЛЬСУ СИЛЫ 127

принадлежат пересечению бесконечного количества полу­ пространств

Следовательно, из совокупности соотношений (2.7) не­ равенства (14.18) можно исключить, поскольку они «дуб­ лируют» неравенства (14.17). Таким образом, в соотноше­ ниях (2.7) можно не рассматривать векторы ц g= D.

Точка т]' является произвольной на границе окрест­ ности S (ц°). Поэтому заключаем, что в неравенствах (2.7) из векторов т] (ЕЕ S (г|°) можно оставить только вектор ц°. Аналогичное заключение можно сделать относительно окрестности S (—т)°) вектора —т}°.

Итак, область Qs (Т) описывается неравенствами (2.7) при всевозможных векторах т) £Е S0, где множество S 0 состоит из точек (S \ S (ц0)) \ S (—ц°), а также двух точек г)° и —т)°. Теорема доказана.

Если указанное выше описание имеет место для обла­ сти Qs (Ті), то оно имеет место также и для области Qs (Т),

области фз ( Т) имеет угловые точки. Эта теорема имеет место и для других областей Q™(Г), граница которых не является гладкой.

Рассмотрим границу области достижимости Q (Т) си­ стемы (1.1). Будем предполагать при этом рассмотрении, что система (1.1) является вполне управляемой (р = п). В противном случае ее можно представить в виде (3.20), (3.21), а затем рассматривать уже вполне управляемую систему (3.24), в фазовом пространстве которой лежит область достижимости Q (Т) исходной системы (1.1).

Тождество ті<гАт&з = as = const (s = 1, . . ., г) имеет место при тех и только тех векторах ц, которые удовлет­ воряют системе линейных алгебраических уравнений

Лемма 2 для множества Р (Т) также не имеет места. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть в качестве примера систему

При достаточно больших значениях Т область достижи­ мости Q (Т) для системы (14.24) совпадает с областью управляемости Q, которая представляет собой прямо­ угольный параллелепипед. Эта область имеет три типа множеств Р (Т) — грани, ребра, вершины. Ребро пред­ ставляет собой пример множества Р (Т), -которое не яв­ ляется строго выпуклым в соответствующей опорной ги­

перплоскости П (r|J). На этом примере видно, что размер­

плоскостей, т. е. принадлежит многообразию размер­ ности R.

Имеет место следующая лемма.

Лемма 4. Если размерность множества Р (Т) равна R, то можно построитъ п — R содержащих это множество

тора т)і, что для каждого из них имело бы место соотно­ шение (14.16) при s = r<D + 1, . . ., г. Действуя так же, как при доказательстве леммы 2, можно показать, что гиперплоскость n ft совпадает с опорной гиперплоскостью П (ти, Т) = П(ти) ( к = 1, . . ., п — R).

Используя лемму 4, можно доказать следующую тео­