книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

можное время, состоит в определении оптимального управ­ ления в виде функции фазовых координат управляемого объекта. Решение этой задачи позволяет строить оптималь­ ные системы автоматического управления с обратной связью, которые обладают рядом преимуществ по сравне­ нию с разомкнутыми системами.

Для линейных автономных систем второго порядка при ограничениях (1.2) задача синтеза решена полностью [9, 47, 53]. В работах [15, 43, 45] рассматривается задача син­ теза для линейных систем третьего порядка, причем в

[43]эта задача нашла полное решение.

Внастоящем разделе рассматриваются некоторые об­ стоятельства, позволяющие осуществить приближенное решение задачи синтеза [13]. Приводятся два примера, один из которых носит иллюстративный характер. Другой пример связан с системой уравнений четвертого порядка, описывающих движение летательного аппарата. Этот при­ мер представляет, по-видимому, самостоятельный интерес.

§20. Постановка задачи

Пусть управляемый объект описывается матричным

(п X 1). Будем предполагать, что и — скалярная управ­ ляющая функция. Через ß обозначим множество кусочно­ непрерывных функций, удовлетворяющих условию вида

(1.2)

I и (т) |< 1.

Пусть хх — регулируемая координата объекта, т. е. та координата объекта, поведением которой требуется управ­ лять. Предположим, что желаемый режим работы системы

желаемый режим хг = хъ ее необходимо привести в со­ стояние X = х'.

стему (20.1) можно при помощи управления и (т) ЕЕ U при­ вести в точку X = х'. Если система (20.1) является линей­ ной, т. е. имеет вид (1.1), и х' = 0, то Q есть именно та об­ ласть управляемости, о которой шла речь в первой главе.

Обозначим через Т° (х) минимальное время приведения системы (20.1) из состояния х в состояние х'. Пусть суще­ ствует оптимальное управление как функция фазовых координат и (х) (\и (х) | 1 ), которое из всякого началь­

ного состояния X GE Q приводит систему (20.1) в состояние х' за время Т° (х). Будем предполагать, что оптимальное управление является релейным, т. е. принимает значения -4-1 и — 1 (в случае линейности системы (2 0 .1 ) это предпо­

ложение выполняется). Тогда задача построения опти­ мального управления в зависимости от фазовых коорди­ нат и (х) (задача синтеза) состоит в построении многообра­ зия S ее Х п размерности п — 1, на котором происходит переключение управления и {х).

При решении проблемы синтеза обычно стремятся, прежде всего, найти уравнение гиперповерхности S в явном виде. Задача нахождения этого уравнения является чрез­ вычайно трудной. Она решена только для линейных си­ стем, порядок которых не превосходит трех. Если гиперпо­ верхность S найдена, то возникает вопрос о практической реализации закона управления с помощью вычислитель­ ных устройств.

В следующем параграфе приводятся соображения, по­ зволяющие облегчить решение задачи синтеза для некото­ рых систем регулирования.

§ 2 1 . О приближенном решении задачи

Рассмотрим систему регулирования (20.1), в которой множество Ѵг практически возможных начальных состоя­ ний занимает лишь часть области управляемости Q.

Для решения задачи синтеза оптимального управления в такой системе регулирования нет необходимости в пост­ роении всей поверхности переключения S, достаточно по­ строить лишь некоторую часть .S-lповерхности S, «обслу­ живающую» множество Ѵг начальных условий. Иначе го­ воря, достаточно построить лишь ту часть S x поверхности

Если размерность множества Ѵх меньше п, то размер­ ность многообразия S x может быть меньше п — 1. Множе­ ство S x может быть многосвязным. Если, например, для всех начальных состояний х (0) ЕЕ Ѵх управление и (ж) имеет п — 1 переключений (подобная ситуация имеет место в линейных системах регулирования (1.1) с действитель­ ными собственными значениями [47, 53]), то S x может со­

стоять из п — 1 частей 5^ (/ = 1, ..., п — 1). Построение многообразия S x решает задачу быстрейшего приведения системы (20.1) из состояний х 6Е Ѵ} в состояние х = х'.

Пусть под влиянием не учтенных в уравнении (20.1) внешних возмущений, действующих в процессе приведения или после приведения в точку х — х', система может ока­ заться в любой точке некоторой окрестности Ѵ2 точки а'.

стродействию стабилизации состояния х = х', достаточно построить часть S 2 поверхности S, «обслуживающую»

множество состояний х ее Ѵ2. Таким образом, построение многообразий S x я S 2решает задачу синтеза управления,

обеспечивающего быстрейшее приведение и стабилизацию рассматриваемой системы.

Заметим, что при построении всей поверхности пере­ ключения S проблема оптимального управления не разде­ ляется на задачу «приведения» и задачу стабилизации. Построение всей поверхности S решает обе задачи одно­ временно.

При точном построении многообразий Sxи S2 точно ре­ шается проблема синтеза оптимального управления для начальных состояний х (0) Е ^ . Однако точное построе­ ние многообразий Sx и S2представляет собой, так же как и построение поверхности S, сложную задачу. Поэтому естественно возникает вопрос о приближенном построении этих многообразий. Рассмотрим этот вопрос.

Допустим, что для каждого состояния ж (0) Е F, мож­ но найти оптимальное управление и (т) ЕЕ О в виде функ­ ции времени. Это допущение является довольно сильным,

7 А. М. Формальский

194 ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. II

поскольку определение такого управления представляет собой самостоятельную трудную задачу. Решая систему (20.1) с оптимальным управлением и (т) и «останавливая ре­ шение» в момент переключений управления, можно найти точки X GE S x. Поступая таким образом, можно найти сколь угодно большое число точек і Е ^ и затем аппроксимиро­ вать многообразие S x с помощью некоторой гиперповерх­ ности üj. Многообразие S 2 можно аппроксимировать так­ же с помощью некоторой гиперповерхности П2.

многообразие S[ можно аппроксимировать с помощью од­

ной гиперплоскости ПІ. Такая аппроксимация является очень удобной с точки зрения простоты реализации закона управления. Для осуществления этой аппроксимации мож­ но взять п точек из области Ѵхи, определив соответствую­

щие им п точек, принадлежащих многообразию S{ (j = = 1, ... , т), провести через них аппроксимирующую плос­

кость п(- При переключении управления на поверхности Пх (обо­

значим соответствующее управление через и* (х)) система (20.1) из всех состояний х е= Ѵхза время Г° (я) приводится в некоторую окрестность W состояния х — х'. Эта окрест­ ность может быть сделана сколь угодно малой при надле­ жащей аппроксимации многообразия S x. Величина ок­ рестности W как раз и должна служить критерием качества аппроксимации и близости закона управления и* (х) к оптимальному и (х). После приведения системы в окрест­ ность W управление нужно переключать на закон стаби­ лизации, поэтому окрестность W должна принадлежать области Ѵ2.

Если множество S2 односвязно и, как это имеет место, например, в линейных системах, стягивается в точку х = = х' при стягивании в эту точку множества Ѵ2, то в случае малости области Ѵ2 поверхность П2, аппроксимирующую многообразие S2, можно выбирать в виде гиперплоскости, проходящей через точку х = х'. В этом случае режим ста­ билизации может быть скользящим режимом [10, 16]. Таким образом, построение поверхностей Пх и П2 ре-

47, 506, 53] (рис. 21.1). Линия ЛОВ, уравнение которой имеет вид (16.32), представляет собой линию переключе­ ния S. Оптимальный закон управления и (х) определяется выражением (16.33). Оптимальными траекториями явля­ ются параболы, принадлежащие семействам (19.9) и (19.10).

Предположим, что множество Ѵх возможных началь­ ных состояний системы (16.2) заключено в круге

бола (21.3) имеет с кругом (21.1) только одну общую точку

рии, начинающиеся в области Ѵъ пересекаются с линией переключения S в точках криволинейного отрезка EF, который обозначим через Sx. Для быстрейшего приведения системы (16.2) из области Ѵхв начало координат достаточ­

широкую область, заключенную между частями КСЕ и

MDF парабол (21.2), (21.3).

Оптимальная траектория системы (16.2), начинающая­ ся в центре круга (21.1), пересекает линию S в точке G с

координатами (а/2, — )fa). Уравнение прямой Пх, касаю­

Предположим, что переключение управления происходит при попадании системы (16.2) не на отрезок S х, а на прямую Пх (21.4) (аппроксимация линии переключения с помощью прямой использовалась, например, в [51]). Соответствую­ щее управление обозначим через и* (х).

Оценим качество управления и* (х). Для этого найдем координаты точек, в которые попадает система (16.2) с управлением и* (х) за время Т° (х (0)) из начальных со­ стояний X (0) е= Ѵх. Рассмотрим прежде всего начальные состояния, принадлежащие диаметру CD круга (21.1).

Иначе говоря, пусть х (0) = (хг (0), 0) и а - 6 < *! (0) < ^ а + 6. Легко видеть [9, 506], что время быстродействия

Из соотношений (21.5)—(21.9) получаем, что система (16.2)

При изменении величины хх(0) от значения а — S до а точка N перемещается по криволинейному отрезку RO от точки R к точке О (рис. 21.1). При изменении величины х{ (0) от а до значения а .+ б точка N перемещается по криволинейному отрезку РО от точки О к точке Р. Выра­

жения (21.10) можно рассматривать как параметрические уравнения кривых RO и РО (параметр х1 (0)).

Легко видеть, что все траектории системы (16.2) с управ­ лением й* (X), начинающиеся в точках х (0) GE Ѵъ окан­ чиваются к моменту Т° (х (0)) в точках отрезков ВО и РО.

Разлагая правые части выражений (21.10) в ряд по

(21.11)

где многоточием обозначены члены, имеющие более высо-

чения а + б, можно получить координаты точек Р и R. Из выражений (21.11) видно, что отрезки RO и РО находятся в окрестности W точки х = х' = 0, радиус которой имеет при б —> 0 порядок величины б2, т. е. на порядок меньше радиуса области Ѵх.

Таким образом, аппроксимация линии переключения S с помощью прямой линии может принести хорошие резуль­ таты, если область Ѵх возможных начальных состояний системы (16.2) достаточно мала.

Заметим, что радиус окрестности W можно сделать еще меньше, если аппроксимировать отрезок Sxне касательной (21.4), а некоторой секущей; однако порядок радиуса при этом не изменится.

Если область Ѵ2 представляет собой достаточно малую окрестность начала координат, то часть S2 линии S, обслу­ живающую область Ѵ2, можно аппроксимировать с по­ мощью прямой П2

хх + ах2 = 0,

где а = const. При наличии закона стабилизации

и = — sgn (хх + ах2),

где а 0, система (16.2) асимптотически стремится в нача­ ло координат [16]. При этом законе стабилизация осущест­ вляется в скользящем режиме.

Рассмотрим в качестве примера задачу синтеза' опти­ мального управления движением летательного аппарата в вертикальной плоскости.

Система дифференциальных уравнений четвертого по­ рядка, рассматриваемая в настоящем параграфе, описы­ вает движение крылатого летательного аппарата в верти­ кальной плоскости в предположениях о постоянстве скорости V центра тяжести аппарата, безынерционное™

Здесь хх — безразмерная вариация высоты центра масс аппарата над землей, ж2, х3, хк — безразмерные значения соответственно угла тангажа, угла атаки, угловой скоро­

сил на нормаль к траектории аппарата, четвертое — урав­ нение моментов сил относительно центра тяжести. По­ стоянные коэффициенты а33, й34, й43, а44, Ь3, 64, с3 определя­ ются аэродинамической и весовой компоновкой аппарата и скоростью движения центра тяжести.

Регулируемой в системе (22.1) является координата хх, т. е. вариация высоты аппарата над землей. Заметим, что переменная ххне входит в правые части системы (22.1), по­ этому начало отсчета ее может быть любым. Пусть желае­ мым значением регулируемой координаты является значе­

определяют решение системы (22.1). Решение (22.3) си­ стемы (22.1) соответствует движению аппарата на постоян­ ной высоте.

Рассмотрим в качестве области Ѵх возможных началь­ ных состояний системы (22.1) множество, определяемое соотношениями

ления, осуществляющего быстрейшее выведение аппарата на заданную высоту полета при условии, что значения на­ чальных высот полета принадлежат некоторому диапазону

Іа, Ь].

Поставленная задача решалась с помощью аналоговой вычислительной машины (АВМ) МН-14 и цифровой вычис­