книги из ГПНТБ / Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами

Гг

2 Л — (Г2 — Гі). fc—гіН-і

Из сказанного вытекает, что при р = п формулировка теоремы 8.2 получается, если в формулировке теоремы 8.1 опустить индекс s.

§ 9 . О бласти управляем ости в канонических перем енны х

В настоящем параграфе будем предполагать, что си­ стема (1.1) является вполне управляемой, т. е. р = п.

Рассмотрим сначала случаи, когда т = 1, 2, 3. Систему (1.1) путем невырожденного преобразования

(например, канонического) [21, 38а, 52]

можно «разбить» на две подсистемы,

где матрицы А г и А г таковы, что все собственные значения матрицы A J имеют положительные действительные ча­ сти, а матрицы А 2 — неположительные действительные части. Следовательно, размерности столбцов уг и~г/2 рав-

3] СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ 83

ства системы (9.2) и (9.3) соответственно). Для этого нужно, прежде всего найти векторы ц, при которых функ­ ция (9.4) стремится к нулю при т —»- оо.

Из свойств матриц А г и следует, что при т -> с» функция (9.4) стремится к нулю при тех и только тех век­ торах г], при которых имеет место тождество

Система (9.3) вполне управляема, поэтому, как следует из § 3, тождество (9.5) имеет место тогда и только тогда, когда Tj2 = 0. В соответствии с § 7, обозначим единичные векторы т} = I Лх, 0 Цчерез ц°. Для всех векторов ц° имеем

r f e-G A G = г\1е~АіХВ 1 ф 0 ,

поскольку система (9.2) является вполне управляемой.

Y n. Линейная оболочка векторов ц°, для которых d (ц°) ^

I П°г/ I = I ЧіУі I < d (ц0),

представляет собой область управляемости системы (9.2).

множество (сечение цилиндра).

Эта теорема для случая т = 1 содержится в ряде ра­ бот [26, 28].

Из теоремы 9.1 следует, что область управляемости Qm (т = 1, 2, 3) системы (1.1) представляет собой множе­ ство, ограниченное по каноническим переменным системы (1.1) , соответствующим корням характеристического урав­ нения (3.1) с положительными действительными частями.

Поставим вместо задачи определения области управ­ ляемости следующую задачу. Найти в фазовом простран­ стве Х п множество Sm таких состояний, в каждое из ко­ торых систему (1.1) можно привести из начала координат за конечное время с помощью управления и (т) GE Qm. Решение поставленной задачи получается, если в системе (1.1) сделать замену времени: заменить t на —t. В самом деле, систему (1.1) можно из начала координат привести в те и только те состояния, из которых новую систему можно привести в начало координат. Собственные зна­ чения в новой системе получаются из собственных зна­ чений системы (1.1) заменой знаков на противополож­ ные [21].

Будем предполагать, что система (1.1) приведена к ви­ ду (9.2), (9.3) так, что все собственные значения матрицы А х имеют отрицательные действительные части, а матри­ цы А 2 — неотрицательные действительные части. Тогда

В фазовом пространстве Х п область Sm также являет­ ся, очевидно, цилиндрическим множеством.

Область <Sm (т = 1, 2, 3), в отличие от области Qm, представляет собой множество, ограниченное но канони­ ческим переменным системы (1.1), соответствующим кор­ ням уравнения (3.1) с отрицательными действительными частями.

где матрица А п такова, что все ее собственные значения имеют неотрицательные действительные части, причем собственные значения с нулевой действительной частью являются однократными. Матрица А 22 имеет собственные значения с отрицательными действительными частями, а также с нулевой действительной частью. Размерности

Г , Г г

метим следующее. Группа канонических уравнений, соот­

в систему (9.7), а остальные уравнения — в систему (9.8). Точно так же обстоит дело с каноническими урав­ нениями, соответствующими чисто мнимым корням.

Из условия р = п следует, что система (9.7) будет вполне управляемой.

Из соотношений (1.1), (9.6) — (9.8) имеем

представляет собой множество внутренних точек области управляемости системы (9.7).

Из теорем 8.1, 8.2 получаем следующую теорему.

Теорема 9.3. Множество Qm внутренних точек области управляемости Qm (т = 4 ~ 7) является цилиндрическим,

т. е. Qm = Rт + Y\, где R m С Yh — ограниченное мно­ жество (сечение цилиндра). На границе области Qm есть точки как принадлежащие области, так и не принадле­ жащие ей.

Из теоремы 9.3 следует, что область управляемости Qm (т = 4 -н 7) системы (1.1) представляет собой множе­ ство, ограниченное по каноническим переменным системы (1.1), соответствующим корням уравнения (3.1) с поло­ жительными действительными частями, и (отличие от слу­ чаев т- = 1 , 2 , 3) по некоторым каноническим перемен­ ным, соответствующим корням с нулевой действитель­ ной частью.

Сформулируем теперь теорему о структуре множества Sm (т = 4 -г-7) состояний, в каждое из которых можно привести систему (1.1) изначала координат. При этом бу­ дем предполагать, что в системе (9.7), (9.8) все собственные значения матрицы А 1Х имеют неположительные действи­ тельные части, причем собственные значения с нулевой

чение цилиндра). На границе области Sm есть точки как принадлежащие, так и не принадлежащие ей.

Из этой теоремы видно, что при т = 4 ч- 7 область Sm представляет собой множество, ограниченное по кано­ ническим переменным системы (1.1), соответствующим корням с отрицательными действительными частями, и по некоторым каноническим переменным, соответствующим корням с нулевой действительной частью.

§ 10. Расширенная область управляемости

Определение. Расширенной областью управляемости системы (2.2) называется множество V™(т = 1, . . 7) состояний ж (0) GE Х п, для каждого из которых суще­ ствует допустимое управление, которое приводит систему (2.2) за конечное (заранее не заданное) время в любую на­ перед заданную, сколъ угодно малую окрестность начала координат.

Другими словами, состояние х (0) £Е РГ тогда и толь­ ко тогда, когда для любой окрестности S начала координат найдется такой момент времени Т и управление us (т) €Е іЕ:&Т(Т), что полученный при решении системы (2.2)

Ѵт системы (1.1) получается, если в приведенном выше определении опустить индекс s.

Вопрос о расширенной области управляемости возни­ кает, например, при исследовании асимптотической устой­ чивости системы (2.2) (или (1.1)), в которой организована

жет быть приведена к системе вида (3.11), (3.12). Рассмот­

Предположим также, что собственные значения матрицы А 22 имеют отрицательные действительные части. Областью притяжения начала координат у 2 = 0 системы (10.2) бу­ дет при этом все фазовое пространство Y 2. Поэтому рас­ ширенная область управляемости системы (10.1), (10.2) представляет собой алгебраическую сумму расширенной области управляемости для системы (10.1) и подпростран­ ства Y v

Область управляемости Q"1системы (10.1), (10.2) при­ надлежит подпространству Ух и вследствие соотношения (3.13) является в этом подпространстве множеством пол­ ной меры. Значит расширенная область управляемости системы (10.1) будет в пространстве множеством полной меры. Следовательно, расширенная область управляе­ мости системы (10.1), (10.2) является в пространстве Y n —

=+ Y 2 множеством полной меры. В это же время

область управляемости QT системы (10.1), (10.2) принад­ лежит целиком подпространству размерности ps.

Рассмотрим вопрос о построении расширенной области управляемости для системы (10.1). Вследствие условия (3.13) эта задача эквивалентна задаче о построении рас­

ширенной области управляемости У™ д л я исходной систе­ мы (2.2) при условии ps = п.

Пусть сначала т = 1. Покажем, что при этом У™ = = Q™. В самом деле, при условии ps = п начало коорди­ нат будет внутренней точкой области @s. Предположим, что существует точка х (0) ЕЕ Ѵ\, но х (0) ф Ql. Из оп­

ределения области У^ следует, что систему (2.2) можно привести к некоторому моменту времени Т с помощью уп­

управления us (т) ЕЕ ß* привести в начало координат, чего

этом заканчивается. Дальнейшие рассуждения имеют

смысл, если QT Ф Х п.

Лемма 1. Расстояние d (ц0) является непрерывной и строго монотонно возрастающей функцией величины P s при

средственно из выражений (7.7), (8.3). Величина (4.8) яв­ ляется непрерывной и строго монотонной функцией пере­ менной сг. Поэтому решение о0 уравнения (4.9) при ц = = г|° и Т = оо будет непрерывной и строго монотонной функцией величины P s. Из выражения (7.9) следует утвер­ ждение леммы при m = 3. При m = 5 утверждение леммы получается из анализа соотношений (5.16), (5.17). При m = 6, 7 для доказательства нужно использовать соотно­ шения (6.9) — (6.12), (6.14), (6.16).

и, следовательно, х (0) ф QT (Ps + APS).

При условии рs — п начало координат будет внутрен­ ней точкой области QT (ЛТД)- Поскольку х (0) (ЕЕ ИГ(-Р8)>

постольку существует управление щ (г) и момент времени Тх, при котором X (Тг) GE QT (APS) и

Из точки X (Тг) ЕЕ QT (АРа) систему (2.2) можно привести в начало координат за конечное время Г2 с помощью уп­

равления щ (т), удовлетворяющего условию т.+т,

$ K *(t)]2d t < A P e. (10.4)

Ті